2022年高考理数母题题源专练专题椭圆双曲线与抛物线的方程及几何性质.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【母题来源一】2022 高考新课标3【母题原题】 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C ：x 2y21 ab0的左焦点,A B 分2 a2 b别为 C 的左,右顶点 . P 为 C 上一点,且 PFx 轴. 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与y轴交于点 E . 如直线 BM 经过 OE 的中点,就 C 的离心率为（）（A）1 3（B）1 2（C）2 3（ D）3 4【答案】 A考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 a c 的值,进而求得 e的值；（ 2）建立 a b c 的齐次等式

2、,求得 b 或转化为关于 e的等式求解； 3 通过特别值或特别a位置,求出 e【母题来源二】 【母题来源二】2 x2022 高考山东E上,【母题原题】 已知双曲线E：y21（a0,b 0）,如矩形 ABCD的四个顶点在2 ab2AB,CD 的中点为 E的两个焦点,且【答案】 2 2| AB|=3| BC| ,就 E 的离心率是 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】假设点 A 在第一象限, 点 B 在其次象限, 就Ac,b2,Bc,b2,所以| AB |2b2,aaa| BC |2c ,由 2 AB3 B

3、C ,c22 ab 得离心率 e2 或e1（舍去）,所以 E 的离2心率为 2. 考点：双曲线的几何性质【名师点睛】此题主要考查双曲线的几何性质 的争论,转化得到一般结论,降低明白题的难度 般与特别思想及基本运算才能等 . .此题解答,利用特别化思想,通过对特别情形 .此题能较好的考查考生转化与化归思想、一【命题意图】 本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双 曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本学问的懂得,以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）点三角形和准线,利用余弦定理等）识的懂得与简洁的应用；、与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦

4、点弦、焦、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常基本以挑选题与填空题的形式显现,也会显现在 解答题中第一问,难度一般中等,有时中等偏上,一般不会作为把关题,在考查内容上一般 以求离心率,求双曲线的渐近线,求最值,求范畴,利用性质求曲线方程等,着重考查对基 本概念和基本性质的懂得与应用,题型稳固,中规中矩,不偏不怪,内容及位置也很稳固,运算量比过去削减,但摸索量增大,思维层次的要求并没有降低 解题明显难以胜利 . 如再按以前的“ 解几套路”【得分要点】 1.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特点,懂得定义是把握其性质的基础. 因此,对于圆锥曲线的定义

5、不仅要熟记,仍要深化懂得细节部分：比如椭圆的定义中要求PF 1 PF 2 F F 2,双曲线的定义中要求 PF 1 PF 2 F F 2,抛物线的定义的实质可归结为“ 一动三定” ：一个动点 M；一个定点 F抛物线的焦点 ；一条定直线 l抛物线的准线 ；一个定值 1点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于 1,经常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题相互转化 . 2. 求圆锥曲线标准方程常用的方法：1 定义法； 2 待定系数法,如顶点在原点,对称轴为名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - -

6、- - - - - 坐标轴的抛物线,可设为2 y2 ax 或2 x2ay a0 ,躲开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时 a不具有 p 的几何意义如椭圆的焦点位置不确定,椭圆的标准方程可设为2 2x y 1 m 0, n 0,也可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1 A 0, B 0,如双曲线的焦m n2 2点位置不确定,双曲线的标准方程可设为 x y 1 mn 0,也可设双曲线的方程为m nAx 2By 21,其中 A B 异号且都不为 0,如已知双曲线的渐近线方程为 ax bx 0,就可设双曲线的标准方程为 ax bx（0 ）可防止分类争论,这样可以防止争论和繁琐的运算3. 求解与二次曲线

7、性质有关的问题时要结合图像进行分析,即使不画图形,摸索时也要联想到图像 . 对椭圆当涉及到顶点、焦点、 长轴、 短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系 . 对双曲线应环绕双曲线中的“ 六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点） ,“ 四线” （两条对称轴,两条渐近线）的特点三角形,双曲线上一点与两个交点构成的三角形）之间的内在联系 . ,“ 两形” （中心、焦点、虚轴端点构成,争论它们之间的关系,挖掘出它们4. 椭圆取值范畴实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范畴,在求解一些最值、取值范畴以及存在性、判定性问题中有着重要的应用, 椭圆上一点到椭圆一个焦点的距

