工程水文学第六章ppt课件.ppt

《工程水文学第六章ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程水文学第六章ppt课件.ppt（81页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1).1).事件事件 :是指随机试验的结果。是指随机试验的结果。 事件有两种属性：事件有两种属性： 数量性质：数量性质：直接测量的量或计算的量，如直接测量的量或计算的量，如 年降雨量，年径流量年降雨量，年径流量. 属性性质属性性质: 直接观测到的现象，如天气的直接观测到的现象，如天气的 雨天和晴天，钱币雨天和晴天，钱币 的正面和背面的正面和背面 . 为了比较某随机事件出现（或不出现为了比较某随机事件出现（或不出现)的的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示示)指标，这个数量指标就是事件的概率。指标，这个数量指标就是事件的概率。 nmAP )( 式中

2、式中 ，P(A) ：一定条件下随机事件：一定条件下随机事件A的概率；的概率； n ：试验中所有可能的出现的结果数；：试验中所有可能的出现的结果数； m ：出现随机事件：出现随机事件A的结果数。的结果数。 随机试验是指所有试验的可能结果都是等随机试验是指所有试验的可能结果都是等可能的，而且试验的可能结果的总数是有限的。可能的，而且试验的可能结果的总数是有限的。但水文事件不一定符合这种性质。但水文事件不一定符合这种性质。 对于不是古典概型事件，只能通过多次重复对于不是古典概型事件，只能通过多次重复试验来估计事件的概率。试验来估计事件的概率。 设事件设事件A在在n 次随机试验中出现了次随机试验中出现

3、了m 次次，则称：，则称：nmAW )(为事件为事件A 在在n 次试验中出现的频率。次试验中出现的频率。n 不是所有可能的结果总数，仅是随机不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。试验的次数。频率和概率的区别和联系频率和概率的区别和联系区别：区别：概率是抽象数是个理论值；频率是具体数，是个概率是抽象数是个理论值；频率是具体数，是个经验值。经验值。联系：联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定并趋近于概率频率随实验次数的增多而逐渐稳定并趋近于概率。频率越频率越接近概接近概率率0.5表表6-1 掷币实验出现正面的频率掷币实验出现正面的频率 用以表示随机试验结果的一个数量用以表示随机试验结果的一个数

4、量( (事先事先是未知的是未知的) )，由于它事先不能确定，是随机的，由于它事先不能确定，是随机的，称为称为随机变量随机变量。水文现象中的随机变量，一般。水文现象中的随机变量，一般指某个水文特征值指某个水文特征值( (如如年径流量、年降雨量、年径流量、年降雨量、洪峰流量洪峰流量等等) )。 在统计数学中，把某种随机变量所取数值的在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。全体，称为总体。 如年径流量的总体数是无穷的。如年径流量的总体数是无穷的。1) 统计学中几个概念：统计学中几个概念： 从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的

5、项数，称为称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量样本容量。 如实测的水文资料是有限的，是一样本。如实测的水文资料是有限的，是一样本。 它是指随机试验结果的一个数量。在水文它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母表示，记作学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变而随机变量的可能取的值记作量的可能取的值记作x，即：即： X = x1, X = x2, X = xn 一般称之为一般称之为随机系列随机系列或或随机数列随机数列。 随机变量的表示随机变量的表示: : 随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称为则称为离散型随机变量离散型随机变量。如洪峰

6、次数，只能取。如洪峰次数，只能取0, 1, 2，不能取相邻两数值之间的任何值。，不能取相邻两数值之间的任何值。 随机变量可以取得一个随机变量可以取得一个有限区间内有限区间内的任何数的任何数值，则称为值，则称为连续型随机变量连续型随机变量。如某河流断面的流。如某河流断面的流量可以取量可以取0 极限值之间的任何实数值。极限值之间的任何实数值。 随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：示为：nn2211PxXPPxXPPxXP )()()( 上式中上式中P1, P

7、2, Pn 表示随机变量表示随机变量X 取值取值x1, x2, xn 所对应的概率。所对应的概率。 x1 x2 x3 x4 xnXP 离散型随机变量概率分布图离散型随机变量概率分布图 由于它的所有可能取值有无限个，而取个别值由于它的所有可能取值有无限个，而取个别值的概率的概率为零为零，故无法研究个别值的概率。水文学，故无法研究个别值的概率。水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：概率，表示为： 它是它是x的函数，称作随机变量的函数，称作随机变量X 的分布函数，的分布函数，记作记作F(x), 即即 F(x)=P(X x) 表示随机变

