2022年重积分的应用归类 .pdf

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1、1 重积分的应用摘要 ：我们认识了重积分，本文主要讨论重积分的应用。关键词 ： 重积分；应用；重心；转动惯量1求物体的重心密度设V是密度函数为( , , )x y z的空间物体，( , , )x y z在V上连续。为求得V的重心坐标公式，先对V作分割T，在属于分割T的每一小块iv上任取一点(,)iii，于是小块iv的质量可以(,)iiiiv近似代替。若把每一小块看作质量集中在(,)iii的质点时，整个物体就可用这n个质点的质点系来近似代替。由于质点系的重心坐标公式为11(,),(,)niiiiiinniiiiivxv11(,),(,)niiiiiinniiiiivyv11(,).(,)niii

2、iiinniiiiivzv当0T时我们很自然地把,nnnxyz的极限, ,x y z的定义为V的重心坐标公式，即( , , ),( , )VVxx y z dVxx y z dV( , , ),( , )VVyx y z dVyx y z dV( , , ).( , , )VVzx y z dVzx y z dV当物体V的密度均匀即为常数时，则有1,VxxdVV1,VyydVV1.VzzdVV例 2 求密度均匀的上半椭圆的重心。解设椭球体有不等式2222221xyzabc表示。由对称性知0,0.xy又由为常数，所以3.283VVVzdVzdxdydzczdVabc2求空间物体转动惯量名师资料总

3、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 设( , , )x y z为空间物体V的密度分布函数，它在V上连续。对V作分割T，在属于T的每一个小块iv上任取一点(,),iii于是iv的质量可以用(,)iiiiv近似代替。当以质点系( ,),1,2,.,iiiin近似代替V时，质点系对于x轴的转动惯量则是221()(,).nnxiiiiiiiJv当0T时上述积分和的极限就是物体V对于x轴的转动惯量22()( , , ).xVJyzx

4、 y z dV22()( , , ).yVJxzx y z dV22()( , , ).zVJxyx y z dV例 3 求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解设圆环D为222212,RxyR密度为，则D中任一点( ,)x y与转轴的距离的平方为22.xy于是转动惯量212223442221210()()(),22RRDmJxyddr drRRRR其中m为圆环的质量3求空间立体对质点的引力设A的坐标为( , ,),V中点的坐标用( , , )x y z表示。我们使用微元法求V对A的引力。V中质量微元dmdV对A的引力在坐标轴上的投影为333,xyzdFxyzdFkdVkdV dF

5、kdVrrr，其中k为引力系数，222()()()rxyz其中A到dV的距离。于是力F在三个坐标轴上的投影分别为333,xyzVVVFxyzFkdVkdV FkdVrrr所以.xyzFF iF jF k例 4 设球体V具有均匀的密度，求V对球外一点A的 (质量为1)的引力 (引力系数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 k)。解：设球体为2222,xyzR球外一点A的坐标为(0, 0,)().aRa显然有0,xy

6、FF现在计算,zF由上述公式，3 2222()()zVzaFkdxdydzxyza3 2222(),()RRDdxdykza dzxyza其中2222( ,),Dx yxyRz用柱坐标计算 :223 202()()2RRzzRrFkza dzdrrza222( 1)2RRzakdzRzaa324.3Rka4求空间立体的体积例 5 求椭球体2222221xyzabc解由对称性，椭球的体积V是第一卦限部分体积的8 倍，这一部分是以22221xyzcab为曲顶，22,01,0 xDx yybxaa为底的曲顶柱体，所以222281.DxyVcdxdyab应用广义极坐标，由于21zcr，因此122008

7、1Vdcr abrdr1220081abcdrr dr43abc。当abcR时， 得到球的体积为343R。5求空间物体的质量例 6 设球体2222xyzx上各点的密度等于该点到坐标的距离，求这一球体的质量解根据题意所求球体的质量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 2222222xyzxMxyz dxdydz利用球坐标变换。这里( , ,),0,02sincos22Vrr于是2sincos320028sin5Mddrdr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -