2022年高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编.docx

《2022年高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编.docx（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第四章 矩阵学问点考点精要一矩阵及其运算1.矩阵的概念a 11 a 1 n（ 1）由 s n 个数 a （i=1,2 s；j=1,2 n）排成 n 行 n 列的数表,称为 s 行 n 列a s 1 a sn矩阵,简记为 A a ij sn；（ 2）矩阵的相等 设 A a ij mn,B a ij lk,假如 m=l ,n=k,且 a ij b ,对 i=1,2 m；j=1,2 n都成立,就称 A 与 B 相等,记 A=B ；（ 3）各种特殊矩阵 行矩阵,列矩阵,零矩阵,方阵（上）下三角矩阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵；2.矩

2、阵的运算（ 1）矩阵的加法a 11a 1 n+b 11b 1 n=a 11b 11a 1 nb 1 nas 1asnb s 1b snas 1b s 1asnb sn运算规律：i A+B=B+A iA+B+C=A+B+C iii A+O=A iv）A+-A=O （ 3）数与矩阵的乘法a 11a 1nka 11ka 1 nkas 1asnkas 1ka sn运算规律：（k+l ）A=kA+lA ,kA+B=ka+kB klA =klA l A=A. （ 3）矩阵的乘法名师归纳总结 a 11a 1 nb 11b 1 nc 11c 1n第 1 页,共 17 页as 1asnb s 1b sncm 1

3、cmn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中c ija b 1 1ja b 2j.a b nj,i名师精编优秀资料m1,2,. ; s j1,2.运算规律：i （AB ）C=ABC iAB+C=AB+AC iii B+CA=BA+CA iv）kAB=A kB =kAB 一般情形,AB BA AB=AC,A 0 B=C AB=0 A=0 或 B=0 （ 4）矩阵的转置Aa 11a 1 nA 的转置就是指矩阵Aa 11as 1as 1asna 1nasn运算规律：i） ABABii ）AAiii ）AB B Aiv）kAkA（ 5）方阵的行列式设方阵Aa

4、11a 1 nA 的行列式为Aa 11a 1nas 1asnas 1asn运算规律：i AAnABA ,这里 A,B 均为 n 级方阵；ii kAkiii ABA B二矩阵的逆1.基本概念（ 1）矩阵可逆的定义n 级方阵 A 称为可逆的,假如有n 级方阵 B,使得 AB=BA=E ,这里 E 是 单位 矩阵；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料（ 2）相伴矩阵设A 是矩阵Aa 11a 1n中元素ija的代数余子式,矩阵* AA 11A 1 n称 A 的伴a n1a nnA n 1A nn随矩阵；2.

5、 基本性质（ 1）矩阵 A 可逆的充分必要条件是A 非退化（A0）,而A1* AA（ 2）假如矩阵A ,B 可逆,那么A 与 AB 也可逆,且n 可逆矩阵, A1A1AB1B1 A13设 A 是 sn 矩阵,假如P 是 ss 可逆矩阵, Q 是 n那么 秩（ A ）=秩（ PA）=秩（ AQ ）三分块矩阵明白分块矩阵的概念及运算,特殊是准对角矩阵的性质；对于两个有相同分块的准对角矩阵名师归纳总结 AA 10, BB 10假如它们相应的分块是同级的,就第 3 页,共 17 页0A l00B lA B 1（ 1）AB0A B l0A 1B 1（ 2）AB0AB l（ 3）AA 1A 2.A iA

6、A 2.A 可逆,且此时,A1A 110（ 4）A 可逆的充要条件是0A1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料四初等变换与初等方阵1.基本概念（ 1）初等变换i用一个非零的 数 k 乘矩阵的第i 行（列）记作r ik c ikjkci称为矩阵的三种初等行（列）ii 互换矩阵中i ,j 两行（列）的位置,记作r ir c j iciii ）将第 i 行（列）的 k 倍加到第 j 行（列）上,记作rjkr cj矩阵；初等行,列变换称为初等变换所得到的矩阵；（ 2）初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵；、2.基本性质（ 1）对一个 s

7、n 矩阵 A 作一次初等 行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s 初等矩阵；对A作一次初等 列 变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n 初等矩阵；10000100（ 2）任意一个 s n 矩阵 A 都与一形式为0010的等价, 它称为矩阵A 的标准型,00000000主对角线上1 的个数等于A 的秩；（ 3）n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是,它能表示成一些初等矩阵的乘积；（ 4）两个 sn 矩阵 A ,B 等价的充分必要条件是,存在可逆的s 级矩阵 P 与可逆的n 级矩阵 Q,使B=PAQ ；3.用初等变换求逆矩阵的方法名师归纳总结 把 n 级矩阵 A,E 这两个 nn 矩阵凑在一