8、离的取值范畴为 a c a c . 在椭圆中,假如一个三角形的两个顶点是焦点 F F ,另一个顶点 1 2 P 在椭圆上,称该三角形为焦点三角形,就三角形 F PF 的周长为定值等于 2 a 2 c ,面积等于2b 2tan F PF 2,其中 b 是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 2b . 双曲2 a线取值范畴实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范畴,在求解一些最值、取值范围以及存在性、判定性问题中有着重要的应用,双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取名师归纳总结 值范畴为 ca ,. 在双曲线中, 假如一个三角形的两个顶点是焦点F F ,另一个顶点 P 1 2第 3

9、页,共 14 页在双曲线上,称该三角形为焦点三角形,就面积等于tan2 b,其中 b 是虚半轴的长；过F PF 22焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2. 抛物线中 : 抛物线上一点P x y 1,F 为抛物线的a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：2 p 2 py 2 px : PF x 1 ; y 2 px : PF x 12 22 p 2 px 2 py : PF y 1 ; x 2 py : PF y 1 . 焦点弦长公式： 对于过抛物线焦点2 2的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式 . 设过抛

10、物线 y2=2px（pO）的焦点 F 的弦为 AB,A x y 1 1 ,B x 2 , y 2 ,AB的倾斜角为,就有 AB x 1 x 2 p 或 AB 22 p,以上两公sin式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“ 弦长公式” 来求 . 在抛物线中,以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切 . 5. 求椭圆、 双曲线的离心率, 关键是依据已知条件确定 a b c 的等量关系, 然后把 b 用 a c 代换,求c 的值；椭圆求离心率问题,关键是先依据题中的已知条件构造出 a b c 的等式或不a等式,结合 a 2b 2c 化出关于 2 a c 的式子,再利用 e c,化

11、成关于 e的等式或不等式,a2 2 2 2从而解出 e的值或范畴 . 离心率 e与 a b 的关系为：e 2 c2 a2 b= 1 b2 b1 e 2.a a a a双曲线求离心率问题,关键是先依据题中的已知条件构造出a b c 的等式或不等式,结合c 2b 2a 化出关于 2a c 的式子, 再利用 e c,化成关于e的等式或不等式,从而解出e的a2 2 2 2值或范畴 . 离心率 e与 a b 的关系为：e 2 c2 a2 b= 1 b2 be 21,在双曲线a a a a2中由于 e 21 b,故双曲线的渐近线与离心率亲密相关 . 求离心率的范畴问题关键是确立a一个关于 a b c 的不

12、等式,再依据 a b c 的关系消掉 b 得到关于 a c 的不等式,由这个不等式确定 a c 的关系 求解圆锥曲线的离心率,基本思路有两种： 一是依据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出 a c ,然后依据离心率的定义式求解；二是依据已知条件构造关于 a c 的方程,多为二次齐次式,然后通过方程的变形转化为离心率 线的定义求解相关参数e 的方程求解,要敏捷利用椭圆、双曲名师归纳总结 6. 抛物线2 y2px （p0）上点的坐标可设为（2 y 0,y0）,在运算时,可以降低运算量. 第 4 页,共 14 页2p- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 焦

13、点三角形问题的求解技巧1 所谓焦点三角形,就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点,另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形2 解决此类问题要留意应用三个方面的学问：椭圆或双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式【母题 1】已知抛物线y28 x的焦点到双曲线E:x2y21a,0b0 的渐近线的距离a2b2不大于3 ,就双曲线E 的离心率的取值范畴是（,） D2 ,A ,1,12 C22 B【答案】 B【解析】 抛物线的焦点是F2,0,由条件可得a2bb232 b3,从而得e22,2c进而解得离心率的取值范畴是,12,应选 B.考点： 1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率【名师点晴

14、】此题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性名师归纳总结 问题,属于中档题. 解决此题的基本思路及切入点是：第一求出抛物线的焦点,双曲线的渐近第 5 页,共 14 页线方程,依据题意进而得到关于a b 的一个不等式,再结合2 ab22 c ,即可求得双曲线的离心率 e的取值范畴,并最终使问题得以解决.【母题 2】如图,A A 为椭圆2 xy21的长轴的左、右端点,O 为坐标原点,S Q T 为95- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆上不同于A A 的三点,直线QA 1,QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,就OS2