8、量表示随机变量X 大于或等于值大于或等于值 x 的概率，其的概率，其几何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学几何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学上通常称上通常称累计频率曲线，简称频率曲线累计频率曲线，简称频率曲线）。）。)(xXP 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0)xX(P)x(F 500900年降雨量年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲线某站年雨量概率分布曲线 P(X x) P(X x)=P(X x+ x)+P(x+ x X x) P(x+ x X x)= P(X x)-P(X x+ x) =F(x)-F(x+ x) (1)则，降雨量落在则，降雨量落在900和和500mm的

9、可能性为的可能性为: 60%-15% = 45% x x+ x PXP(X x)P(Xx+ x)随机变量随机变量X落在落在(x ，x+ x) 的概率可用下式表示的概率可用下式表示: 随机变量落在区间随机变量落在区间(x, x+x)的概率与该区的概率与该区间长度的比值间长度的比值 称作随机称作随机变量落在区间变量落在区间(x, x+x)平均概率平均概率。xxxFxF )()( 称称 f(x)为为，简称，简称。而密度函数的几何曲线称作而密度函数的几何曲线称作。)()()()()()(xfxFxxFxxFlimxxxFxFlim0 x0 xf(x)f(xi)F(x)xi密度曲线密度曲线分布曲线分布曲

10、线dxxfxFx )()(xxdx通过密度函数通过密度函数f(x)可求出随机变量可求出随机变量X落在落在(x x+dx)区间即区间即dx上的概率上的概率= f(x)dx，称之为概率，称之为概率元素，即为图中的阴影面积；元素，即为图中的阴影面积；通过密度函数通过密度函数f(x)可求出随机变量可求出随机变量 X 概率分概率分布函数布函数F(x)，其与密度函数，其与密度函数f(x) 有如下的数学有如下的数学关系关系:dxxfxXPxFx )()()( F(x) 分布函数，反映随机变量分布函数，反映随机变量X超过某超过某个值个值 x 的概率。的概率。 这两个函数能完整地描述随机变量的分布这两个函数能完

11、整地描述随机变量的分布规律。规律。可见，随机变量的二个函数：可见，随机变量的二个函数：x niiiniiipxxEpxx11)(或或 离散型随机变量的平均数是以概率为权重的离散型随机变量的平均数是以概率为权重的加权平均值。加权平均值。 对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：)58()()( dxxfxxEba 式中，式中，a、b 分别为随机变量分别为随机变量 X 取值的上下取值的上下限。限。 数学期望数学期望或或平均数平均数代表整个随机变量的总代表整个随机变量的总水平的高低，它为分布的中心。水平的高低，它为分布的中心。 表示概率密度分布表示概率密度分布峰点峰点所对应的数。所对应的数。 M0(

12、x) 是使概率是使概率 P ( = xi )等于等于 最大时所相应的最大时所相应的 x i值。值。M0(x) =xiPi-1 Pi Pi+1 Px离散型随机变量的众数离散型随机变量的众数 M0 (x)是概率密度函数是概率密度函数f (x)等于最大时所对应等于最大时所对应的的 xi 值值M0(x)f(x)x 连续的随机变量的众数连续的随机变量的众数 把概率密度分布分为二个相等部分的数把概率密度分布分为二个相等部分的数。 对于离散型的随机变量：对于离散型的随机变量： 将所有变量的可能取值按大小次序排列，将所有变量的可能取值按大小次序排列，位置居中的数字。位置居中的数字。 对于连续的随机变量对于连续

13、的随机变量中位数满足：中位数满足：21dxxfdxxfbxMxMaee)()()()(式中，式中， a, b 分别为随机分别为随机变量变量 X 取值的上下限取值的上下限Me(x)xf(x)1/21/2ab 该参数用以反映该参数用以反映随机变量分布离散程度随机变量分布离散程度( (相对于相对于随机变量分布中心即平均值的差距随机变量分布中心即平均值的差距) )的指标，通常有的指标，通常有以下几种：以下几种： 值愈大，分布愈分散；值愈大，分布愈分散； 值愈小，分布愈集中。值愈小，分布愈集中。 (Standard deviation)1 2 2 1f(x)x标准差对密度标准差对密度函数的影响函数的影响

14、例例1：两系列：甲：两系列：甲-5，10，15； 乙乙-1，10，19 。 比较其离散程度比较其离散程度10乙甲xx0 . 43)1015()1010(105222）（甲35. 73)1019()1010(101222）（乙表明：乙系列的离散程度大于甲系列表明：乙系列的离散程度大于甲系列 均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值不均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值不同时，却无法比较同时，却无法比较-因此，引入离差系数（变差系数）因此，引入离差系数（变差系数）xxECV )(CV1CV2CV2 CV1f(x)x变差系数对密变差系数对密度函数的影响度函数的影响CV值愈大，分布愈分散；

15、值愈大，分布愈分散；CV 值愈小，分布愈集中。值愈小，分布愈集中。对于对于均值不同均值不同的二个系的二个系列，用均方差来比较其列，用均方差来比较其离散程度就不合适，则离散程度就不合适，则要采用均方差和均值的要采用均方差和均值的比来表示：比来表示：表明：甲系列的离散程度大于乙系列表明：甲系列的离散程度大于乙系列08. 410甲甲x08. 41000乙乙x005. 010000 . 550. 0100 . 5乙乙乙甲甲甲xcxcvv例例2：比较两系列的离散程度：比较两系列的离散程度： 甲甲-5，10，15； 乙乙-995，1000，1005 。f(x)x偏态系数对密度函数的影响偏态系数对密度函数的

16、影响Cs=0Cs0Cs 0 , 称为正偏；称为正偏； CS 0 , 称为负偏。称为负偏。 偏态系数（偏差系数偏态系数（偏差系数) )33)(xXECsiiViiSkxxnCknxxC,) 1()(3333vscc)42(水文频率曲线水文频率曲线是指水文分析计算中使用的分布曲线。是指水文分析计算中使用的分布曲线。分为经验频率曲线和理论频率曲线。分为经验频率曲线和理论频率曲线。(8-9) xexfxx222)(21)(式中，式中， ：平均数；：平均数； ：标准差。：标准差。x 许多许多随机变量随机变量如水文测量误差、抽样误差如水文测量误差、抽样误差等一般服从正态分布。等一般服从正态分布。f (x)

17、 a. 单峰，只有一个众数；单峰，只有一个众数； b. 对于平均数对称对于平均数对称, Cs= 0； c. 曲线二端趋于曲线二端趋于 ， 并以并以x 轴为渐近线轴为渐近线; d. 1)(dxxf xxx概率密度函数表达式：概率密度函数表达式： )(100)()()(axeaxxf 式中式中, （ ） 的伽玛函数的伽玛函数, , , a 0：三个参数，它们与三个统计参数：三个参数，它们与三个统计参数有一定的关系，其表达式为：有一定的关系，其表达式为： dxexx 01)(svc,c,x)21(2402svsvsccxaccxc 可见，当以上三个参数确定后，可见，当以上三个参数确定后，P-III型

18、密度函型密度函数亦完全确定。数亦完全确定。f(x)皮尔逊皮尔逊 型概率密度曲型概率密度曲线线 a0M0(x)Me(x)xP PxdxxfP)(xP-III型曲线的特点：型曲线的特点：一端一端有限有限另一端另一端无限无限的不对称单峰正偏曲线的不对称单峰正偏曲线 PxaxPdxeaxxXPP)(100)()()( 取标准变量取标准变量(离均系数离均系数) ， 即即 代入上式，代入上式， , , a0以相应的以相应的 和和 关系式表示，简化后得：关系式表示，简化后得： VCxxx)( )1(VCxx VCx,SC dCfPPsP),()( P-III型曲线离均系数型曲线离均系数 P 值表值表 被积函

19、数含有参数被积函数含有参数 , Cs ，而，而 包含在包含在 中，制成中，制成 对应关系表：对应关系表：,VxCPsPC VCxxx)( xCxVPP)1( 即求出指定概率即求出指定概率 P 所相应的随机变量的取值所相应的随机变量的取值 xP已知已知: : 某地年平均降雨量某地年平均降雨量 =1000 mm, , CV =0.5, CS =1.0, ,若年降雨量符合若年降雨量符合P - III型分布型分布试求：试求：P=1% 的年降雨量。的年降雨量。x求解：求解：由由 CS =1.0及及P =1%，查附表，查附表1得得 p = 3.02 1%(1)(3.020.5 1)1000= 2510PP

20、Vxx Cxmm + +引入引入模比系数模比系数： x/xKPP 1 VPPCKxCxVPP1)( 由由由此建立由此建立 的的 对应数值关系对应数值关系P-III型型曲线模比系数曲线模比系数 KP 值表值表PKCPV上例的解法：上例的解法：由由 CV = 0.5, CS = 1.0=2 CV ，P = 1%查附表查附表2得得:mmxKxKP1%P251010002.512.51 P-III型曲线模比系数型曲线模比系数 KP 值表（附表）值表（附表） 水文随机变量的总体是无限的，这就需要水文随机变量的总体是无限的，这就需要在总体不知道的情况下，靠抽出的样本在总体不知道的情况下，靠抽出的样本( (

21、观测观测的系列的系列) )去估计总体参数。去估计总体参数。估算方法有：估算方法有： 矩法；矩法；适线法；适线法； 是以经验频率点据为基础，在一定的适是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，这是一种较好的参数估计方法，曲线参数，这是一种较好的参数估计方法，是我国是我国估计洪水频率曲线统计参数估计洪水频率曲线统计参数的主要方的主要方法。法。1) 1) 经验频率经验频率及及经验频率曲线经验频率曲线：【例】已知某地年降雨量的观测资料【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大，并由大 到小排列，按到小排列，按 计算

22、频率。计算频率。式中，式中，P：大于或等于某一变量值：大于或等于某一变量值 x 的的经验频率经验频率； m：x 由大到小排列的序号，即在由大到小排列的序号，即在n 次观测资次观测资料中出现大于或等于某一值料中出现大于或等于某一值 x 的次数。的次数。nmP经验频率计算表：经验频率计算表：n =12 其反映年降雨量其反映年降雨量(X x)的经验频率的经验频率P(X x)和和x的关系。的关系。随着样本容量随着样本容量n的增加，频率的增加，频率P就非常接近于概率，而该就非常接近于概率，而该经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。0 .02 0 .04 0 .0

23、6 0 .08 0 .01 0 0 .0P (% )8 0 01 0 0 01 2 0 01 4 0 0年 降 雨 量 (m m )经经 验验 分分 布布 曲曲 线线P (X x)x%31.92112121 nmP样本的每一项的经验频率用公式样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进进行计算，当行计算，当m=n时，时，P=100%，说明样本的最末项，说明样本的最末项为总体的最小值，为总体的最小值，这是不合理的。这是不合理的。故必须进行修故必须进行修正正，中国常采用下面的公式进行计算：，中国常采用下面的公式进行计算：这样，当这样，当m=n=12 时，时，该公式在水文计算中通常称为期望公式该公式在水

24、文计算中通常称为期望公式1 nmP所谓的重现期是指某一随机事件在很长所谓的重现期是指某一随机事件在很长时期内平均时期内平均多长时间多长时间出现一次（水文学中常称出现一次（水文学中常称为为“多少年一遇多少年一遇”）。即在许多试验中，某一）。即在许多试验中，某一随机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平随机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平均的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以均的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以等效地替代频率。等效地替代频率。对于暴雨洪水（防洪，设计频率P50%） )(11pxPPT（年） 三峡：P=0.01%，Q0.01%=91100m3/s，指平均每10000年遇到 1

25、次洪峰流量91100 m3/s的洪水 对于枯水（灌溉、发电、供水等，P50%） PxPTp11)(1 例如P=80%，%201%8011T5（年） 根据实测样本资料进行点绘根据实测样本资料进行点绘 纵坐标为随机变量纵坐标为随机变量X=x，横坐标为对应的经验频率横坐标为对应的经验频率P(X x)，经验频经验频率计算公式为：率计算公式为：1mPn 假定一组参数假定一组参数 ，可选用矩法的估值作，可选用矩法的估值作为为 的初始值的初始值, ,一般不求一般不求CS，假定假定 ，K为比例系数，可选为比例系数，可选 K1.5, 2, 2.5, 3.SVC,C,xVC,xVSKCC 已知：经验频率分布，已知

