2022年高等数学微积分复习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 一元函数积分学1基本要求1懂得原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,把握不定积分的基本性质；2把握两种积分换元法,特殊是第一类换元积分法凑微分法；3把握分部积分法,懂得常微分方程的概念,会解可别离变量的微分方程,牢记非齐次 线性微分方程的通解公式；4懂得定积分的概念和几何意义,把握定积分的基本性质；5会用微积分基本公式求解定积分；6把握定积分的凑微分法和分部积分法；7知道广义积分的概念,并会求简洁的广义积分；8把握定积分在几何及物理上的应用；特殊是几何应用；2本章重点难点分析（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其运算；变上限积分

2、求导公式和牛顿莱布尼茨公式；定积分的应用；（2）本章难点：求不定积分,定积分的应用；重点难点分析： 一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分,不定积分可看成是微分 运算的逆运算, 熟记基本积分公式,和不定积分的性质是求不定积分的关键,而定积分就源于曲边图形的面积运算等实际问题,础；3本章典型例题分析例 1：求不定积分 sin 3xdx懂得定积分的概念并明白其几何意义是应用定积分的基解：被积函数 sin 3x 是一个复合函数,它是由 f u sin u 和 u 3 x 复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将 sin 3x 变形为 sin 3 x 1sin 3 3 ,故有31 1 1s

3、in 3 xdx sin 3 3 x dx sin 3 xd 3 3 x u cos C3 3 31u 3 x cos3 x C32 2例 2：求不定积分 a x dx a 0解：为了消去根式,利用三解恒等式 sin 2t cos 2t 1,可令 x a sin t ,就2 2a 2x 2a 2a 2sin 2t a cos t ,dx a cos dt ,因此,由其次换元积分法,所以积分化为名师归纳总结 a22 x dxacostacostdta22 costdta21cos2 tdt第 1 页,共 8 页2a2dta2cos2td2 a2ta2sin 2tCa2tsin cos C由于xa

4、sin 242422,所以 sintx,t2tarcsinx a ,利用直角三角形直接写a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 出cos t邻边a2x2,于是a22 x dxa2arcsinx a1xa2x2C斜边a22例 3：求不定积分 x sin xdx分析：假如被积函数 f x x sin x 中没有 x 或 sinx,那么这个积分很简洁运算出来,所以可以考虑用分部积分求此不定积分,假如令 u=x ,那么利用分部积分公式就可以消去 x因为 u 1解令 u x dv sin xdx ,就 du dx ,v cos x . 于是 x sin xdx ud

5、v uv vdu x cos cos x dx x cos x sin x C ；熟悉分部积分公式以后,没有必要明确的引入符号 u v ,而可以像下面那样先凑微分,然后直接用分部积分公式运算：xsinxdxxdcosxy cosxcosxdx xcosxsinxC例 4：求微分方程dy21的通解；dx解：原方程为可别离变量的方程,移项别离变量得名师归纳总结 1dyydx,两端积分得：1dyydx,得1 ln 2 2y1xC1从而第 2 页,共 8 页221ln 2y1xC ye2C 1e2x1；222yCe2x1其中 C 为任意常数由于2 eC 1仍旧是常数,把它记做C,故原方程的通解为22例

6、 5：求微分方程dy2yx2的通解dxxp x dxQ x ep x dxdxC解：这是一个一阶线性非齐次方程,通解公式为ye在此题中P x 2,Q x x2,由通解公式知xyep x dxQ x ep x dxdxCe2dx2 x e2dxdxxxC= e2lnx2 x e2lnxdxC14 x dxC1x5Cx2x25即原方程的通解为：yCx2x25- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6：求定积分 0x dx 1 2分 析 ： 设 函 数 f x 在 区 间 , a b 上 连 续 ,F x 是 在 , 上 的 一 个 原 函 数 , 就ba f

7、 x dx F b F a ,这就是牛顿 -莱布尼茨公式；3解：依据牛顿 -莱布尼茨公式,由于 x 是 x 的一个原函数,所以原式有 231x dx 2 x 3 1 1 30 310 3 0 3 3 3例 7：求定积分0 81 13 x dx分析：在应用定积分换元时应留意两点：（1）换元必换限,上限对上限,下限对下限,即假如用x t 把原先的变量换成了新变量 t,积分限也必需也必需换成新变量 限,上限对应的参数做上限；t 的积分限,并且原先下限对应的参数做下（2）求出换元后的原函数 t 后,不必像运算不定积分那样将它复原成x 的函数,只需将新变量的上、下限带入相减即可；解 为了去掉被积函数中的

8、根式,令3 xt ,即x3 t ,于是dx2 3 t dt ,并且当x=0 时,t=0；当 x=8 时, t=2,因此由换元公式有811xdx23 t2dt32 t2t1 1 dt1-莱布0301t0=32t1t11 dt32t1 dt2t11d t1000=3t2t2ln1t2 03ln 302例 8：运算定积分1x xe dx0分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数,再用牛顿尼茨运算定积分是一样的的分部积分法完全一样因此,定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分名师归纳总结 解令 ux ,dvxx e dx ,就dudx vex故由分部积分公式得112第

