2022年高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022 高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编- 函数与导数1.天津文19、本小题总分值14 分函数f x 4x33 tx26 txt1,xR,其中 tR、当t1时,求曲线yf x在点0,f0处的切线方程；当t0时,求f x的单调区间；证明：对任意的t0,f x在区间0,1内均存在零点、【解析】19本小题主要考查导数的几何意义、利用导数争论函数的单调性、曲线的切线 方程、 函数的零点、 解不等式等基础学问,考查运算才能及分类争论的思想方法,总分 值 14 分；解：当t1时,f x 4x33x26 , x f0

2、0,f 12x26x6t,t； 第 1 页,共 21 页 f06.所以曲线yf x在点0,f0处的切线方程为y6 .解：f 12x26tx6t,令f 0,解得xt或xt.2由于t0,以下分两种情形争论：1假设0,就tt,当x变化时,f ,f x的变化情形如下表：t2x,tt,t,tf 22+ - + f x x的单调递增区间是,t,t,;f 的单调递减区间是所以,f2假设t220,就tt,当 x 变化时,f ,f x的变化情形如下表：2x,tt,tt,f 22+ - + 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -f x 所以,f x的单调递增区间是0,t,t,0,;的单调递减区间是t,t,t 2.f x 2证明：由可知,当t时,f x 在t内的单调递减,在内单22调递增,以下分两种情形争论：1当t1, 即t2时,f x 在 0,1内单调递减,t,1内单调递增,假 第 2 页,共 21 页 2f0t10,f16 t24 t3644230.所以对任意t2,f x在区间 0,1内均存在零点；2当0t1, 即0t2时,f x在0,t内单调递减,在222设t0,1,f17t3t17t30.244f16 t24t36 t4t32

4、 t30.所以f x在t,1内存在零点；2假设t1,2,ft7t3t17t310.244f0t10所以f x在0,t内存在零点；2所以,对任意t0,2,f x在区间 0, 1内均存在零点；综上,对任意t0,f x在区间 0, 1内均存在零点；2. 北京文 18、本小题共13 分函数f x xk e. 求f x的单调区间；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求 f x在区间 0,1 上的最小值 . 【解析】18共 13 分解

5、：fxxk1 e3.在区间 0 ,令fx0,得xk1、fx与f x 的情形如下：x ,kkk1k,1fx0 + fxk e1所以,fx 的单调递减区间是, k1；单调递增区间是k,1当k10,即k1时,函数fx在0 ,1 上单调递增,f x 所以 f x在区间 0 ,1 上的最小值为f0k;当0k1,1 即 1k2时,由知f x 在 0,k1上单调递减, 在 k1,1上单调递增, 所以1 上的最小值为f k1k e1；当k1t, 即k2时,函数f x在0 ,1 上单调递减,所以f x在区间 0 , 1 上的最小值为f11k e .3. 全国大纲文 21 、本小题总分值l2 分留意：在试题卷上作

6、答无效 函数 3 2f x x 3 ax 3 6 a x 12 a 4 a RI 证明：曲线 y f x 在 x 0 处的切线过点2,2；II 假设 f 在 x x 0 处取得微小值,x 0 1,3,求 a 的取值范畴；【解析】 21、解：I f 3 x 26 ax 3 6 . 2 分细心整理归纳 精选学习资料 由f012a4,f036 a得曲线yf x 在x0处的切线方程为 第 3 页,共 21 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由此知曲线y

7、f x 在x0处的切线过点2,2 6 分II 由f 0得x22 ax12a0.30、i 当21a21 时,f x 没有微小值；ii 当a21 或a21 时 由f 0得x 1aa22a1,x 2aa22a1,故x0x2.由题设知1aa22 a13.当a21 时,不等式1aa22 a13无解；当a21时,解不等式1aa22 a13得5a21.2综合 i ii 得 a 的取值范畴是5,21. 12 分24. 全国新文 21、本小题总分值12 分函数f x alnxb,曲线yf x在点1, 1处的切线方程为x2yx1xI 求 a, b 的值；II 证明：当x0,且x1时,f lnx、x1【解析】21解

8、：细心整理归纳 精选学习资料 xx x1lnx bf11,1,即 第 4 页,共 21 页 f 2 1x2由于直线x2y30的斜率为1,且过点 1,1,故b1,f 解得2f12a1,b1；ab1 , 22lnx1,所以由知x1x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fxlnx1122lnxx2x1x1x考虑函数h x 2lnxx21x0,那么xhx 22x2x21xx1 22、xx22所以当x1时,hx 0 ,而h 1 ,0故当x01,时,h x 0

9、 ,可得112hx 0 ;x当x,1时,h x 0 ,可得112hx ;0x从而当x0,且x1 ,fxlnx0 ,即fxlnx.x1x15. 辽宁文 20、本小题总分值12 分设函数fx =x+ax2+bln x,曲线 y=fx过 P 1,0 ,且在 P 点处的切斜线率为I 求 a, b 的值；II 证明：fx2x-2 、12 分 第 5 页,共 21 页 【解析】 20、解：I f 12axb. 2 分x由条件得f10, 即2.1a0,2.f112 ab解得a1, b3. 5 分II f x 的定义域为0,由 I 知f x xx23lnx .设g x f x 2x22xx23lnx那么g 1