26、：经验频率分布， 求：总体分布参数求：总体分布参数根据选定的参数根据选定的参数 ，由由P-III型曲线离均型曲线离均系数值系数值(附表附表)或或P-III型曲线模比系数型曲线模比系数KP 值表值表(附表附表)，求出求出 xP P 的频率曲线，将其绘在有经验点据的的频率曲线，将其绘在有经验点据的同一张图上，看它们的配合好坏，若不理想，则同一张图上，看它们的配合好坏，若不理想，则修改有关的参数修改有关的参数(主要调整主要调整CV 及及K=CS /CV )，重复，重复以上的步骤，重新配线；以上的步骤，重新配线；SVC,C,x选定线型，对于水文的随机变量，一般选选定线型，对于水文的随机变量，一般选P-

27、III型型;根据配合的情况，选出一配合最佳的频率曲线作根据配合的情况，选出一配合最佳的频率曲线作为采用曲线，则为采用曲线，则相应的参数相应的参数作为作为总体参数的估值总体参数的估值。PxP 适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体分布，适线法的关键在于分布，适线法的关键在于“最佳配合最佳配合”的判别。的判别。经验点据经验点据 理论频率曲线理论频率曲线为避免修改参数的盲目性，要了解参数为避免修改参数的盲目性，要了解参数 对对频率曲线形状的影响：频率曲线形状的影响：SVCCx,21xx x PP21VVCC Px P21SSCC Px P 水文现象中许多变量

28、不是孤立的，相互水文现象中许多变量不是孤立的，相互之间存在联系，则分析研究二个或二个以上之间存在联系，则分析研究二个或二个以上随机变量之间的关系，称作随机变量之间的关系，称作相关关系。相关关系。 如果两个变量如果两个变量x, y，其中变量，其中变量x 的每一个值，的每一个值，变量变量y 都有一个或多个确定值与之对应，而且都有一个或多个确定值与之对应，而且x, y成函数关系，即成函数关系，即x, y的关系的关系点点完全落在完全落在直线直线或或曲线曲线上，上， 则称这二个变量则称这二个变量是是完全相关完全相关的。的。完全相关完全相关yxa. 完全相关（函数关系完全相关（函数关系直线关系直线关系曲线

29、关系曲线关系零相关零相关YXb. 零相关零相关 (没有关系没有关系) 如果两个变量如果两个变量x, y之间之间互不影响互不影响互不相关互不相关，则，则称这二个变量没有关系或零相关。称这二个变量没有关系或零相关。 即即x, y的关系点毫无规律，十分分散。的关系点毫无规律，十分分散。 如果两个变量如果两个变量x, y之间关系介于以上二者之间，之间关系介于以上二者之间，x, y的关系点虽有点分散，但有明显的趋势，数学的关系点虽有点分散，但有明显的趋势，数学上可以用一定的表达式进行拟合。则称这二个变上可以用一定的表达式进行拟合。则称这二个变量关系为量关系为: 或或。yx统计相关统计相关确定二个变量间相

30、关关系的数学表达式确定二个变量间相关关系的数学表达式, ,以以相关方程相关方程或或回归方程回归方程表示，用以由已知变量表示，用以由已知变量推求未知变量；推求未知变量；判断二个变量间相关关系的密切程度判断二个变量间相关关系的密切程度, ,用一称为用一称为相关系数相关系数的参数来表示。的参数来表示。 水文计算中，一般处理两个变量间的相关关系，水文计算中，一般处理两个变量间的相关关系，称称简相关简相关，有时也要处理三个或三个以上变量关系，有时也要处理三个或三个以上变量关系，称为称为复相关复相关。简相关可分为。简相关可分为直线相关直线相关和和曲线相关曲线相关。曲线相关曲线相关直线相关直线相关根据实测值

31、，将对应点绘于方格纸上，如果点群分根据实测值，将对应点绘于方格纸上，如果点群分布平均趋势为一直线，则可以布平均趋势为一直线，则可以直线直线来近似代表这种来近似代表这种相关关系。通过点群中心目估绘出一条直线，然后相关关系。通过点群中心目估绘出一条直线，然后在图上量出直线的在图上量出直线的斜率斜率a和和截距截距b，则直线方程，则直线方程: y=a+bx即为所求的即为所求的相关方程相关方程。该方法简便实用，而且一般情况下精度可以保证。该方法简便实用，而且一般情况下精度可以保证。若相关点分布较散，目估定线有一定任意性，为若相关点分布较散，目估定线有一定任意性，为保证一定精确性，最好采用保证一定精确性，

32、最好采用分析法分析法来确定相关线来确定相关线的方程。设该直线方程形式为：的方程。设该直线方程形式为： y = a+bx式中，式中，x：自变量：自变量 y ：倚变量：倚变量 a, b ：分别为一常数，待定。：分别为一常数，待定。 则相关点与直线在则相关点与直线在纵轴方向纵轴方向必然存在必然存在离差离差。配合曲线与观测点在纵轴方向的离差为：配合曲线与观测点在纵轴方向的离差为：iiiibxayyyy bxay xy iyyxiy 要求配合曲线与所有的观测点能要求配合曲线与所有的观测点能“最佳最佳”拟合，拟合，即满足所有的观测点的离差即满足所有的观测点的离差 y 的平方和为最小，的平方和为最小，即：即

33、：为为最最小小222)()()(iiibxayyyy 0022 b)yy(a)yy(ii分别对分别对 a, b 求一阶偏导数，并令其为零：求一阶偏导数，并令其为零：求解上列两联立方程式，可得求解上列两联立方程式，可得:vyvxiyixiyixiyixiiiiCCnKKKKKKyyxxyyxx) 1() 1)(1() 1() 1() 1)(1()()()(2222 xyb xyxbyaxy 式中，式中， ：分别为：分别为x, y 系列的均方差系列的均方差/标准差标准差; ：分别为：分别为x, y 系列的平均值系列的平均值; ：x, y 系列的变差系数系列的变差系数(按不偏估计公式按不偏估计公式计

34、算计算):yx, y,xvyvxC,C1)1(,1)1(22 nKCnKCyivyxivx ：相关系数：相关系数; Kxi ，Kyi：分别为：分别为xi , yi系列的模比系数系列的模比系数:yyKxxKiyiixi ;xy为回归线的斜率，称为回归线的斜率，称 y 为为 x 倚的回归系数倚的回归系数)(xxyyxy (8-37)式即为式即为y 倚倚x 的回归方程，其曲线称为的回归方程，其曲线称为(仅是对点据拟合最佳一条线仅是对点据拟合最佳一条线)，亦可表示为：，亦可表示为：xyxxyy)( 将将 ， 代入代入y = a+bx中得：中得：xyb xyaxy 由于由于x, y并非确定性关系，对于并

35、非确定性关系，对于x=x0，无法知，无法知道其相应的真正值道其相应的真正值y0 ，通过回归方程求到：，通过回归方程求到： 仅仅是真正值仅仅是真正值y0的一个估计值。故其与真正值的一个估计值。故其与真正值y0存在偏差。根据统计学的研究，由于随机因素存在偏差。根据统计学的研究，由于随机因素的影响，的影响， y0在在估计值估计值 上下波动呈上下波动呈正态分布正态分布，其，其均方误差可用公式表示。均方误差可用公式表示。00bxay 0y 式中，式中，Sy ：y倚倚x回归线的均方误回归线的均方误; yi ：观测点的纵坐标值：观测点的纵坐标值; y：由回归方程求：由回归方程求到的纵坐标值；到的纵坐标值；n

36、：观测项的数目：观测项的数目 2ny)(yS2iy 如前所述，可以用均方误进行误差分析，即对于如前所述，可以用均方误进行误差分析，即对于任一固定的任一固定的x=x0值，若以值，若以 作为作为y 的估值，其误差不的估值，其误差不超过超过Sy的可能性为的可能性为68.3%;其误差不超过其误差不超过3Sy的可能性的可能性为为99.7%。0 y12yyS ()(1)2iyyyn 式中式中， 为为y系列的标准差系列的标准差(无偏估计量无偏估计量)根据均方误公式，也可以用根据均方误公式，也可以用 2来判断相关程度来判断相关程度 :若若 2 = 1，Sy = 0，则，则 y = yi ，属函数关系，属函数关

37、系;若若 2 = 0，Sy = y ，误差最大，属零相关，误差最大，属零相关;若若 0 2 1,为统计相关为统计相关, 2 1, x, y 关系愈密切。关系愈密切。可知，均方误可知，均方误Sy值愈大，则回归方程的误差愈大值愈大，则回归方程的误差愈大 。相关系数的均方误可用下式来估算：相关系数的均方误可用下式来估算：n12 式中，式中， 为相关系数；为相关系数； n 为观测项数。为观测项数。 相关系数相关系数是根据有限的实测资料是根据有限的实测资料(样本样本)计算出计算出来的，故相关系数也不免带有抽样误差来的，故相关系数也不免带有抽样误差 故水文上为了推断二个变量的相关性，必须对故水文上为了推断

38、二个变量的相关性，必须对样本相关系数作统计检验。样本相关系数作统计检验。相关系数的统计检验的思路相关系数的统计检验的思路 - - 反证法反证法： 检验二个变量是否相关，先假定二个变量不相检验二个变量是否相关，先假定二个变量不相关，由此如果导致关，由此如果导致“不合理的现象不合理的现象”发生，则表明发生，则表明原先的假定不成立，拒绝原先的假定不成立，拒绝“不相关不相关”的假定，如果的假定，如果没有导致没有导致“不合理现象不合理现象”发生，则原假定成立，称发生，则原假定成立，称原假定是相容的。原假定是相容的。 这里所谓的这里所谓的“不合理不合理”不是指形式逻辑上的绝不是指形式逻辑上的绝对矛盾，而是

39、基于实践中广泛采用的一个原则：对矛盾，而是基于实践中广泛采用的一个原则： - 0 + f(r)样本相关系数样本相关系数 密度曲线示意图密度曲线示意图假设两变量假设两变量X，Y 在总体在总体上不相关；上不相关； 从不相关的两变量总体中从不相关的两变量总体中抽出大量的样本抽出大量的样本(如如n个个)，进，进行相关分析，并分别计算各行相关分析，并分别计算各样本的相关系数样本的相关系数 1, 2, n,由由于假设总体不相关，可以判于假设总体不相关，可以判断断 1, 2, n, 为较小值的可能为较小值的可能性大，而较大值的可能性小，性大，而较大值的可能性小，其概率分布密度曲线其概率分布密度曲线 f(r)

40、 r 如右图所示：如右图所示： 选定一个衡量事件发生可能性选定一个衡量事件发生可能性(概率概率)很小的指很小的指标标(水文统计学中称显著性水平水文统计学中称显著性水平 )，对于容量为，对于容量为n的样本，则有一相应的临界值的样本，则有一相应的临界值 ( 为较大值为较大值)，样本相关系数样本相关系数 （根据原先假定（根据原先假定 应为很小的值）应为很小的值） 超过超过 的可能性的可能性(概率概率)应为较小值应为较小值 (水文上一般水文上一般选选 =0.05 或或 0.01作为小概率作为小概率)，即，即:()()rP rrf x dx 由于由于 值很小，故值很小，故 为一小概率事件为一小概率事件.

41、取某一个具体的样本所计算的取某一个具体的样本所计算的 与与 作比较，作比较，以判断总体是否相关：以判断总体是否相关：若若 ，说明样本相关系数绝对值较大，且，说明样本相关系数绝对值较大，且超过了临界值超过了临界值 ，说明，说明“小概率事件小概率事件”发生了，则发生了，则原先的假定是不能接受的，总体很大可能性是相关的。原先的假定是不能接受的，总体很大可能性是相关的。若若 ，说明样本相关系数绝对值较小，未，说明样本相关系数绝对值较小，未超过临界值超过临界值 ，则原先的假定可以成立，即总体很，则原先的假定可以成立，即总体很大可能性是不相关的。大可能性是不相关的。实用上，可查实用上，可查n (表表),求

42、求 则上式可写成：则上式可写成： - 直线关系直线关系BXAY 故可按直线相关的方法求故可按直线相关的方法求Y与与X的回归方程，再还的回归方程，再还原成原成 y 与与 x 的函数关系。的函数关系。baxy 1) 1) 幂函数幂函数blgxlgalgy 方程二边取对数：方程二边取对数：bBlga,Algx,Xlgy,Y 令令:故可按直线相关的方法求故可按直线相关的方法求 Y 倚倚 X 的回归方程，再的回归方程，再还原成还原成 y 与与 x 的函数关系的函数关系bxaey 则上式可写成则上式可写成 - 直线关系直线关系BXAY bxlnelnalny 方程二边取对数：方程二边取对数：bBlna,Ax,Xlgy,Y 令令