2022年高等代数北大版教案-第章线性方程组.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 线性方程组 1 消元法一 授课内容： 1 消元法二 教学目的： 懂得和把握线性方程组的初等变换,同解变换,会用消 元法解线性方程组 . 三 教学重难点： 用消元法解线性方程组 . 四 教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为a 11x 1a 12x 2.a 1nxnb 1aija21x 1a 22x2.a2nx nb 21. . . .an 1x 1a n2x 2.a nnx nb n的方程组,其中x 1,x2,nx代 表 n 个 未知量 , s 是方程的个数,i1 2,s,j1 2,n称为方程组的 系数 ,b j,12 ,s称为常数项

2、 . k 1所谓方程组1的的一个解就是指由k1,n 个数n组成的有序数组,k2,kn ,当x 1,x2,xn分别用k2,k代入后,1中每个等式变为恒等式,方程组1的解的全体称为它的 解集合 . 解方程组实际上就是找出它的全部解,或就说,求出它的解集合 . 如果两个方程组有相同的解集合,它们就称为 同解 的. 明显,假如知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个方程组就基本上确定了,准确的说,线性方程组1可以用如下的矩阵a 11a 12a 1nb 1a21a22a2nb 2as 1as 2a snb s来表示 . 在中学代数里, 我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元,三元 名师归纳总结

3、 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线性方程组,实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性 . 分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复的对方程组进行变换,而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1用一非零的数乘某一方程. . 2把一个方程的倍数加到另一方程 3互换两个方程的位置 . 定义 1 变换 1,2,3 称为线性方程组的 初等变换 . 消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程 . 可以证明,初等变换总是把方程组变成 同解的方程组 . 对于线性方程组反复的施行初等变换,一个 阶梯形 方程组 . 一步一步做下去,

4、最终就得到c 11x 1c 12x 2xrc2rc 1rxrnc 1nx n2d 15c 22x 2xrc 2nx ndc rr0c rnxdrdr10000明显 5与 1是同解的 . 考察 5的解的情形 . 如5中的方程0dr1,而rd10这时不管x1,x2,xn取什么值都不能使它成为等式,故5无解,因而 1也无解 . 当dr1n0,或 5中根本没有“0n0” 的方程时,分两种情形：1d 1r,这时阶梯形方程组为c 1x nc 11x 1c 12x 2c22x 2c 2nx nd2cnnx nd n有唯独解 . 2x 1x2x3x361. . 例 解方程组4x 12x 25x 342x 12

5、3,16解 上述方程有唯独的解9 , 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2rn,这时阶梯形方程组为c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 r x r c 1 n x n d 1c 22 x 2 c 2 r x r c 2 n x n d 2c rr x r c r , r 1 x r 1 c nn x n d n其中 c ii 0,i ,1 2 , , s,把它改写成c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 r x r d 1 c ,1 r 1 x r 1 c 1 n x nc 22 x 2 c 2 r x

6、r d 2 c 2 , r 1 x r 1 c 2 n x n7c rr x r c r , r 1 x r 1 d n c r , r 1 x r 1 c nn x n由7我们可以把 x 1 , x 2 , , rx 通过 x r 1 , , x n 表示出来,这样一组表达式称为方程组1的 一般解 ,而 x r 1 , , x n 称为一组 自由未知量. 例解方程组2x 1x23 x31. 4x12x25 x34解 一般解为2x1x24x 31x 11 2 x 37x 2. 2定理 1 在齐次线性方程组中,假如sna 11x 1a 12x2.a 1 nxn0a21x 1a22x 2.a2nx

7、 n0. . . .0an 1x 1a n2x2.annx n,那么它必有非零解 . 把矩阵a 11a 12a 1nb 1a21a22a2nb 2as 1as 2a snb s 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 称为线性方程组 1的 增广矩阵, 明显,用初等变换花线性方程组1成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵1. 12x 1x23x313例 解方程组4x 12x 25x34. 2x1x24x30213121312解: 425400120012214000110001从最终一行可以看出原方程组无解.

8、2 n 维向量空间一 授课内容： 2 n维向量空间二 教学目的： 懂得和把握n维向量空间的概念,把握 n 维向量空间的两种运算及八条运算律三 教学重难点：n 维向量空间的概念 . 四 教学过程：定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量 就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组a1,a2,an1ia 称为向量 1的重量 . 定义 3 假如 n 维向量a 1,a2,an,b 1,b 2,bn的对应重量都相等,即iaibi,12 ,n. 就称这两个向量是相等的,记作定 义4向 量a1b 1,a2b2,anbn称 为 向 量 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习

