2022年高考复习方法指导高中数学知识点总结解析版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 特级老师高考复习方法指导高中数学学问点总结解析版1对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的,“ 确定性、互异性、无序性” ；C中元素各如：集合Ax ylgx,By ylgxC , |ylgx, 、 、表示什么？2进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合Ax x22x30,Bx ax1,如 BA ,就实数 a 的值构成的集合为答：1 0,133留意以下性质：（1）集合a 1,a 2, ,a n的全部子集的个数是2nABC UAC U

2、B（2）如 ABABA,ABB；,C UCUABC UAC UB（3）德摩根定律：4你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x 的不等式ax50的解集为 M ,如 3M 且 5M ,求实数 a 的取值范2 xa围；3M,a350a1,539 25（）、“ 且” （）和“ 非” （）32a5M,a55052a5可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”如 pq 为真,当且仅当p、q均为真如 pq 为真,当且仅当p、q至少有一个为真如p 为真,当且仅当p 为假1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - -

3、6命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；7对映射的概念明白吗？映射f： AB ,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象； ）8函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4x的定义域是lgx32答： 0 22 3,3 4,10如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数F x f x fx 的定义域是_；答： a,a11求一个函数的

4、解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如：fxx1x ex ,求f x 1,f t t e21t21,令t1,就t0,xt2f x x e21x21x012反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、 y；注明定义域）如求函数f x 1xx x0的反函数2x02 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答：f1 x1xxx1013反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线 y x 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；f1设yf x 的定义域为fA ,值域为 C

5、, aA , bC ,就f a = bf1 a ,f a f1 a,f1 f a b14如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？yf u （外层）,u x （内层）,就yf f 为减函数当内、外层函数单调性相同时,f 为增函数,否就如：求ylog1x22 x 的单调区间；2设ux22x ,由u0,就0x2且log u 1,ux121,如图2当x0 1, 时, u,又log u, yu 2当x1 2, 时, u,又log u 1, y2 ）O 1 2 x 15如何利用导数判定函数的单调性？在区间a,b内,如总有f 0,就f x 为增函数；（在个别点上导数等于零

6、,不影响函数的单调性） ,反之也对,如f 0呢？如：已知a0,函数f x 3 xax 在 1,上是单调增函数,就a 的最大值是A 0 B1 aC2 D3 xa0,就xa或xa,令f 3x2a3x33333 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由已知f x 在 1,上是增函数,就a1,即a3, a 的最大值为3 316函数 f x 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f x 定义域关于原点对称）如 f x f x 总成立 f x 为奇函数 函数图像关于原点对称如 f x f x 总成立 f x 为偶函数 函数图像关

7、于 y 轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（2）如f x 是奇函数且定义域中有原点,就f0020a20,a1如：如f a2xxa2为奇函数,就实数a0,即a21f x 为奇函数, xR,又 0R ,f0201又如：f x 为定义在 11, 上的奇函数,当x0 1, 时,f x x 21,求f x 在 114x上的解析式；令x10, ,就x01, ,fx42x1xx又f x 为奇函数,f x 42x2xx114又f00,f x 2x1,x 10x 40,x02x1,x01,x 417你熟识周期函数的定义

8、吗？如存在实数T T0）,在定义域内总有fxTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 周期；f a如：如fxaf x ,就即f bxf bx ,答：f x 是周期函数,T2a 为f x 的一个周期；又 如 ： 如f x 图 像 有 两 条 对 称 轴 xa , xbx f ax ,就f x 是周期函数,2 |ab 为一个周期如图：18你把握常用的图象变换了吗？f x 与fx 的图像关于y 轴对称ax上移b b0个单位yf xaby=log 2x f x 与f x 的图像关于

9、 x 轴对称f x 与fx 的图像关于原点对称f x 与f1 x的图像关于直线yx 对称f x 与f2ax 的图像关于直线xa 对称f x 与f2ax 的图像关于点 ,0对称将yf x 图像左移a a0个单位yf x右移a a0个单位下移b b0个单位yf xayf xab留意如下 “ 翻折 ” 变换：f x |f x |,f x f|y 1 x 如：f x log2x1O 作出y|log2x1 |及ylog |x1|的图像19你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？（1）一次函数：ykxb k00ybxkak0是中心O a,b 的双曲线；（2）反比例函数：ykk推广为x5 名师归纳总结 - -

10、- - - - -第 5 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）二次函数yax2bxc a0a xb24 acb2的图像为抛物线2 a4 a顶点坐标为b,4acab2,对称轴xbk0 x 2a4y=b Oa,b2 a开口方向：a0,向上,函数y min4acb24 aO a0,向下,ymax4 acab24x 1、x 2为二次函数x=a c应用： “ 三个二次 ”（二次函数、二次方程、二次不yax2bx等式） 的关系 二次方程ax2bxc0,0时, 两根的图像与 x 轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；y 求区间