8、起, 得到一个n2n 矩阵（AE）,用初等行变换把它的左第 4 页,共 17 页边一半化成E,这时,右边的一半就是A1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第五章 二次型学问考点精要1. 二次型及其矩阵表示（ 1）二次型设P是 一 数 域 , 一 个 系 数 在 数 域P中 的x 1,x 2,.,xn的 二 次 齐 次 多 项 式f x 1,x 2,x n2 a x 11 12a x x22a x xn2 a x 22a2nx x n2 a x n称 为 数 域P 上的一个 n 元二次型；（ 2）二次型矩阵设f x x2,x n是 数

9、域P上 的n元 二 次 型 ,fx x2,xn可 写 成 矩 阵 形 式f x 1,x 2,x n X AX其中 x=x x2,xn,A= a ij n n, AA ； A 称为二次型f x x 2,x n的矩阵；秩（ A）称为二次型f x x 2x n的秩；（ 3）矩阵的合同数域 P 上 nn 矩阵 A,B 称为合同的,假如有属于P 上可逆的 nn 矩阵 C,使B C AC2标准型及规范性定理数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型2 d y 1d y2d y22n用矩阵的语言表达,即数域P 上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵；定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退

10、化的线性替换化成规范型2 z 12 z 2.2 z 且规范形是唯独的；定 理任 意 一 个 实 系 数 的 二 次 型 经 过 一 适 当 的 非 退 化 的 线 性 替 换 化 成 规 范 型2 z 1.2 z p2 z p1.2 z p q且规范形是唯独的,其中p 称为此二次型的正惯性指数,q称为此二次型的负惯指数,3. 正定二次型及正定矩阵（ 1）基本概念2p-q 称为此二次型的符号差；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - i）正定二次型实二次型fx x2,x名师精编优秀资料c c2,.c ,n称为正定的, 假如

11、对于任意一组不全为零的实数都有f c c 2,.cn0.ii ）正 定 矩阵实对称矩阵 A 称为正定的,假如二次型 X AX 正定；iii ）负定 半正定 半负定 不定的二次型设 f x 1 , x 2 , x n 是 一 实 二 次 型 , 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 实 数 c c 2 ,. c n , 如 果f c c 2 ,. c n 0.,那么 f x x 2 , x n 称为负定的；假如都有 f c c 2 ,. c n 0. 那么称f x 1 , x 2 , x n 为半正定的； 假如都有 f c c 2 ,. c n 0.,那么 f x x 2 , x n 称为

12、半负定的；假如它既不是半正定的又不是半负定的,那么 f x x 2 , x n 就称为不定的；（ 2）正定二次型,正定矩阵的判定对于实二次型f x x2,xn= X AX ,其中 A 是实对称的,以下条件等价; i f x x 2,x n是正定的,iA 是正定的iii f x x2,xn的正惯指数为n iv）A 与单位矩阵合同v）A 的各阶次序主子式大于零名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第六章 线性空间学问点考点精要一线性空间1. 线性空间的定义设 V 是一个非空集合,P 是一个数域；在集合 V

13、 的元素之间定义了一种代数运算；这就是说,给出了一个法就, 对于 V 中的任意两个元素 ,在 v 中都有唯独的一个元素 r 与它们对应, 称为与 的和,记为 r；在数域 P 与集合 V 的元素之间仍定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说,对于属于 P 中任意数 k 与 V 中任意元素,在 V 中都有唯独的元素 与它们对应,称为 k 与 的数量乘积,记为k；假如加法与数量乘法满意下述规章,那么（ 1）（ 2）V 称为数域 P 上的线性空间；3 在 V 中有一元素0,对于 V 中任意元素都有00 （称为的负元素）（具有这个性质的元素0 称为 V 的零元素）；,使得（ 4）对于 V 中的每一个元素,

14、都有 V 中的元素（ 5）1; （ 6）k lkl（ 7） klkl（ 8）kkk2维数,基与坐标名师归纳总结 （1）假如在线性空间V 中有 n 个线性无关的向量；但是没有更多数目的线性无关的向量,那么V第 7 页,共 17 页就称为 n 维的；假如在V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么V 就称为无限维的；（2）假如在线性空间V 中有 n 个线性无关的向量1,2,.,n,且 V 中任一向量都可以用它们线性表出,那么V 是 n 维的,而1,2,.,n就是 V 的一组基；（3）在 n 维线性空间中,n 个线性无关的向量1,2,.,n称为 V 的一组基；设是 V 中任一向量 , 于 是1,2,

15、.,n,线 性 相 关 , 因 此可 以 被 基1,2,.,n唯 一 的 线 性 表 出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 11.ann名师精编1优秀资料n称为在基1,2,.,n下的坐标, 其中系数,2,.,记（1,2,.,n）. 3. 基变换与坐标变换, , ,（1）设 1, 2,., n与 e e 2 ,., e 是 n 维线性空间 V 中两组基,假如a 11 a 1 n a 11 a 1 n, , , e e 2 ,., e n 1, 2, ., n 矩阵 A 称为 1, 2 ,., n到a n 1 a nn a n 1 a nn, ,

16、 ,基 e e 2 ,., e 的过度矩阵；, , , , , ,（2）设 1, 2,., n与 e e 2 ,., e 是 n 维线性空间 V 中两组基,由基 1, 2,., n到基 e e 2 ,., e n, , ,的过度矩阵为 A ,向量 在这两组基下的坐标分别为（x 1 , x 2 ,., x ）与 x x 2 ,., x n ,x 1 x 1就 x 2=A x 2；. .x n x n 二线性子空间1.线性子空间（1）数域 P 中线性空间 V 的一个非空子集合 W 称为 V 的一个线性子空间,假如 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间；（2）线性空间 V 的非空子集

17、 W 是 V 的子空间的充分必要条件是 W 对于 V 的两种运算封闭；2.子空间的交与和（1）线性空间 V 的子空间 V V 的交与和,即 V 1 V V 1 V 都是 V 的子空间；（2）维数公式 假如 V V 是线性空间 V 的两个子空间,那么维（V ）+维（V ）=维（V 1 V ）+维（V 1 V ）3子空间的直和名师归纳总结 （1）设V V 是线性空间V 的子空间,假如和V 1V 中的每个向量的分解式V ；第 8 页,共 17 页121V ,2V 2是唯独的,这个和就称为直和,记为V 12设V V 是线性空间V 的子空间,以下这些条件是等价的：- - - - - - -精选学习资料

18、- - - - - - - - - i）V 1V 是直和名师精编优秀资料ii ）零向量的表示式是唯独的iii ）V 1V =0 V ）+维（V ）；iv）维（V 1V ）=维（三线性空间的同构1.数域 P 上两个线性空间V 与 V 称为同构的,假如由V 到 V 有一个 1-1 的映上的映射,具有以下性质：（1）,k ;称为同构映射；（2）k.其中是 V 中任意向量, k 是 P 中任意数,这样的映射2.数域 P 两个有限维数线性空间同构的充分必要条件是它们有相同维数；第七章 线性变换学问点考点精要一线性变换及其运算1. 线性变换的定义线性 空间 V的的一个变换. 称为线性变换,假如对于V 中任

19、意元素,和数域 P中任意数k,都有 . =.+ . . K=k .（）2线性变换的运算设 . ,是数域 P 上线性空间V的两个线性变换,kP；（1）加法（. +）（）=.（） +（）（2）数乘（k . ）（）=k .（）（3）乘法（.）（）= . （）（4）逆变换名师归纳总结 3. 设1,V 的变换 . 称为可逆的,假如有V 的变换,使.=. = （V 的恒等变换）第 9 页,共 17 页2,.,n 是数域 P 上的 n 维线性空间V的一组基 , . 是 V中的一个线性变换, 基向量的象可以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料被基线性表

20、出 : Ae 1a 11 1a 122a 1nn,1）Ae 2a 21 1a 222a 2nn,Ae na n 11a n22a nnn.用矩阵来表示是A（1,2,.,n ）=（A1,A2,.,An）=（1,2,.,n ）A （1）a 11a 1 n其中A矩阵 A称为 . 在基1,2, .,n 以下矩阵；an 1ann（ 2）设1,2,.,n 是数域 P 上 n 维向量空间V 的一组基,在这组基下,每个线性变换按公式（对应一个nn 矩阵；这个对应具有以下性质：i ）线性变换的和对应于矩阵的和 ii ）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；iii）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；iv ）可逆的

21、线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵；（ 3 ） 设 线 性 变 换.在 基1,2 ,.,n 下 的 矩 阵 是A, 向 量在 基1 ,2 ,.,n 下 的 坐 标 是, x x,., x n,就 .在基1,2,.,n 下的坐标 （y y2,.,y ）可按公式y 1x 1y 2Ax 2运算；2.（ 4）设 A,B 为数域 P 上两个 n 级矩阵, 假如可以找到数域P 上的 n 级可逆矩阵y nx nX,使得BX1AX ,就说 A 相像于 B；（ 5）线性变换在不同基下所对应的矩阵是相像的；反过来,假如两个矩阵相像,那么它们可以看作 同一线性变换在两组基下所对应的矩阵；二特点值与特点向量

