2022年高考数学二轮复习知识点总结椭圆双曲线抛物线3.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载椭圆、双曲线、抛物线高考对本节学问的考查主要有以下两种形式：1. 以挑选、 填空的形式考查, 主要考查圆锥曲线的标准方程、性质 特殊是离心率 ,以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础学问、基本技能,属于基础题 .2. 以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解, 直线与圆锥曲线的位置关系,经常在学问的交汇点处命题,有时以探究的形式显现,有时以证明题的形式显现该部分题目多数为综合性问题,考查同学分析问题、解决问题的才能,综合运用学问的才能等,属于中、高档题,一般难度较大圆锥

2、曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆x双曲线抛物线定义| PF1| | PF2| | PF1| | PF2| | PF| | PM| 点 F 不在2a2 a| F1F2| 2a2 ab0 2 22y b 2 1 a0, b0 y22px p0 a图形几何性质范畴| x| a, | y| b| x| ax0 第 1 页,共 17 页 顶点 a, 0 ,0 , b a, 0 0,0对称性关于 x 轴, y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点 c, 0 p 2,0 轴长轴长 2a,短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2bec a1b a2ec a1b a2细心整理归纳 精选学习资料 离心率e1 220

3、 e1 xp 2准线yb ax渐近线 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点一圆锥曲线的定义与标准方程学习必备欢迎下载例 1 2 2 21 设椭圆x 2y m1 和双曲线 y 3x21 的公共焦点分别为F1、F2,P 为这两条曲线的一个交点,就 | PF1| | PF2| 的值等于 _2 已知直线 y k x2 k0 与抛物线 C：y 28x 相交于 A、B 两点,F 为 C的焦点 如| FA| 2| FB| ,就 k_. 2 2答案 13 2 3

4、解析 1 焦点坐标为 0 , 2 ,由此得 m24,故 m6. 依据椭圆与双曲线的定义可得| PF1| | PF2| 2 6,| PF1| | PF2| 2 3,两式平方相减得 4| PF1| PF2| 4 3, 所以| PF1| |PF2| 3. 2 方法一抛物线 C：y28x 的准线为 l ：x 2,直线 yk x2 k 0 恒过定点P 2,0 如图,过 A、B分别作 AMl 于点 M,BNl 于点 N. 由| FA| 2| FB| ,就 | AM| 2| BN| ,点 B 为 AP的中点1连接 OB,就 | OB| 2| AF| ,|OB| | BF| ,点 B 的横坐标为 1,故点 B

5、的坐标为 1,2 2 2 2 0 2 2k13 . 方法二 如图,由图可知,BB BF,AA AF,又| AF| 2| BF| ,| BC| | AC| BB | | AA |1 2,即 B 是 AC的中点细心整理归纳 精选学习资料 2xBxA2,与 第 2 页,共 17 页 2yByAy2 A8xA,y2 B8xB, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -联立可得 A4,42 , B1,2学习必备欢迎下载2 kAB422222 3 . 411 对于圆

6、锥曲线的定义不仅要熟记,仍要深化懂得细节部分：比如椭圆的定义中要求| PF1| | PF2| | F1F2| ,双曲线的定义中要求 焦点的距离与到准线的距离相等的转化2 留意数形结合,提倡画出合理草图| PF1| | PF2| | F1F2| ,抛物线上的点到2 212022 山东 已知椭圆 C：x a 2yb 21 ab0 的离心率为 2 . 双曲线 3x 2y 21 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,就椭圆 C的方程为 2 2 2 2A.x 8y 21 B.x 12y 61 2 2 2 2C.x 16y 41 D.x 20y 51 2 如图,过抛物线

7、 y 22px p0 的焦点 F的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,如 | BC| 2| BF| ,且 | AF| 3,就此抛物线的方程为 Ay 29x By 26xCy 23x Dy 23x答案 1D 2C a 2b 3 2解析 1 椭圆的离心率为 2, c aa2,a2b. 椭圆方程为 x 24y 24b 2. 双曲线 x 2 y 2 1 的渐近线方程为 x y0,渐近线 x y0 与椭圆 x 2 4y 24b 2 在第一象限的交点为 2 5b,2 5b ,52 5 2 5由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 5b5b4, b 25,a 24b 220. 2 2

