2022年行列式的计算技巧与方法总结 .pdf

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1、计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做1、二阶行列式2112221122211211aaaaaaaa2、三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa=.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa例 1 计算三阶行列式601504321解601504321601)1(52043) 1(030516244810.58但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义， 最常采用的是行列式的性质以及降价法来做 。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算 上三角形行列式nnnn

2、nnaaaaaaaaa221122211211000下三角形行列式nnnnaaaaaa21222111000.2211nnaaa对角行列式nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式 ,记为TD 或D,即若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - ,212222111211nnnnnnaaaaa

3、aaaaD则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111. 性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即.TDD注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有 . 性质 2交换行列式的两行(列),行列式变号 . 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质 3用数k乘行列式的某一行(列), 等于用数k乘此行列式 , 即.2121112112121112111kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin第i行 (列)乘以k,记为ki(或kCi). 推论 1 行列式的某一行(列)

4、中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论 2行列式中若有两行(列)元素成比例 ,则此行列式为零. 性质 4 若行列式的某一行(列 )的元素都是两数之和, 例如 , nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211. 则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin. 性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上 , 行列式不变 . 注: 以数k乘第 j 行加到第i行上 ,记作jikrr; 以数k乘第 j 列加到第i列上，记作jikcc. 2、利用“三

5、角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0; 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主

6、对角线上元素的乘积就是所求行列式的值. 例 2 若210101321D, 则.213102011DDT例 3（1）012121110012110121（第一、二行互换）. （2）102110211012110121（第二、三列互换）（3）0725011011（第一、二两行相等）（4）0337224112（第二、三列相等）例 4（1）02222510211因为第三行是第一行的2倍.（2）07541410053820141因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4 倍. 例 5 若121013201D, 则D2121013201)2(121013402又D4121013201412401122

7、04. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例 6 设, 1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa解利用行列式性质，有33323123222113121153531026aaaaaaaaa3332312322211312115353522aaaaaaaaa5) 3(2333231232221131211aaaaaaaaa15)

8、3(2.30例 7（1）.110111311103111132（2）1)2(1272305)2(11121272305211122720521112730511. 例 8 因为,12310403212213而15)40()29(02213123. 因此0221312303212213. 注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111bbbbaaaababababa. 例 9（ 1）13201013113214113112rr,上式表示第一行乘以-1 后加第二行上去, 其值不变. （2）33204103113214113113cc,上式表示第一列乘以

9、1 后加到第三列上去, 其值不变 . 例 10 计算行列式2150321263D. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213D例 11计算.3351110243152113D解21ccD331511204351213114

10、125rrrr7216011206480213132rr72160648011202131242384rrrr15100010800112021313445rr.40250001080011202131例 12 计算.3111131111311113D解注意到行列式的各列4 个数之和都是6. 故把第 2，3，4 行同时加到第1 行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式. D4321rrrr311113111131111163111131111316666141312rrrrrr.4820000200002011116名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

11、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 注：仿照上述方法可得到更一般的结果: .)()1(1nbabnaabbbbbabbbba例 13计算.1111000000332211aaaaaa解根据行列式的特点，可将第1 列加至第 2列，然后将第2列加至第3 列，再将第3列加至第4 列，目的是使4D中的零元素增多. 4D12cc1121000000033221aaaaa23cc1321000000003321aaaa34cc.44321000000000321321aaaaaa例 14

12、 计算.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD解从第 4 行开始，后一行减前一行：Drrrrrr33412.363023200cbabaacbabaacbabaadcba3423rrrr.20200baaabaaacbabaadcba34rr.00020004aabaacbabaadcba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 三、 行列式按行 (列)展开（降阶

13、法）1、行列式按一行( 列) 展开定义 1 在 n阶行列式D中,去掉元素ija 所在的第i行和第j 列后 ,余下的1n阶行列式 ,称为D中元素ija 的余子式 , 记为ijM, 再记ijjiijMA)1(称ijA 为元素ija 的代数余子式 . 引理 （常用）一个 n 阶行列式 D , 若其中第 i 行所有元素除ija 外都为零，则该行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijAaD定理 1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),2,1(2211niAaAaAaDininiiii或).,2, 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj推论行列式某一

14、行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,02211jiAaAaAajninjiji或.,02211jiAaAaAanjnijiji2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列 )展开法则计算行列式, 运算量较大 , 尤其是高阶行列式. 因此 , 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行 (列)展开 ,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在 n阶行列式D中,任意选定k行k列)1(nk, 位于这些行和列交叉处的2k个元素 ,按原来顺序构成一个k阶行列式M

15、, 称为D的一个k阶子式 ,划去这k行k列, 余下的元素按原来的顺序构成kn阶行列式 ,在其前面冠以符号kkjjii11) 1(,称为M的代数余子式 ,其中kii,1为k阶子式M在D中的行标 ,kjjj,21为M在D中的列标 . 注：行列式D的k阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理 2 (拉普拉斯定理 ) 在 n阶行列式D中, 任意取定k行(列 ) 11(nk,由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

16、- - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例 15 求下列行列式的值: （1）214121312（2）120250723解(1) 213142131)1(21122214121312.272856)61(4)32()14(2(2) .3)45(312253120250723例 16 计算行列式.5021011321014321D解5021011321014321D313422rrrr5207011321014107109211206527211417)1()1(2123223rrrr.241861926) 1(122例 17 计算行列式.053200

17、4140013202527102135D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解53204140132021352)1(053200414001320252710213552D532414132521213)2(rrrr66027013210.1080)1242(206627)2(10例 18 求证21)1(11213112211132114321nnxxxxxxxnxxnxnn. 证D3221143rrrrrrrr

18、nn1111111111000011000111001111011110 xxxxxxx1100011100111101111111111) 1(1xxxxn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3221143rrrrrrrrnn.)1(11000000000100001000010000) 1(211nnnxxxxxxxxx例 19 设,3142313150111253DD 中元素ija 的余子式和代数余子式依次记

19、作ijM和ijA ,求14131211AAAA及41312111MMMM. 解注意到14131211AAAA等于用1 , 1 , 1 ,1代替D的第 1 行所得的行列式,即314231315011111114131211AAAA3413rrrr001120225011111101122251112cc.42052001202511又按定义知 , 31413131501112514131211141312111AAAAMMMM34rr311501121)1(0010313150111251312rr.0311501501例 20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032的值 . 解

20、按第一行和第二行展开名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 21003210032100322132)1(213221212031) 1(310231212030) 1(320332210121.11名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -