2022年高三数学几何证明选讲,坐标系与参数方程知识精讲 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高三数学几何证明选讲；坐标系与参数方程、综合复习（理）人教实验版（ A）【本讲教育信息 】一. 教学内容：41 模块几何证明选讲44 模块坐标系与参数方程、综合复习二. 重点、难点：1. 相似三角形的判定及有关性质2. 直角三角形的射影定理3. 直线与圆的位置关系4. 圆锥曲线性质5. 极坐标系，柱坐标系，球坐标系6. 曲线的参数方程及其应用7. 渐开线与摆线【典型例题】例 1 梯形 ABCD 中， BA/CD ，对角线 AC、BD 交于点 E，过 E 作 FG/AB ，交 AD 、BC于 G、F 点。（1）求证： EF=EG；（2）求证：FGCDAB211；（3）若直线l平行

2、于底边但不过E，与 BC、AC、BD 、AD 分别交于F、M、N、G，试问：MF与NG有何关系？并说明理由。证明：（1） AB/FG/CD ABEGDADGCBCFABEFEF=EG （2） EF/ABECEFACABECACEFAB同理，AEEGACCD由（ 1）知 EF=EG EGACAEECCDAB11FGEGEFEGEG22221（3）GFFG /GENGDGGDCFFCEFMF而GEEFNGMF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 2 ABC 中， BAC=90 ， AD BC，DEAB

3、，D、E 为垂足，求证：AEBEACAB22。思路分析： 左边是平方，需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方。证法一： 由射影定理得BCCDACBCBDAB22,CDBDBCCDBCBDACAB22DE AB CA AB DE/AC AEBECDBDAEBEACAB22证法二： DE/AC BED BAC DEBEACAB2222DEBEACAB由射影定理BEAEDE2AEBEBEAEBEACAB222证法三： 易证 ABD CAD 222)(ACABACABSSACDABD又DCBDADCDADBDSSACDABD2121 DE/AC AEBEDCBDAEBEA

4、CAB22证法四： ABD CBA ADBDACAB ACD BCA CDADACAB ，CDBDCDADADBDACAB22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载而ACDE /，AEBECDBDAEBEACAB22例 3 已知 ABC 中， DE/BC ，且ABAFAD2，求证： EF/CD 。思路分析： 要证 EF/CD ，需证ACAEADAF，而由ABAFAD2，则ABADADAF证明： DE/BC ACAEABADABAFAD2ADAFABADADAFACAECDEF /例 4 已知在 ABC

5、中，D 是 BC 边上的中点，且AD=AC ，DEBC，DE 与 AB 相交于点E，EC 与 AD 相交于点F。（1）求证： ABC FCD；（2）若5FCDS，BC=10，求 DE 的长。（1）证明： AD=AC ACD= ADC DE BC，BD=DC BE=CE B= DCF ABC FCD （2）解析： 过点 A 作 AM BC，垂足为M 由 ABC FCD，BC=2CD 4)(2CDBCSSFCDABC20ABCS20AM1021 AM=4 又 DE/AM BMBDAMDE2521DCDM，BM=BD+DM ， BD=21BC=5 25554DE DE=38精选学习资料 - - -

6、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 5 EB 、EC 中 O 的两条切线， B、C 是切点， A、D 是 O 上两点，如果E=46，DCF=32 ，则 A 的度数是。思路分析： 要求 A，可转化为求BCD，由已知 DCF 的度数，想到先求ECB 的度数，从而注意到题目所给的EB、EC 为切线，将ECB 与 E 的度数联系起来。解法一： EB、EC 是 O 的切线EC=EB 又 E=46 ECB=67246180 DCF=32 BCD=180 67 32=81 A+ BCD=180 A=180 81=99解法二： 连结 AC