10、2x3x12x3.xx当 0x1 时,g 0; 当x1 时 ,g x 0.所以g x 在0,1 单调增加 在1, 单调削减.而g10,故当x0 时 , 0, 即f x 2x2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6. 江西文 20、本小题总分值 13 分设 1 3 2f x x mx nx .31假如 g x f 2 x 3 在 x 2 处取得最小值 -5 ,求 f x 的解析式；2假如 m n 10m,n N,f x的

11、单调递减区间的长度是正整数,试求 m和 n 的值；注；区间 a, b的长度为 b-a 【解析】 20、本小题总分值 13 分解： 1由题得 g x x 22 m 1 x n 3 x m 1 2 n 3 m 1 2g x 在 x 2 处取得最小值 -5 所以 m 1 2,即 m 3, n 22 n 3 m 1 5即得所要求的解析式为f x 1 x 33 x 22 .32由于 f x 22 mx n , 且 f x 的单调递减区间的长度为正整数,故 f 0 肯定有两个不同的根,从而 4 m 24 n 0 即 m 2n,不妨设为 2 为正整数,x x 2 , 就 | x 2 x 1 | 2 m n故

12、 m 2 时才可能有符合条件的 m, n 当 m=2时,只有 n=3 符合要求当 m=3时,只有 n=5 符合要求当m4时,没有符合要求的n 80,其中容器的中间为圆柱综上所述,只有m=2,n=3 或 m=3,n=5 满意上述要求；7. 山东文 21、本小题总分值12 分某企业拟建造如下图的容器不计厚度,长度单位：米形,左右两端均为半球形,根据设计要求容器的体积为立方米,且l2 r、假设3细心整理归纳 精选学习资料 该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元,半球形 第 6 页,共 21 页 部分每平方米建造费用为c c3、设该容器的建造费用为y千元、写出y关于的函

13、数表达式,并求该函数的定义域； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求该容器的建造费用最小时的、【解析】 21、解：I 设容器的容积为V,r3rc342 r c,2.由题意知V2 r l4r3,又V80,33故lV42r3804r4 20 3 r 2r3 r3 r23由于l2 r因此 0r2.所以建造费用y2rl342 r c2r4 20 23 r因此y4 c2r2160,0r2.20,0rrII 由 I 得y8 c2r1608 c2r2r22由于c

14、3, 所以c20,当r3200 时,r3c20.c22令3c20m ,就2所以y8 c2rmr2rmm2.r21当0m2 即c9时,2当r=m时,y=0;当r0,m 时,y0.所以 rm是函数 y 的微小值点,也是最小值点；2当m2即3c9时,当r20,2 时,y0,函数单调递减,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以 r=2 是函数 y 的最小值点,综上所述,当3c9时,建造费用最小时r2;对任意 x 0 成立；2当c

15、9时,建造费用最小时r3c20 . 228. 陕西文 21、本小题总分值14 分设f x lnx g x . f x f x；求g x 的单调区间和最小值；争论g x与g1的大小关系；x求 a 的取值范畴,使得g a g x1a【解析】 21、解由题设知f x lnx g x lnx1,x=1 第 8 页,共 21 页 xg x21,令g 0 得 x =1,x当 x 0,1时,g x0,故 0,1是g x 的单调减区间；当 x 1,+时,g x0,故 1,+是g x 的单调递增区间,因此,是g x的唯独值点,且为微小值点,从而是最小值点,所以最小值为g11.II g1ln xxx设h x g

16、x g1 x2lnxx1,那么h x x2 1,x2 x当x1时,h10即g x g1 x,当x0,11,时h10,因此,h x在0,内单调递减,当 0x1时,h x h10细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即g x g1.x当 x1 时 , h 100； 第 9 页,共 21 页 即g x g1xIII 由 I 知g x的最小值为1,所以,g a g x 1,对任意x0,成立g a 11,aa即 lna1,从而得 0a

17、e；9. 上海文 21、14 分函数f a2xb3x,其中常数a b满意abx 2, 那 么1假设ab0,判定函数f x的单调性；2假设ab0,求f x1f x时 x 折取值范畴；【 解 析 】 21 、 解 ： 当a0,b0时 , 任 意x x2R x 1f x 1f x2a2x 1x 2 b3x 1x 3 ,2x 1x 2 ,a0a2x 1x 2 0,3x 1x 3 ,b0b3x 1x 3 0f x 1f x20,函数f x在 R 上是增函数；当a0,b0时,同理,函数f x 在 R 上是减函数；f x1f a2x2 bx 30当a0,b0时,3xa,那么xlog1.5a；22b2 bx

18、；当a0,b0时,3xa,那么xlog1.5a；22b2 b10. 四川文 22、本小题共l4 分函数f x 2x 1,h x x、2F x 18f x x 2 h x2,求 Fx 的单调区间与极值；3设函数设 aR,解关于 x 的方程lg3f x132lgh ax2lgh 424细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设 n N,证明：1、f n h n 1 h 2 L h n 6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、