15、OT2（）5 C9 D14 3A5 B【答案】 D考点：椭圆的方程及其几何性质【名师点晴】此题是一个椭圆及其几何性质方面的综合性问题,属于中档题 . 解决此题的基本思路及切入点是：为不失一般性和削减运算量,可以实行特别点的方法,即取 Q 点为椭圆的上顶点,这时依据椭圆的对称性可知,点 S T 是关于 y 轴对称的,再依据 AQ P OT 以及点2 2S T 在椭圆上,即可求出 OT OS 的值 .2 2【母题 3】已知直线 l : y kx 2 过椭圆 x2 y2 1 a b 0 的上顶点 B 和左焦点 F ,且a b被圆 x 2y 2 4 截得的弦长为 L ,如 L 4 5,就椭圆离心率 e

16、的取值范畴是（）5A 0 , 5 B 0 , 2 5 C 0 , 3 5 D 0 , 4 55 5 5 5【答案】 B名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点： 1. 直线与圆的位置关系；2. 椭圆离心率【名师点晴】直线与圆 , 直线与椭圆的位置关系 , 相对简洁的是直线与圆的位置关系 . 此题先利用直线 l : y kx 2 被圆 x 2y 2 4 截得的弦长为 L ,且 L 4 5, 利用点到直线距离公式 ,52 2可以求出 k 2 1, 然后依据题意 , 直线 l : y kx 2 过椭圆 x2 y2 1 a

17、b 0 的上顶点4 a bB 和左焦点 F , 求出椭圆 b 2, c 2, a 2b 2c 24 42 , 代入离心率公式就可以求出离k k心率的取值范畴 . 在解题过程中 , 先易后难查找突破口 .2 2【母题 4】设 A A 分别为双曲线 C : x2 y2 1 a 0, b 0 的左右顶点,如双曲线上存在a b点 M 使得两直线斜率 k MA 1 k MA 2 2,就双曲线 C 的离心率的取值范畴为（）A 1, 2 B 1, 3 C3,D 1,2【答案】 B名师归纳总结 【解析】假设Mx ,y,A 1a , 0 ,A 2 a0, ,就kMA 1xya,kMA2xya,就第 7 页,共

18、14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kMA 1kMA 2x 2y2a2,又点 M 在双曲线上,有x2y21y2b2x21,代入a2b 2a2k MA 1 k MA 2 2 y 22 中可得 b 22 x 22 a 2 b2 2 b 22 2 c 22 a 2e 21 2 1 e 3,所以x a a x a a a此题正确选项为 B.考点：直线的斜率,圆锥曲线的离心率 .【名师点睛】解答此题第一得点由 M 及两焦点 A A 利用两点式求得直线 MA,MA 2 的斜率y 2k MA 1,k MA 2,从而求得 k MA 1 k MA 2 2 2,其次

19、将 x, y 的关系式代入其中,进行化简整理,x a便能得到 a, b 的不等式关系,再由离心率的定义求得离心率的取值范畴即可 . 也可将2 2 2 2 2c 2e 2a 2, b 2a 2直接代入不等式 b2 x2 a b2 b2 2 中,直接求得 e的范畴 . a x a a2 2【母题 5】如下列图,已知椭圆 C : x2 y2 1 a b 0 ,O : x 2y 2b 2,点 A、F 分a b别是椭圆 C 的左顶点和左焦点,点 P 是 O 上的动点, 且 PA 为定值, 就椭圆 C 的离心率为PF（）A2 1 B3 1 C1 D5 12 2 2 2【答案】 D名师归纳总结 - - -

20、- - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法二：P 取圆与 x 轴的左右两个交点这两个特别位置,易得PA=abab,化简PFbcbc得：b2aca2c2,e2e1.0,e51,应选 D.2考点： 1、圆及其性质；2、椭圆及其性质【名师点晴】此题主要考查圆及其性质、椭圆及其性质,属于难题此题利用两点间距离公式将PF PA解析化,经过变形、系数对比得 b 2a 2 b 2c 2,a c,即2 2 2 2 2 3 3 3c b a a b c ,可得 2 ca c a、再变形得到三次方程 e 2 e 1 0,结合 e的取值范畴 0 e 1 得到正解 .