8、椭圆 C的方程为x 20y 51. 2 如图,分别过 A,B 作 AA1l 于 A1,BB1l 于 B1,由抛物线的定义知, | AF| | AA1| ,| BF| | BB1| ,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载|BC| 2| BF| ,| BC| 2| BB1| , BCB 130 , AFx60 .连接 A1F,就 AA1F为等边三角形,过 F 作 FF1AA1 于 F

9、1,就 F1为 AA1的中点,设 l 交 x 轴于 N,就 | NF| | A1F1| 1 2| AA1| 1 2| AF| ,即 p3 2,抛物线方程为y 2 3x,应选 C. 考点二圆锥曲线的几何性质 例 2 12022 辽宁 已知椭圆 C：x a2 2y b2F,C与过原点的直线相21 ab0 的左焦点为交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 如| AB| 10,| BF| 8,cos ABF4 5,就 C的离心率为 A.3B.5C.4D.657572 2 已知双曲线x 2y a b2F1、F2,点 P 在双曲线的右支21 a0,b0 的左、右焦点分别为上,且 | PF1| 4| PF2

10、| ,就双曲线的离心率答案 解析1B 2531 在 ABF中,由余弦定理得e 的最大值为 _| AF| 2| AB| 2| BF| 22| AB| | BF|cos ABF,|AF| 210064 12836,| AF| 6,从而 | AB| 2 | AF| 2| BF| 2,就 AFBF. 1c| OF| 2| AB| 5,利用椭圆的对称性,设 F 为右焦点,就| BF| | AF| 6,2a| BF| | BF| 14,a7. 因此椭圆的离心率 ec a5 7. 2 设 F1PF2 ,细心整理归纳 精选学习资料 由| PF1| | PF2| 2a,| PF1| 4| PF2|得| PF1|

11、 8 3a, 第 4 页,共 17 页 | PF2| 2 3a,由余弦定理得cos 17a 2 9c28a217 89 8e2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 0,180 ,cos 学习必备欢迎下载21,10,b0 的左焦点 F 作圆 x 2y 2a 4的切线,切点为 E,延长FE交双曲线右支于点 P,如 E 为 PF的中点,就双曲线的离心率为 _3 10答案 1 23 2解析 1 设椭圆 C的焦点在 x 轴上,如图, B0 ,b ,F c,

12、 0 ,D xD,yD ,就 BF c, b,FD xDc,yD ,BF 2F D,cxDc,b2yD,3cxD2,yDb 2.又点 D在椭圆 C上,3c2b 221 3. e3 3 . F .2 a 2 1,即 e 2b22 设 ca2b2,双曲线的右焦点为就| PF| | PF| 2a,| FF| 2c. E 为 PF的中点, O为 FF 的中点,细心整理归纳 精选学习资料 OE PF ,且 | PF| 2| OE|. 第 5 页,共 17 页 OEPF,| OE| a 2, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品

13、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -PFPF , | PF| a,学习必备欢迎下载|PF| | PF| 2a3a. |PF| 2| PF | 2| FF | 2,9a 2a 24c 2,c a2 . 1010双曲线的离心率为 2 . 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系2 2例 3 已知椭圆 C：x a 2yb 21 ab0 的离心率 e2,点 F 为椭 2圆的右焦点,点 A、 B 分别为椭圆的左、右顶点,点 M为椭圆的上顶点,且满意 FB21. 1 求椭圆 C的方程；2 是否存在直线l ,当直线 l 交椭圆 于 P、Q两点时,使点F恰为PQM的垂心？如存在,求出直

14、线l 的方程；如不存在,请说明理由解1 依据题意得, F c, 0 c0 ,A a, 0 ,B a, 0 ,M0 ,b , MF c, b ,FB a c, 0 ,MF FBacc 221. 又 ec a2 2, a2c,2c 2c 22 1,c 21,a2 2,b21,2椭圆 C的方程为x 2y 21. 2 假设存在满意条件的直线l . kMF 1,且 MFl , kl 1. 设直线 l 的方程为 yxm,P x1,y1 ,Q x2,y2 ,yxm,由 x 22y 21消去 y 得 3x 24mx2m 2 20,就有 16m 2122 m 220 ,即 m 2B0 时,表示焦点在y 轴上的椭

