2022年高考数学双曲线标准方程典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（一）双曲线的标准方程典型例题2 2例 1 争论 x y 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特点25 k 9 k分析： 由于 k 9,k 25,就 k 的取值范畴为 k 9,9 k 25,k 25,分别进行争论解：（ 1）当 k 9 时,25 k 0,9 k 0,所给方程表示椭圆, 此时 a 2 25 k,b 2 9 k,c 2a 2b 2 16,这些椭圆有共同的焦点（4, 0）,（4,0）（ 2）当 9 k 25 时,25 k 0,9 k 0,所给方程表示双曲线,此时,a 2 25 k,b 2 9 k,2 2 2c a b

2、16,这些双曲线也有共同的焦点（4,0）,）（ 4,0）（3）k 25,k 9,k 25 时,所给方程没有轨迹例 2 依据以下条件,求双曲线的标准方程（1）过点 P 3,15,Q 16 ,5 且焦点在坐标轴上4 32 2（2）c 6,经过点（ 5, 2）,焦点在 x 轴上（3）与双曲线 x y 1 有相同焦点,且经过点 3 2,16 4解：（1）设双曲线方程为 x 2y 21,P 、 Q 两点在双曲线上,m 916 225n 1解得 m 16m n 256 25 1 n 99 m n2 2所求双曲线方程为 x y1 说明：实行以上“ 巧设” 可以防止分两种情形争论,得“ 巧求” 的目的16 9

3、2 2（2）焦点在 x 轴上,c 6,设所求双曲线方程为：x y 1（其中 0 6）6双曲线经过点 （ 5,2）,25 4 1,5或 30（舍去）,所求双曲线方程是 x 2y 2 16 52 2（3）设所求双曲线方程为：x y 1 0 16,双曲线过点 3 2, ,18 4 116 4 16 42 24或 14 （舍）,所求双曲线方程为 x y 112 82 2 2 2说明：与双曲线 x y 1 有公共焦点的双曲线系方程为 x y 1 后,便有了以上奇妙的设法16 4 16 42 2例 3 已知双曲线 x y 1 的右焦点分别为 F 、F ,点 P 在双曲线上的左支上且 PF 1PF 2 32

4、,求 F 1PF 29 162 2 2 2解：点 P 在双曲线的左支上, PF 1 PF 2 6,PF 1 PF 2 2 PF 1 PF 2 36,PF 1 PF 2 1002 2 2 12F 1 F 2 4 c 4 a b 100,F 1PF 2 90说明：“ 点 P 在双曲线的左支上” 这个条件特别关键,如将这一条件改为“ 点P 在双曲线上” 结论如何转变呢？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2例 4 已知 F 、F 是双曲线 xy 21 的两个焦点, 点 P 在双曲线上且满意 F 1PF 2

5、90,求 F 1PF 2 的面积 42解： P 为双曲线 xy 2 1 上的一个点且 F 、F 为焦点PF 1 PF 2 2 a 4 , F 1 F 2 2 c 2 542 2 2F 1PF 2 90,在 Rt PF 1F 2 中,PF 1 PF 2 F 1 F 2 202 2 2PF 1 PF 2 PF 1 PF 2 2 PF 1 PF 2 16,20 2 PF 1PF 2 16,PF 1 PF 2 2S F 1 PF 2 1PF 1 PF 2 12例 5 在 ABC 中,BC 2,且 sin C sin B 1 sin A,求点 A的轨迹 2解： 以 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC

6、的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,就 B 1,C 1,设 A x,y,由 sin C sin B 1 sin A 及正弦定理可得：AB AC 1 BC 12 22 2BC 2, 点 A在以 B 、 C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：x2 y2 1 a 0,b 0a b22a 1,2c 2, a 1,c 1, b 2c 2a 2 3, 所求双曲线方程为 4 x 2 4 y12 4 3AB AC 1 0, x 1,点 A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分2例6 在周长为 48 的直角三角形 MPN 中,MPN 90,tan PMN 3,求以 M 、 N 为焦点,4且过点 P 的双曲线

7、方程分析： 由双曲线定义可知 PM PN 2 a,MN 2 c,所以利用条件确定 MPN 的边长是关键解： MPN 的周长为 48,且 tan PMN 3,4设 PN 3 k,PM 4 ,就 MN 5 k由 3 k 4 k 5 k 48,得 k 4PN 12,PM 16,MN 20以 MN 所在直线为 x 轴,以 MN 的中点为原点建立直角坐标系,设所求双曲线方程为x2y21a0,b0由PMPN4,得2a4,a2,a24第 2 页,共 5 页a2b2由MN20,得2c20,c10由b2c2a296,得所求双曲线方程为x2y21496例 7求以下动圆圆心M的轨迹方程：名师归纳总结 - - - -

8、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）与C：x222yy222内切,且过点学习必备24欢迎下载A2,（2）与C ：x3211和C ：x2都外切y12y29外切,且与y21内切 （3）与C ：xC ：x3分析： 这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离假如相切的C 、C 的半径为1r 、2r 且r1r2,就当它们外切时,O 1 O 2r 1r 2；当它们内切时,O 1 O 2r 1r 2解： 设动圆 M 的半径为 r （1）C 与 M 内切,点 A 在 C 外MC r 2,MA r,MA MC 2,点 M 的轨迹是以 C 、