22、1. 特点值与特点向量的定义设 A 是数域 P 上线性空间V的一个线性变换,假如对于数域P中一数0,存在一非零向量,使得 A =0, 那么0称为 A 的一个特点值,称为 A的属于特点值0的一个特点向量；2. 特点多项式的定义名师归纳总结 （1）设 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵,是一个文字,矩阵E-A 的行列式第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 1 n名师精编优秀资料EAan 1a 11ann称为 A 的特点多项式,这是数域P 上的一个n 次多项式,就f A n A.a nnn A1n . 1A E03. 特点值

23、与特点向量的性质（ 1）设1,2,.,n是 n 级矩阵Aaijn n的全体特点值, 就1.na 11.a nn,1.nA（ 2）属于不同特点值的特点向量是线性无关的；（ 3）假如1,2,.,n是线性变换A 的不同的特点值, 而ai 1,.a iri是属于特点值i的线性无关的特征向量, i=1,2 . , k 那么向量组a 11,.a 1r 1,.ak 1,. akr k也线性无关；4. 线性变换在某组基下为对角矩阵的条件（1）设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充要条件是,A 有 n 个线性无关的特点值；（2）假如在 n 维线性空间 V 中的

24、,线性变换 A的特点多项式在数域 P中有 n 个不同的根,即 A有 n个不同的特点值,那么 A 在某组基下的矩阵是对角矩阵；（3）在负数域上的线性空间中,假如线性变换 A的特点多项式没有重跟,那么 A 在某组基下的矩阵是对角矩阵；三. 矩阵的相像1. 矩阵相像的定义设 A,B 为数域 P上两个 n 级矩阵 , 假如可以找到数域P 上的 n 级可逆矩阵X, 使得BX1AX ,就说 A 相像于 B,记为 AB. 2.相像矩阵的性质1相像矩阵有相同的特点多项式. 2相像矩阵有相同的最小多项式；四线性变换的值域与核1.设 A 是线性空间 V 的一个线性变换,A 的全体象组成的集合称为 A 的值域,用

25、AV 表示； AV是 V 的子空间,维（AV ）称为 A 的秩,全部被 A 变成零向量的向量组成的集合称为 A 的核,记为 A 10；A 10 是 V 的子空间,维（A 10）称为 A 的零度；2.设 . 是 n 维线性空间 V 的线性变换,1, 2,., n是 V的一组基；在这组基下 . 的矩阵是 A,就（1）. V=L（A 1, A 2,., A n）（2）. 的秩 =A 的秩名师归纳总结 3. 设 A是 n 维线性空间V的线性变换,就A的秩 +A的零度 =n 第 11 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料五不变子空

26、间1. 设 A 是数域 P 上线性空间V 的线性变换, W是 V的子空间,假如W中的向量在A 下的象仍在W中,就称W是 A 的不变子空间,简称A-子空间；第九章 欧几里得空间学问考点精要一欧氏空间的基本概念1. 设 V是是数域 R上一线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记为, ,特具有一下性质：（1） , , ；（2） k , k , （3） , , , ；（4） , 0 ,当且仅当 =0 时 , =0.这里 , , 是 V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得空间；2. 非负实数 , 称为向量 的长度,记为；3.非零向量 , 的夹角 , 规定为 , a

27、rccos , ,0 ,4.假如向量 , 的内积为零,即 , 0 ,那么 , 称为正交或相互垂直,记为；5.设 V 是一个 n 维欧几里得空间, 在 V 中取一组基 1, 2,., n令 a ij i , j , , i j 1,2,. n 矩阵A a ij n n 称为基 1, 2,., n 的度量矩阵；（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的；6. 欧氏空间 V 中一组非零向量,假如它们两两正交,就称为一正交向量组；在 n 维欧氏空间中,由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基；二同构名师归纳总结 1. 实数域 R上欧氏空间V与v 称为同

28、构,假如由V 到v 有一个 1-1 上的映射,适合第 12 页,共 17 页（1） - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）kk名师精编优秀资料（3） ,这里,V kR ,这样的映射称为 V 到v 的同构映射；2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同；三正交矩阵1. 基本概念（1）n 级实数矩阵A称为正交矩阵,假如A AE ；即对任意的,V（2）欧氏空间 V 的线性变换A 称为正交变换, 假如它保持向量的内积不变,都有 A,A ,2.主要结论设 A 是欧氏空间V 的一个线性变换,于是下面4 个命题等价：；n也是标准正交基；（1）A 是正交变