15、圆； BA0 时,表示焦点在x 轴上的椭圆； AB0 的焦点弦, F 为抛物线的焦点,A x1,y1 、B x2,y2 第 8 页,共 17 页 1 y1y2 p2 2,x1x2p 4； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2| AB| x1x2p2p sin 2 学习必备欢迎下载为弦 AB的倾斜角 ；3 SAOB2 p2sin ；E 是该双曲线的右顶点,过点F41 | FA|1 | FB|为定值2 p；5 以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 1

16、 已知点F 是双曲线x2y2221 a0,b0的左焦点,点ab且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点,ABE是锐角 三角形,就该双曲线的离 第 9 页,共 17 页 - - - - - - - - - 心率 e 的取值范畴是 A1 , B1,2 C1,1 2 D2,1 2 答案B 解析由 ABx 轴,可知ABE为等腰三角形,又ABE是锐角三角形,所以AEB为2 锐角,即 AEF45 ,于是 | AF| EF| ,b aac,于是 c2a2a 2 ac,即 e2e20,解得 1e1,从而 1eb0 的离心率为个实根分别为x1 和 x2,就点 P x1,x2 A必在圆 x2y22 内B必在圆

17、 x2y22 上C必在圆 x2y22 外D以上三种情形都有可能答案A 解析x1x2b a,x1x2 c a. 2 2x 1x 2 x1x22 22x1x2b a 22c ab22ac a 2 . ec a1 2, c1 2a,b 2a 2c 2a 21 2a23 4a2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 2x 1x 23 4a22a 1 2a7 40 的焦点为 F,点 M在 C上, | MF| 5,如 第 10 页,共 17 页 - - - - - -

18、 - - - 以 MF为直径的圆过点0,2 ,就 C的方程为 Ay24x 或 y28xBy22x 或 y 28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y 216x答案C 解析由题意知： F p 2,0 ,抛物线的准线方程为xp 2,就由抛物线的定义知,xM5p 2,设以 MF为直径的圆的圆心为2,yM 2,所以圆的方程为x5 22 yyM 2225 4,又由于圆过点 0,2 ,所以 yM4,又由于点 M在 C上,所以 162p 5p 2,解得 p 2 或p8,所以抛物线C的方程为 y 24x 或 y 216x,应选 C. 2 22 与椭圆x 12 y 161 共焦点,离心率互为倒数的双曲线

19、方程是 Ay2 2x 31 2 B.y 3x 21 C.2 3x42 3y 81 D.2 3y42 3x 81 答案A 解析椭圆2 x122 y161 的离心率为16121 2,且焦点为 0 , 2 ,所以所求双曲线的16焦点为 0 , 2 且离心率为2,所以 c2,2 a2 得 a1,b2c2a23,故所求双曲线方程是 y2 2x 3 1. 3 2022 江西 已知点 A2,0,抛物线 C：x24y 的焦点为F,射线 FA与抛物线 C相交细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

20、 - - - -于点 M,与其准线相交于点学习必备欢迎下载 N,就 | FM| | MN| 等于A25 B 12 C 15 D 13答案 C 解析 由抛物线定义知 M到 F 的距离等于 M到准线 l 的距离 MH. 即| FM| | MN| | MH| | MN| | FO| | AF| 15. 2 24 过双曲线x a 2y b 21 a0,b0的右焦点 F,作圆 x 2 y 2a 2 的切线 FM交 y 轴于点 P,切圆于点 M,2OMOF OP,就双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C2 D. 5 答案 A 解析 由已知条件知, 点 M为直三角形 OFP斜边 PF的中点, 故 OF2O

21、M,即 c2a,所以双曲线的离心率为 2. 5 2022 山东 抛物线 C1：y1 2px 2 p0 的焦点与双曲线2 C2：x 3 y 2 1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点M. 如 C1 在点 M处的切线平行于C2 的一条渐近线, 就 p 等于 第 11 页,共 17 页 - - - - - - - - - A.3B.3C.233D.433168答案D 解析抛物线 C1 的标准方程为x22py,其焦点F 为 0,p 2,双曲线C2 的右焦点F 为2,0 ,渐近线方程为y3 3x. 由 y 1 px3 3得 x3 3p,故 M3 3p,p 6 . 由 F、F 、 M三点共线得 p43