9、 A 为焦点的双曲线的左支,且有：22 2 2 2 7 2 2 ya,c 2,b c a,双曲线方程为 2 x 1 x 22 2 7（2） M 与C 、C 都外切,MC 1 r 1,MC 2 r 2,MC 2 MC 1 1点 M 的轨迹是以 C 、C 为焦点的双曲线的上支,且有：a 1,c 1,b 2c 2a 2 32 42所求的双曲线的方程为：4 y 2 4 x 1 y 33 4（3） M 与C 外切,且与C 内切,MC 1 r 3,MC 2 r 1,MC 1 MC 2 4点 M 的轨迹是以 C 、C 为焦点的双曲线的右支,且有：a 2,c 3,b 2c 2a 252 2所求双曲线方程为：x

10、 y 1 x 24 52 2例 8 P 是双曲线 x y 1 上一点,F 、F 是双曲线的两个焦点,且 PF 1 17,求 PF 的值64 362 2解： 在双曲线 x y 1 中,a 8,b 6,故 c 10由 P 是双曲线上一点,得 PF 1 PF 2 1664 36PF 2 1 或 PF 2 33又 PF 2 c a 2,得 PF 2 33说明： 此题简单忽视 PF2 c a 这一条件,而得出错误的结论 PF 2 1 或 PF 2 332 2 2 2例 9 如椭圆 x y 1 m n 0 和双曲线 x y1 s , t 0 有相同的焦点 1F 和 F ,而 P 是这两m n s t名师归

11、纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 条曲线的一个交点,就PF 1PF 2的值是 2学习必备欢迎下载s2s A msB1ms Cm22 sDm2解： 由于 P 在椭圆上,所以PF 1PF 2m又 P 在双曲线上,所以PF 1PF 2两式平方相减,得4PF 1PF 24 m1s ,故PF 1PF 2ms选 A aa0 ,例 10 如一个动点Px,y到两个定点A ,0、A 11,0 的距离之差的肯定值为定值争论点 P 的轨迹 分析： 此题的关键在于争论 a 因 AA 1 2,争论的依据是以 0 和 2 为分界点,应争论以下四种情形

12、：a 0,a 0 , 2 ,a 2,a 2解：AA 1 21当 a 0 时,轨迹是线段 AA 的垂直平分线,即 y 轴,方程为 x 02 2x y2 当 0 a 2 时,轨迹是以 A 、A 为焦点的双曲线,其方程为 2 2 1a 1 a4 43 当 a 2 时,轨迹是两条射线 y 0 x 1 或 y 0 x 1 4 当 a 2 时无轨迹例11 如图,圆 x 2y 2 4 与 y 轴的两个交点分别为 A 、 B ,以 A、 B 为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在 y 轴左方的交点分别为 C 、 D ,当梯形 ABCD 的周长最大时,求此双曲线的方程分析： 求双曲线的方程,即需确定a 、 b 的

13、值,而2c4,又c2a2b2,所以只需确定其中的一个量由双曲线定义ACBC2 a,又BCA 为直角三角形, 故只需在梯形ABCD 的周长最大时, 确定 BC 的值即可解： 设双曲线的方程为y2x21a0 b0,Cx0,y0x00,y00,BCt0t22a2b2连结 AC ,就ACB90作CEAB于 E ,就有BC2BEABt22y04,即y 02t2梯形 ABCD 的周长l42 t2y 04即l1t22 t81 t2 210当t2时, l 最大此时,BC2,AC2322名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎

14、下载又 C 在双曲线的上支上,且 B、A分别为上、下两焦点,AC BC 2 a,即 2a 2 3 22 2a 3 1,即 a 2 4 2 3b 2c 2a 22 3所求双曲线方程为 y x 14 2 3 2 3说明： 解答此题易忽视 BC 的取值范畴,应引起留意例 12 A、B、C是我方三个炮兵阵地,A和B正东 6 千米,C在B正北偏西 30 ,相距 4 千米,P为敌炮阵地,某时刻 A处发觉敌炮阵地的某种信号,由于 B 、 C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 后, B 、 C 才同时发觉这一信号,此信号的传播速度为 1 kms, A如炮击 P 地,求炮击的方位角分析： 点 P 到 B 、

15、C 距离相等,因此点P在线段BC的垂直平分线上又PBPA4,因此 P 在以 B 、 A为焦点的双曲线的右支上B 3,0、A3,0 、C5,23由交轨法可求P的坐标,进而求炮击的方位角解： 如图,以直线BA为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系,就1x4第 5 页,共 5 页由于PBPC,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上由于kBC3, BC 中点D4,3,所以直线D：y33又PBPA4,故 P 在以 A、 B 为焦点的双曲线右支上设Px,y ,就双曲线方程为x2y21x035345联立、式,得x8,y53所以P8,53因此kPA83故炮击的方位角为北偏东30 名师归纳总结 - - - - - - -