19、解方程等基础学问,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的才能、细心整理归纳 精选学习资料 解：F x 18f x x2 2x312x9x0,xx, 第 10 页,共 21 页 F 3x212、令F 0,得x2x2舍去、当x0,2时、F 0；当x2,时,F 0,故当x0,2时,F x为增函数；当x2,时,F x为减函数、x2为F x的极大值点,且F2824925、方法一：原方程可化为log 3f x13log2h ax log2h424即为log x1log2axlog24xlog2ax,且xa,4,4x1xaa,当 1a4时, 1xa,那么x1ax,

20、即x26xa40,4x364a4204 a0,此时x6204a35a, 12此时方程仅有一解x35a、40当a4时,1x4,由x1ax,得x26x4x364a4204a,假设 4a5,那么0,方程有两解x35a；假设a5时,那么0,方程有一解x3；x4假设a1或a5,原方程无解、方法二：原方程可化为log x1log2h4x log2h ax,即1 log 2x1log24xlog2ax,x10,14x0,5.xa,ax0,ax32x14xax .当 1a4时,原方程有一解x35a；当 4a5时,原方程有二解x35a；当a5时,原方程有一解x3；当a1或a5时,原方程无解、由得h 1h2Lh

21、n 12Ln,f n h n 14n3n1、666 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设数列 a n的前 n 项和为S,且S nf n h n1nN4k1k1、6从而有a 1S 11,当 2k100时,akS k4 k3kS k166又1 4 6k3k4k1k11 64k32k4k2 1 k1kak4k3k4k1k11k3k1k1k10、,又因为a 11ax1,所以6 44即对任意k2时,有kakfxa2 lnx,a0a 1a 2La n12Ln、

22、那么S nh1h 2Lh n ,故原不等式成立、x211. 浙江文21本小题总分值15 分设函数求fx的单调区间；,1e 恒成立、求全部实数a,使e1fxe2对x注： e 为自然对数的底数、【解析】21此题主要考查函数的单调性、导数运算法那么、导数应用等基础学问,同时考查抽象概括、推理论证才能；总分值15 分；f7 分 第 11 页,共 21 页 解：由于f x a2lnxx2ax. 其中x0所以f a22xaxa2xaxx由于a0,所以f x的增区间为0,a,减区间为 ,证明：由题意得,f1a1c1, 即ac由知f x 在 1, 内单调递增,要使e1f x 2 e对x1, 恒成立,只要f1a

23、1e1,f e 2 a2 eae2 e解得ae .12. 重庆文 19、本小题总分值12 分,小题5 分,小题设f x 23. xax2bx1 的导数为f x,假设函数y x的图像关于直线细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x1对称,且f10、2求实数 a b的值求函数 f x的极值【解析】 19、此题 12 分解： I 因f x 2x3ax2bx1, 故f 6x22axb .f3.6.从而f 6xa2ba2,661 ,

24、2解得a即yf x关于直线xa对称,从而由题设条件知a66又由于f10, 即 62ab0,解得b12.处取得微小值1II 由 I 知f x 2x33x212x1,f 6x26x126x1x2.令f 0,即6x1x20. 解得x 12,x21.当x, 2 时,f 0,故f x 在, 2上为增函数；当x 2,1 时,f 0,故f x 在 2,1上为减函数；当x1, 时,f 0, 故f x 在1,上为增函数；从而函数f x 在x 12处取得极大值f 221,在x 2113. 安徽文18本小题总分值13 分设fx 1ex2,其中 a 为正实数 . ax当a4时,求f x的极值点；3假设f x为 R 上

25、的单调函数,求a的取值范畴 . 【解析】18本小题总分值13 分此题考查导数的运算,极值点的判定,导数符号与函细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 21 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -数单调变化之间的关系,求解二次不等式, 考查运算才能, 综合运用学问分析和解决问题的才能 . 解：对fx 求导得xex1ax22ax.0,解得x 13,x21.f 1ax2I 当a4,假设fx0 ,就4x28x3322综合 , 可知1 1 1 3 3

26、3 , , , 2 2 2 2 2 2+ 0 0 + f x 极大值微小值f x 所以 , 3 是微小值点 , 1 是极大值点 . 1x x 22 2II 假设 f x 为 R 上的单调函数,那么 f x 在 R 上不变号,结合与条件 a0,知 ax 22 ax 1 0在 R上恒成立,因此 4 a 24 a 4 a a 1 0 , 由此并结合 a 0,知 0 a 1 .14. 福建文 22、本小题总分值 14 分a,b 为常数,且 a 0,函数 f x =-ax+b+axlnx , f e=2e=2、71828 是自然对数的底数；I 求实数 b 的值；II 求函数 f x的单调区间；III当 a=1 时,是否同时存在实数 m和 MmM,使得对每一个 t m,M,直线 y=t与曲线 y=f x x 1,e 都有公共点？假设存在,求出最小的实数 m和最大e的实数 M；假设不存在,说明理由；【解析】 22、本小题主要考查函数、导数等基础学问,考查推理论证才能、抽象概括才能、运算求解才能, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思细心整理归纳 精选学习资料 想,总分值