22、3 . 2 x 6 椭圆 M：a 22 yb 21 ab0的左、右焦点分别为F1、F2,P 为椭圆 M上任一点,且 PF1PF2的最大值的取值范畴是 c2,3c 2 ,其中 ca 2 b 2,就椭圆 M的离心率e 的取值范畴是 A 1 4, 1 2 B 1 2,2 2 C2 2, 1 D 1 2,1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案B 学习必备欢迎下载解析 设 P x,y , F1 c, 0 ,F2 c, 0 ,就PF1 cx, y ,PF2 cx,

23、y ,PF 1PF 2x 2y 2c 2. 又 x 2y 2 可看作 P x,y 到原点的距离的平方,所以 x 2y 2 maxa 2,所以 PF2 PF2 max b 2,1 1所以 c 2b 2a 2c 23 c 2,即 4e 22,1 2所以 2 e2 . 应选 B. 二、填空题7 2022 江苏 在平面直角坐标系xOy 中,如双曲线2 xm2 ym 241 的离心率为5,就 m的值为 _答案 2 解析 建立关于 m的方程求解c 2mm 2 4,e 2c a 2m m m 2 45,m 24m40, m2. 2 28 2022 福建 椭圆 ：x a 2y b 2 1 ab0 的左,右焦点

24、分别为 F1,F2,焦距为 2c. 如直线 y3 x c 与椭圆 的一个交点 M满意 MF1F22 MF2F1,就该椭圆的离心率等于_答案 31 解析 由直线方程为 y3 xc ,知 MF 1F260 ,又 MF 1F22 MF2F1,所以 MF2F130 ,MF1MF2,细心整理归纳 精选学习资料 所以 | MF1| c,| MF 2| 3c 第 12 页,共 17 页 所以 | MF1| | MF2| c3c2a. 即 ec a31. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

25、- - - - - - -学习必备 欢迎下载9 2022 辽宁 已知 F为双曲线2 2C：x 9 y 16 1 的左焦点, P,Q为 C上的点如 PQ的长等于虚轴长的 2 倍,点 A5,0 在线段 PQ上,就PQF的周长为 _答案 44 解析 由双曲线 C的方程,知 a 3,b4,c5,点 A5,0 是双曲线 C的右焦点,且| PQ| | QA| | PA| 4b16,由双曲线定义,| PF| | PA| 6,| QF| | QA| 6. |PF| | QF| 12| PA| | QA| 28,因此 PQF的周长为 | PF| | QF| | PQ| 2816 44. 2 210已知 P 为椭

26、圆x 25 y 161 上的一点, M, N分别为圆 x32y21 和圆 x 32y24上的点,就 | PM| | PN| 的最小值为 _答案7 F1,F2分别是两圆的圆心,且| PF1| | PF2| 10,从而解析由题意知椭圆的两个焦点| PM| | PN| 的最小值为 | PF1| | PF2| 127. 三、解答题112022 课标全国 平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2 M：x a 2y b2 21 ab0 右焦点的直线 xy30 交 M于 A,B 两点, P 为 AB的中点,且OP的斜率为1 2. 1 求 M的方程；2 C,D为 M上的两点, 如四边形 ACBD的对角线 CDAB,

27、求四边形 ACBD面积的最大值细心整理归纳 精选学习资料 解1 设 A x1,y1 ,B x2,y2,就y1y22 by1y20. 第 13 页,共 17 页 2 2xa 2y b 12 1 2 2x 2y 22 1 a b,得x1x2a2x1x2由于y1y2 x1x2 1,设 P x0,y0 ,1 2,由于 P为 AB的中点,且OP的斜率为所以 y01 2x0,即 y1y21 2 x1x2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以可以解得a 22b

28、学习必备欢迎下载2,即 a 22 a2c2 ,即 a22c 2,又由于 c3,所以 a26,30,2 2所以 M的方程为x 6 y 31. 2 由于 CDAB,直线 AB方程为 xy所以设直线CD方程为 yxm,3 3,将 xy2 230 代入x 6y 31 得：3x243x0,即 A0 ,3 ,B43 3,所以可得 | AB| 46 3；2 2将 yxm代入x 6 y 31 得：3x24mx2m 260,设 C x3,y3 ,D x4,y4,就| CD| 2x3x424x3x4232182m 2,1 2| AB| |CD| 又由于 16m 2122 m 260 ,即 3m3,所以当 m0 时, | CD| 取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为