21、此题可以通过特别位置规避繁琐运算,巧解此题【母题 6】已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60 ,就双曲线 C 的离心率为 _.名师归纳总结 【答案】6第 9 页,共 14 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考点： 1、双曲线的简洁几何性质；2、双曲线的离心率. 【名师点睛】此题主要考查利用双曲线的简洁性质求双曲线的离心率,属于难题 . 求解与双曲 线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,摸索时也要联想到图形,当涉 及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间

22、的内在联系 . 求离心率问题应先将 e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出 关于 e的等式, 从而求出 e的值 . 此题是利用四边形的特别性质构造出 e的等式, 最终解出 e 的 值. 【母题 7】如图, 已知点 Q 2 2,0及抛物线y2 x上的动点,x y ,就yQ的最小值4是（） 3 C 4A 2 BD 2 2【答案】 A 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：抛物线的标准方程及其简洁的几何性质【名师点晴】此题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简洁的几何性质的应用,其中将点 P 到准线 y

23、 1 的距离转化为点 P 到焦点 F 的距离是解答的关键,着重考查了转化与化归思想及推理与运算才能,属于中档试题,此题的解答中,利用抛物线的定义,将点 P 到准线y 1 的距离转化为点 P 到焦点 F 的距离 PF ,在利用不等式的性质,即可求解结果2 2 2 2【母题 8】已知 a b 0,椭圆 C 的方程为 x2 y2 1,双曲线 C 的方程为 x2 y2 1,a b a bC 与 C 的离心率之积为 3,就 C 的渐近线方程为（）2Ax 2 y 0 B2 x y 0 Cx 2 y 0D 2 x y 0【答案】 A名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资

24、料 - - - - - - - - - 考点： 1 、椭圆、双曲线的离心率；2、双曲线的渐近线.【名师点晴】此题主要考查利用椭圆、双曲线的简洁性质及椭圆、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线,属于中档题 . 求解与椭圆双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,摸索时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系于a b 的方程解得b,进而得到渐近线方程的.a. 此题解答过程是依据离心率之积列出关【母题 9】如椭圆的中心在原点,一个焦点为）F0,2,直线y3x7与椭圆相交所得弦中点的纵坐标为1,就该椭圆的方程为（Ax2y

25、21 B2 x2 y1 Cx22 y116201216128Dx2y21812【答案】 D名师归纳总结 【解析】设椭圆的方程为y2x221,直线y3x7与椭圆相交所得弦设为第 12 页,共 14 页2 ab2AB A x y 1,B x 2,y 2,联立yx21,y3 x7消 y 可得a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a29 b2x2422 b x49 b22 a b20,由条件知x 1x 24,所以2 c2 42 b4,2 a2 9 b4a 2b2c 2. 解解得a212, b28,所以椭圆的方程为x2y21,应选 D.812考点： 1、椭圆

26、； 2、直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点晴】此题是一个关于直线与圆锥曲线的位置关系方面的综合性问题,属于中档题决此题的基本思路及切入点是：第一依据条件设出椭圆的标准方程,然后将直线方程与椭圆2 2 2方程进行联立,再依据韦达定理,可以得出 a b c 的一个关系式,再结合 a b c ,以及椭圆的一个焦点为 F 0, 2,即可解得椭圆的方程 .2 2【母题 10】已知 A B 分别为双曲线 C : x2 y2 1 a 0, b 0 的左右顶点,不同两点 P Qa b在双曲线上,且关于 x 轴对称,设直线 AP BQ 的斜率分别为 k k ,当2 b a 1ln | k 1 | ln | k

27、2 | 取最小值时,双曲线 C 的离心率为（）a b 2 k k 2A2 B6 C52 2D3【答案】 B名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点： 1、双曲线； 2、基本不等式 .名师归纳总结 【名师点晴】此题是一个关于圆锥曲线以及基本不等式方面的综合性问题,属于难题. 解决本第 14 页,共 14 页题的基本思路及切入点是：第一依据双曲线的性质得出k k 的关系,并构造出关于t 的函数g t,再结合导数在函数争论中的应用,得到函数g t 存在最小值,同时利用基本不等式得到2b aa取最小值时的条件,并由此得到双曲线的离心率.b- - - - - - -