29、换；（2）A 保持向量的长度不变,即对于V , A（3）假如1,2,.,n是标准正交基,那么A1,A2,.,A（4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵；四正交子空间1. 基本概念（1）设 V V 是欧氏空间 V 中两个子空间； 假如对于任意的 V 1 , V 恒有 , =0,就称 V V 2为正交的,记 V 1 V ；一个向量,假如对于任意的 V ,恒有 , =0,就称 与子空间 V 正交,记为 V ；（2）子空间 V 称为子空间的一个正交补,假如 V 1 V ,并且 V 1 V =V ；2.主要结论（1）假如子空间 V 1,., V 两两正交,那么和 V 1 . V 是直和；（2）欧氏

30、空间 V 的每一个子空间 V 都有唯独的正交补 V 1；（3）V 1 恰由全部与 V 正交的向量组成；五对称矩阵的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料1. 实对称矩阵的性质（1）实对称矩阵的特点值皆为实数；（2）设 A 是 n 级实对称矩阵,就n R 中属于 A 的不同特点值的特点向量必正交；（3）对于任意一个n 级实对称矩阵A ,都存在一个n 级正交矩阵T,使 T ATT1AT 成对角矩阵；2. 对称矩阵（1）设 A 是欧氏空间V 中的一个线性变换,假如对于任意的,V ,有 A,A就称 A

31、为对称变换；（2）对称变换的性质i）对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵；ii ）设 A 是对称变换,V 是 A- 子空间,就 V 1 也是 A-子空间；iii）设 A 是 n 维欧氏空间 V 中的对称变换, 就 V 中存在一组由 A得特点向量构成的标准正交基；六向量到子空间的距离,最小二乘法1. 长度d称为向量和的距离,记为d,且（1） ,=d,（2）d ,0,当且仅当时等号成立；（3）d ,d, d ,（三角不等式）2.实系数线性方程组名师归纳总结 a 11 x 1a x 1a x 2a x nb 10不等于零,第 14 页,共 17 页a x 2a x nb 20a x 1a x 2

32、a x nb n0可能无解,即任何一组实数x 1,x 2,.x 都可能使na x 1a x 2.a xsb i2i1查找实数组0 x 1,0 x 2,.,0 x 使上式最小,这样的0 x 1,x0,.,0 x 称为方程组的最小二乘解；23.线性方程组AX=b 的最小二乘解即为满意方程组 A AX Ab 的解X0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第十章 双线性函数学问点考点精要一. 线性函数1. 基本概念1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间 ,f 是 V 到 P 的一个映射 , 假如 f 满意 : i ）f f f ii f k k

33、f 其中 , 是 V 中任意元素, k 是 P 中任意数,就称 f 为 V 上的一个线性函数；（2）设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间； V 上全体线性函数组成的集合记作 LV,P ；用自然数方法定义 LV,P 中的加法和数量乘法,LV,P 称为数域 P 上的线性空间,称为 V 的对偶空间；（3）设数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基为 1, 2,., n,作 V 上 n 个线性函数 f 1 , f 2 . f ,使得1, j if i i i , j 1, 2. n 就 f 1 , f 2 . f 为 LV ,P的一组基,称为 1, 2,., n 的对偶基；0, j i2.

34、主要结论（ 1）设 V 是 P 上一个 n 维线性空间,1, 2,., n 是 V 的一组基,a a 2,., a 是 P中任意 n 个数,存在唯独的 V 上线性函数 f 使 f i a ,i 1,2. n ；（ 2）设 1, 2,., n及 1, 2,., n是线性空间 V 的两组基,它们的对偶基分别为 f 1 , f 2 . f n 及g 1 , g 2 . g ；假如由 1, 2,., n 到 1, 2,., n 的过度矩阵为 A ,那么由 f 1 , f 2 . f 到 g 1 , g 2 . g n的过度矩阵为 A 1；（ 3）设 V 是 P 上一个线性空间,V 是其对偶空间,取定 *V 中一个向量 x,定义 V 的一个函数 *x *如* * * * * * *下：x f f x , f V 简单验证 x 上的一个线性函数, 因此是 V 的对偶空间 V V* *中的一个元素,映射 x | x 是 V 到 V 的一个同构映射；二双线性函数名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料1.基本概念（ 1）设 V 是数域 P上一个线性空间,f ,是 V 上一个二元函数；假如f,有以下性质：i f,k 11k22k f ,1k f,2为 V 上的一个双线性ii f k11k2