9、 3 页,共 8 页1x xe dxx11e1x e dx e1exexdxe100000e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例求反常积分0x xe dx分析：设f x 在 ,或 , b 或 , 上连续,定义反常积分af x dxlim bbf x dxabf x dxlim abf x dxaf x dx0f x dx0f x dx假设上述极限存在,就称相应的反常积分收敛,否就称其发散解由于1,就由曲线bx xe dxbxd exxexbbx e dxbebbexdx00000bebexb1b1,0b e所以0xexdxb limbx xe dxb

10、lim 1bb1 1b limb10eb e这里极限b limbb1是型未定式,由洛必达法就易知其极限为e例运算由抛物线y2 x 与y2x ,x0,x1所围阴影图形的面积分析：设函数f x ,g x 在区间 , a b 上连续,并且f x g x x , yf x 与yg x 以及xa xb 所围成的图形面积为Abf x g x dx时均a解联立两抛物线方程y2 x,得交点O0,0,B1,1,并且由图形可知当x0,1x2 y有f x xx2g x ,就所求图形面积为A1x2 x dx2x313 x11200333第六章多元函数微积分1基本要求1明白多元函数的概念,明白二元函数的几何意义,知道求

11、二元函数的定义域；2明白多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶偏导数和全微分；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3明白二重积分的概念与基本性质,把握二重积分的运算方法；2本章重点难点分析（3）本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的 运算方法；（4）本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的运算；3本章典型例题分析例 1. 求函数zsinxy2 cosxy的一阶偏导数 . xysin2xy解: 把 y 看成常数 , 对 x 求导 . zycosxy 2cosxysinxy

12、yy cosx例 2. 设zxyx,求 dzy解：依据全微分公式,先求两个偏导数所以z xyz1 y；zxx；.,1 x2及yx所围成的闭区域yy2dzzdxdyy1dxxx 2dyyxyy例 3.运算二重积分xyd,其中 D 是由直线yD解区域 D 如下图,可以将它看成一个x -型区域,y2x及yx2所围成的有界闭即Dx ,y|1x1,2yx 所以xyd2dxxxydyD112x1y2yxdx12y121x31xdx91228例 4. 运算二重积分xyd,其中 D 是有抛物线D 区域名师归纳总结 D解：如图,区域1D 可以看成是y 型区域,它表示为第 5 页,共 8 页Dx ,y|y2 ,y

13、2xy2 ,所以xyd2dyy2xydx2y1x2y2245dy1y212y8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1、x dexexcAx excBx exexcCxexcDx ex2、假设f x是gx的原函数,就. x Afxdxgx CBgxdxfxCCgxdxfx CDfx dxgxC3、假设fx dxx2e2xc,就fx. A22 xexB2x2e2xCxe2x D22 xex 14、sin2xdx. xcA1cos2xcBsin2xc Ccos2xcD1cos2225、d0xarctant2dt；arctant2dxA 2arctan

14、t112Barctanx 2 Carctanx 2Dt二、填空：名师归纳总结 1、已知f x的一个原函数为ex,就fx= x= 2, 且 设x x 2xf t dt, 就第 6 页,共 8 页2、假设fx存在且连续,就dfx3、假设fx d xFxc,就exfexd. 4、1x 2dx .x5、cscxcscxctgxdx . 6、cos2xxdx . cosxsin0F7、ecosx sinxdx . 8 、 已 知fx在,上 连 续 , 且fsinF0 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9、lim x 0xsint dt 2.0x310、设f2

15、4,2f x dx1,就2xf. x dx. . 0011、2x1dxycosx0的阶数是. 0y212、x y13、yyxy0的阶数是四、求不定积分名师归纳总结 11x 2x42 secxdxyx ,y242 tan xdxdx第 7 页,共 8 页0033x21dx4sin2x5dxx21x26111x2dx5xx22dx2047elnx3dx8arcsinx2dx1x1x292sin3xcosxdx10x22x2dx 302x11811xdx12dx303x2a2213 24x2dx 1402xcosxdx0161x2x edx15 2 x arctanx dx0 17 ex sinxd

16、x1822 x23 x1119 1dx4x 20elnx2dx15,直线1. 2x所围成的图形的面积21求由曲线yx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22求由曲线yx2与直线yx2,x0围成的平面图形面积. 23zx3y3 xy, 求z ,xz . yyx yx1,y0 及y1 及所围成的平面区域. 24zarctany,求z ,xz. xy25zx2 lnxy , 求 dz . 26zxxy e, 求 dz . 27ydxdy,其中 是由直线D28x 2y2x dxdy,其中 D 由直线y2,yx与y2x所围成 . D29xy2dxdy其中 D 由抛物线yx2和直线yx所围成 . D30解微分方程：dy dxcosxysinx0. . qq36万元 / 千件,其固定成本是31解微分方程：1ydx 1x dy032某厂生产某种商品q 千件的边际成本为C9800万元 . 求 1产量为多少时能使平均成本最低？2最低平均成本是多少？33已知某产品的边际成本为Cq4q万元 / 百台,边际收入为RqL6012q万元/ 百台；假如该产品的固定成本为10 万元,求：1产量为多少时总利润q最大？ 2从最大利润产量的基础上再增产200 台,总利润会发生什么变化？名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页