9、资料 - - - - - - - - - a1,a2,an,b 1,b2,bn的和,记为. 由定义立刻推出a 11交换律 ：. 0,向量2结合律 ：. 定义 5 重量全为零的向量0,0,0 称为 零向量 ,记为,a2,an称为向量a1,a2,an的负向量,记为. 明显对于全部的,都有0,0. 称 为 向 量定义 6. 定 义 7设 k 为 数 域 P 中 的 数 , 向 量ka 1,ka2,kana1,a2,an与数 k 的数量乘积 ,记为 k. 由定义立刻推出kllklkkklkk1 定义 8 以数域 P 中的数作为重量的 n 维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域

10、P 上的n维向量空间 . 向量通常是写成一行a 1,a2,ana 1有时候也可以写成一列a2an前者称为 行向量 ,后者称为 列向量 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 线性相关性一 授课内容： 3 线性相关性二 教学目的：懂得和把握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩 . 三 教学重难点： 线性相关与线性无关的概念 . 四 教学过程：定义 9 向量 称为向量组 1 , 2 , , s 的一个 线性组合 ,假如有数域P 中的数 k 1 , k 2 , , k s,使 =

11、 k 1 1 k 2 2 k s s . 任何一个 n 维向量 都是向量组1 0,1 , 0, 2 0 ,1, , 0 n ,0 ,0 1,的一个线性组合,由于 a 1 1 a 2 2 a n n向量 1 , 2 , , n 称为 n 维单位向量 . 当向量 是向量组的一个线性组合时,我们也说 可以 线性表出 . 定义 10 假如向量组 1 , 2 , , t 中的每一个向量 i i ,1 2 , , t 都可以由向量组 1 , 2 , , s 线性表出,那么向量组 1 , 2 , , t 就称为可以由向量组 1 , 2 , , s 线性表出 , 假如两个向量组相互可以线性表出,它们就称为 等

12、价. 组由定义知,向量组之间的等价有以下性质. ,2,s等价,那么向量1反身性每一个向量组与它自身等价2对称性假如向量组1,2,t与11,2,s也与1,2,t等价 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3传递性假如向量组1,2,t与1,2,s等价,向量组1,2,s与1,2,t等价,那么向量组1,2,t与1,2,t等价. 定义 11 假如向量组 1 , 2 , , ss 2中有有一向量可以经其余的向量线性表出,那么向量组 1 , 2 , , s 称为 线性相关的 . 明显,由于零向量可以被任一个向量组线性表出,那么任

13、意一个包含零向量的向量组必线性相关 . 定义 1 向量组 1 , 2 , , ss 1称为线性相关,假如数域 P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s,使 k 1 1 k 2 2 k s s 0定义 12 一向量组不线性相关,即没有不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s,使 k 1 1 k 2 2 k s s 0 就 称 为 线 性 无 关 , 或 者 说 , 一 向 量 组1 , 2 , , s 称为线性无关,假如由 k 1 1 k 2 2 k s s 0 可以推出k 1 k 2 k s 0 . 由定义立刻得出, 假如一向量组的一部分线性相关,那么这个向量组就线性相关

14、 . 换个说法,假如一向量组线性无关,那么它的任何一个非空的部分组也线性无关 . 明显,由 n 维单位向量1,2,n组成的向量组是线性无关的. r线,定理 2设1,2,r与1,2,s是两个向量组,假如1 向量组1,2,r可以经1,2,s线性表出 . 2rs.那么向量组1,2,r必线性相关 . 推论 1假如向量组可以经1,2,s线性表出,且1,2,性无关,那么rs. 推论 2 任意n1个n维向量必线性相关 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 3两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量. 定义 13 一向

15、量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组 ,假如这个部分组本身是线性无关的, 并且从这个向量组中任意添一个向量假如仍有的话,所得的部分向量组都线性相关 . 明显,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价,向量组的两个极大线性无关组是等价的 . 定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 . 定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 . 由定义立刻得出, 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 . 明显,等价的向量组有相同的秩 . 4 矩阵的秩一 授课内容： 4 矩阵的秩二 教学目的：懂得和把握行秩、列秩、矩阵的秩,把握矩阵的秩与 k级

16、子式的关系,会求矩阵的秩 . 三 教学重难点： 定理 4 的证明 . 四 教学过程：假如我们把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的,同样的,假如我们把矩阵的每一列看成一个向量,那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的 . 定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩 . 引理 假如齐次线性方程组a 11 x 1 a 12 x 2 . a 1 n x n 0a 21 x 1 a 22 x 2 . a 2 n x n 0. . . .a s 1 x 1 a s 2 x 2 . a sn x n 0的系数矩阵 名师归纳总结 - -

17、- - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 12a 1 n的行秩snAa21a22a2nas 1as 2asn,那么它有非零解 . 定理 4矩阵的行秩与列秩相等 . 由于矩阵的行秩与列秩相等,所以下面就统称为定理 5 n n 矩阵a 11 a 12 a 1 na 21 a 22 a 2 nAa n 1 a n 2 a nn的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n . 推论 齐次线性方程组矩阵的秩 . a 11 x 1 a 12 x 2 . a 1 n x n 0a 21 x 1 a 22 x 2 . a 2 n x n 0. .

18、 . .a n 1 x 1 a n 2 x 2 . a nn x n 0有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵Aa 11a 12a 1na21a 22a2nan 1an2ann的行列式等于零 . 定义 16 在一个 s n 矩阵 A中任意选定 k 行和 k 列,位于这些选定的行和列的交点上的 k 个元素按原先的次序所组成的 2 k k 矩阵的行列式,称为 A 的一个 k 级子式 . 定理 6 一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为矩阵中有一 r 级子式不为零,同时全部的 r 1 级子式全为零 . 怎样运算矩阵的秩, 可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵,其中非零行的数目就是原矩阵的秩 . 名师归纳总结

19、- - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 线性方程组有解的判定定理一 授课内容： 5 线性方程组有解的判定定理二 教学目的：懂得和把握线性方程组有解判定定理,利用克兰姆法就写出一般解三 教学重难点： 判定定理的证明 . 四 教学过程：线性方程组有解的判定定理 为它的系数矩阵线性方程组 1有解的充分必要条件Aa 11a 12a 1 na 21a22a2nas 1as2asn与增广矩阵Aa 11a 12a 1 nb 1a21a22a2nb 2as 1as 2asnbs有相同的秩 . 6 线性方程组解的结构一 授课内容： 6 线性方程组解

20、的结构二 教学目的：懂得和把握基础解系的概念,把握方程组解的性质,把握一般线性方程组解的结构 . 三 教学重难点： 基础解系,解的结构 . 四 教学过程： 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于齐次线性方程组a 11x 1a 12x 2.a 1nxn01a21x 1a22x2.a2nxn0. . . .0as 1x 1as 2x2.asnxn它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1两个解的和仍是方程组的解. 1,2,t称为 1的一2一个解的倍数仍是方程组的解.综上,解的线性组合仍是方程组的解. 定义 17 齐次线

21、性方程组 1的一组解个基础解系 ,假如11的任何一个解都可以表示为 1 , 2 , , t 的线性组合 . 21 , 2 , , t 线性无关 . 定义 7 在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系,并且它所含解的个数就等于 n r,这里 r 表示系数矩阵的秩 . 以下将看到,n r 也是自由未知量的个数由定义简单看出, 任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系 . 对于一般的线性方程组：a 11x 1a 12x 2.a 1nxnb 19a21x 1a22x 2.a2nx nb 2. . . .b sas 1x 1as 2x 2.asnx n假如把常数项换成零,就得到齐

22、次线性方程组为方程组 9的 . 1,方程组 1称方程组 9的解与它的导出组 1的解有亲密的关系：1方程组 9的两个解的差是它的导出组1的解 . 2方程组 9的一个解与它的导出组1的一个解之和仍是这个 线性方程组的一个解 . 由这两点简单证明个解定理 8假如0是方程组 9的一个特解,那么方程组 9的任一都可以表成010 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中是导出组 1的一个解 . 因此,对于方程组 9的任一个特解0,当 取遍它的导出组的全部解时, 10就给出 9的全部解 . 推论 在方程组有解的情形下, 解是唯独的

23、充分必要条件是它的导出组 1只有零解 . 例 用消元法解方程组x 1 3 x 2 5 x 3 4 x 5 1x 1 3 x 2 2 x 3 2 x 4 x 5 1x 1 2 x 2 2 x 3 x 4 x 5 3 . x 1 4 x 2 x 3 x 4 x 5 3x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 x 5 6例 把向量组 表示为向量组 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合： ,1 2 1,1,1 1,1,1,1 ,2 1 ,1, ,1 1 , 3 1 , 1 ,1, 1 , 4 ,1 ,1 1,1 . 例 证明 假如向量组 1 , 2 , , r 线性无关,而 1 , 2 , , r,线

24、性相关,就向量 可以由 1 , 2 , , r 线性表出 . 例 设 t 1 , t 2 , , rt 是互不相同的数,r n,证明：i ,1 t i , , t i n 1i ,1 ,2 , r 是线性无关的 . 例 证明 假如向量组 1 可以由向量组 2线性表出,那么 1的秩不超过 2的秩 . 例 设1,2,r是一组 n 维向量,证明：1,. 2,r线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可以被它们线性表出例 证明对任何的b 1,b2,bna 11x 1a 12x 2.a 1nxnb 1aij0. a21x 1a22x 2.a2nx nb 2. . . .an 1x 1an2x 2.a nnx nb n都有解的充分必要条件是系数行列式 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 01112例 运算矩阵48787的秩. 5007798736 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页