11、定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0的 两 根 都 大 于O k x1x2a0 x 如 ： 二 次 方 程ax2bxc0kbk,一根大于 k ,一根小于kf k 00a1 2 ay=a1 y=log axa1 f k 0（4）指数函数：yaxa0,a1kO 1 x （5）对数函数：ylogax a0,a10a1 由图象记性质！ （留意底数的限定！ ）y （6）“ 对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？O kx 20你在基本运算上常显现错误吗？指数运算：0 a1 a0,ap1 p aa0,6 名师归纳总结 - - - - -

12、- -第 6 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - amnama0,amn1ma0nna对数运算： logaMaNalogaMnlogaN M0,N0logaMlogaMlogN,logaMa m1 nlogaMNx对数恒等式：aloga xlogcbnlogablogbn对数换底公式：logblogcam21如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1） x R,f x 满意 f x y f x f y ,证明 f x 为奇函数；先令 x y 0 f 0 0,再令 y x, （2） x R ,f x 满意 f xy f x f y ,证明 f x 为偶函数；

13、先令 x y t f t t f t t ,f t f t f t f t ,f t f t （3）证明单调性：f x 2 f x 2 x 1 x 2 22把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法） ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值：（1）y2 x3134xx3cos,0,）O 1 弧度R （2）2x4yR x3（3）x2x22（设3,yx3（4）yx49x7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - （5）y4x9,x0 1x23你记得弧度的定义吗？能写

14、出圆心角为,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？l|R,S 扇1lR1|R2y S T 22B 24熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义P sinMP,cosOM,tanATO M A x 如：如80,就 sin,cos,tan的大小次序是又如：求函数y12 cos2x的定义域和值域；对称点、 对称轴吗？12 cos2x）12 sinx0,sinx222k5x2k4kZ,y12425你能快速画出正弦、余弦、 正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、|sinx| 1,|cos | 1y ytgxx 2O 2, ,kZ对称点为k28 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,

15、共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - ysinx 的增区间为2 k2,2 k2kZ,减区间为2 k2,2 k3kZ,图像2的对称点为 k , ,对称轴为 x k k Z2y cos x 的增区间为 2 k,k k Z,减区间为 2 k,k 2 k Z,图像的对称点为 k, ,对称轴为 x k k Z2y tan x 的增区间为 k,k k Z2 226正弦型函数 y A = sin x + 的图像和性质要熟记； （或 y A cos x）（1）振幅 | A ,周期 T 2| |如 f x 0 A ,就 x x 为对称轴；如 f x 0 0,就 x , 为对称点,反之也对

16、（2）五点作图：令 x 依次为 0, ,3,2,求出 x 与 y ,依点（ x , y ）作图象；2 2（3）依据图像求解析式； （求 A、值） x 1 0如图列出,解条件组求、值 x 2 2正切型函数 y A tan x,T| |27在三角函数中求一个角时要留意两个方面 先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴；如：cosx62,x6,32,求 x 值；5,x132x3,7 6x5,x62341228在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数yysinxsin |x 的值域是0时,y0,y 2,2x0时,2sinx 2,2,x29娴熟把握三角函数图象变换了吗？9

17、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - （平移变换、伸缩变换）平移公式：（1）点 P x（ , ）ah,kP（x,y）,就xxh01平移至yyk（2）曲线f x,y0沿向量ah,k平移后的方程为f xh,yk如：函数y2sin2x41的图像经过怎样的变换才能得到ysinx 的图象？y2sin2x41横坐标伸长到原先的2倍y2sin 21x422sinx41左平移4个单位y2sinx1上平移1个单位y2sinx纵坐标缩短到原先的1倍ysinx230娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：12 sin2cos2s2 ec

18、tanta 4n2cotccos0 称为 1 的代换；,“奇” 、“ 偶”指 k 取奇、“k2” 化为的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限”偶数；如：cos9tan7 6sin 21C非负值D正值4又如：函数ysintan cot,就 y 的值为cosA正值或负值B负值ysinsinsin2cos10,0cos coscos2 cossin1sin31娴熟把握两角和、差、倍、懂得公式之间的联系：降幂公式 及其逆向应用了吗？sinsincoscossin令sin 22sincos10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - -

19、 - coscoscossinsin令cos22 cossin22cos2112sin2tan 212tan2tan1tantan,tantantancos21cos2,sin21cos222asinbcosa2b2sin,tanb asincos2sin4s i n3 c o s2 s i n3应用以上公式对三角函数式化简；数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（化简要求： 项数最少、 函数种类最少, 分母中不含三角函（1）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；如：已知sin 1cos cos21,tan1

20、2 3,求 tan2的值；1由已知得：sincoscos,tan1tan212sin22sin2又tan2,3tantan2tan132 2 13 21tantan832正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理：a2b2c22 bccosAcosA2 bc2a22 bc11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：aAbBcC2RaA2RsinAC,sinA2BcosCb2RsinBsinsinsinc2RsinCS1a

21、bsinCBC , sinBsin2 ABC, A2如：ABC 中,2sin2ABcos2C12（1）求角 C（2）如a2b2c2,求cos2Acos2B 的值cosCC1或 cosC31（舍）2（1）由已知得1cosAB2 2cosC11又 ABC ,2cos2CcosC10,2又 0C,C3sin2sin23（2）由正弦定理及a2b212 c 得2sin2A2sin2B241cos2A1cos2B3,cos2Acos2B34433用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦： arcsinx2,2,x11,反余弦： arccos x0,x11,反正切： arctanx2,2,xR34不等式的

22、性质有哪些？（1）ac b,c0dacbcbdbd0acbc（2） ab,cac（3）ab0,cd0ac12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）ab011,ab011abab（5）ab00anb n n,anbax|a或 xaDab2（6） |x|a a0axa,x| |ab|如：如1 a1,就以下结论不正确选项C |a|bbBabb2Aa2b2ba答案： C 35利用均值不等式：“a2b22 ab a,bR；ab2ab；aba2b2求 最 值 时 , 你 是 否 注 意 到a,bR” 且“ 等号成立” 时

23、的条件,积（ab ）和（ ab ）其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：2 2a b a b ab 2 ab a,b R,当且仅当 a b 时等号成立2 2 a b2 2 2a b c ab bc ca a,b R,当且仅当 a b c 时等号成立a b 0,m 0,n 0,就 b b m1 a n aa a m b n b如：如 x 0 2 3 x 4的最大值为x设 y 2 3 x 42 2 12 2 4 3,当且仅当 3x 4成立,x x又 x 0,x 2 3时,y max 2 4 33又如：x 2 y 1,就 2 x 4 y 的最小值为2 x2 2 y2 2 x 2 y2

24、2 1,最小值为 2 236不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 并留意简洁放缩法的应用；如：证明 1 12 1212 22 3 n1 12 12 12 1 1 1 12 3 n 1 2 2 3 n 1 n1 1 1 1 1 1 1 2 1 22 2 3 n 1 n nf x 37解分式不等式 a a 0 的一般步骤是什么？g x （移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果； ）38用 “穿轴法 ”解高次不等式 “ 奇

25、穿,偶切 ”,从最大根的右上方开头如：x1x12x23039解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分a1或 0a1争论40对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）如：解不等式 | x 3| | x 1| 1解集为 x x 1241会用不等式 | a | | b | | a b | | a | | b 证明较简洁的不等问题2如：设 f x x x 13,实数 a 满意 | x a | 1,求证： | f x f a | 2| a | 12 2证明：| f x f a | | x x 13 a a 13| | x a x a 1

26、| | x a | 1| x a | x a 1| | x a 1| | x | | a | 1又 | x | | a | | x a | 1, | x | | a | 1, | f x f a | 2| a | 2 2 | a | 1（按不等号方向放缩）14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 42不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ”问题）如：a f x 恒成立 a f x 的最小值a f x 恒成立 a f x 的最大值a f x 能成立 a f x 的最小值如：对于一切实数 x

27、 ,如 | x 3| | x 2| a 恒成立,就 a 的取值范畴是设 u | x 3| | x 2|,它表示数轴上到两定点 2 和 3 距离之和u min 3 2 5, 5 a ,即 a 5或者： | x 3| | x 2| | x 3 x 2 | 5,a 543等差数列的定义与性质定义：a n1a nd （ d 为常数）,a na 1n1dS 2nS n,S 3nS 2n 仍为等差数等差中项： x, ,y成等差数列2Axy前 n 项和S na 1a nnna 1n n1d22S n,性质：a n是等差数列（1）如 mnpq ,就a ma napa ；（2）数列a 2n1,a 2n,ka n

28、b仍为等差数列,列（3）如三个成等差数列,可设为 a d, ,a d（4）如 a n,b n 是等差数列,S n,T n 为前 n项和,就 a m S 2 m 1b m T 2 m 12（5）a n 为等差数列 S n an bn（ a,b 为常数, 是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）2S 的最值可求二次函数 n S n an bn的最值；或者求出 a n 中的正、负分界项,a n 0即：当 a 1 0,d 0,解不等式组 可得 S 达到最大值时的 n 值；a n 1 015 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - -

29、- 当a 10,d0,由a n100可得S 达到最小值时的n 值；a n如：等差数列a n,S n18,a na n1a n23,S 31,就 n由a na n1a n233 a n13,a n1118,n27又S 3a 12a 333 a211,a231n1a n1nS na 1a nna2322244等比数列的定义与性质定义：an1q（q为常数,q0）,a naq 1n1xya n等比中项： x、G、y成等比数列G2xy ,或 Gna q1前 n 项和：S na 11qnq1（要留意！）1q性质：a n是等比数列（1）如 mnpq ,就a ma napa q（2）S n,S 2nS n,S

30、 3nS 2n 仍为等比数列45由S 求na 时应留意什么？n1时,a 1S ,n2时,a nS nS n146你熟识求数列通项公式的常用方法吗？例如：（ 1）求差（商）法如：数列a n,1 2a 11a2 a1ann2n5,求na2 22n解：n1时,1 2a 12 15,a 1142151a1n2时,1 2a 12 222n1n116 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得：1 na 2n2,a nn 21,an14 nn12n12练习数列a n满意S nS n15an1,a 14,求a n3留意到a n1S n1S ,代入得S n14S n又S 14,S n是等比数列,S n4nn2时,a nS nS n1 n 3