7、 EB、EC 是 O 切线 EB=EC ECB=67246180 EF 切 O 于点 C BAC= ECB=67 ， CAD= DCF=32 BAD= BAC+ DAC=67 +32=99答案： 99例 6 四边形 ABCD 内接于 O，ABAD，E 为 CB 延长线 BM 上的动点，当E 点运动到某一位置满足一定条件时，就有CDBEDAAB成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明。思路分析： 若CDBEDAAB成立，则需ADBECDAB成立，考虑利用ABE 与ACD 相似，其中 ABE= D， ACD= ACB ，只需 EAD= ACB ，只要 EA 是 O 切线，精选学习资料

8、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载当 EA 切 O 于 A 时，CDBEDAAB成立。证明： 连结 AC EA 切 O 于 A EAB= ACB ABAD ACB= ACD EAB= ACD 又四边形ABCD 内接于 O EBA= D ABE CDA ADBECDABCDBEADAB例 7 圆 O 的直径 AB=6 ，C 为圆周上一点，BC=3，过 C 作圆的切线l，过 A 作l的垂线AD ，AD 分别与直线l，圆交于点D、E，则 DAC= ，线段 AE 的长为。解析：l为切线 OCl AD/OC DAO= CO

9、B=60 CAO=30 DAC=30 又 OA=OE ，且 EAO=60 AE=OA=OE=3 答案： 30； 3 例 8 已知 AP 是 O 的切线， P 为切点， AC 是 O 的割线，与 O 交于 B、C 两点，圆心O 在 PAC 的内部，点M 是 BC 的中点。（1）证明 A、P、O、M 四点共圆；（2）求 OAM+ APM 的大小。（1）证明： 连结 OP、OM ，因为 AP 与 O 相切点于P，所以 OPAP 因为 M 是 O 的弦 BC 的中点，所以OMBC 于是 OPA+OMA=180 由圆心 O 在 PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A、P、 O、 M 四点

10、共圆（2）解析： 由（1）得 A、P、O、M 四点共圆所以 OAM= OPM 由（ 1）得 OPAP 圆心 O 在 PAC 的内部，可知OPM+ APM=90 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载所以 OAM+ APM=90 例 9 O1和 O2的极坐标方程分别为sin4,cos4。（1）把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过 O1， O2交点的直线的直角坐标方程。解析： 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。（1）sin,cosyx，由

11、cos4得cos42所以xyx422，即0422xyx为 O1的直角坐标方程同理，0422yyx为 O2的直角坐标方程。（2）由04042222yyxxyx解得0011yx，2222yx所以 O1、 O2交于点 A（0，0）和 B（2， 2） ，因此，直线AB 的直角坐标方程为xy例 10 某时钟的秒针端点A 到中心点 O的距离为 5cm， 秒针均匀地绕点O旋转， 当时间0t时，点 A 与钟面上标12 的点 B 重合，将A、B 两点间的距离d（cm）表示成)(st的函数，则d，其中60,0t。解析： 以 O 为极点， OB 所在直线为Ox轴建立极坐标系。 （如图）秒针转过的角度为BOA=tt3

12、0602BO 的反向延长线交圆O 于点 C， 连 AC ， 在 RtACB 中， BA=d ， BCA=21BOA=t60由题意，圆的直径CB=10， BAC=2BCABCBAsin，即60, 0,60sin10ttd答案：t60sin10例 11 已知Ryx,，且14yx，即yx的最大值为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载解析： x、yR，且14yx，设)(sin4 ,cos22Ryx于是1612sin161)cossin2(161sin41cos2222yx答案：161例 12 在平面直角坐标

13、系xOy 中，已知平面区域1|),(yxyxA且 0,0 yx，则平面区域),( |),(AyxyxyxB的面积为（）A. 2 B. 1 C. 21D. 41解析： 1yx且0 x，0y，10 x且10y在平面区域B 内任取一点M（X，Y）则 X=yxYyx, 1 1 , 02YXx20YX 1 , 02YXy，20YX综合，得20201YXYXX可行域为如图阴影部分面积11221S答案： B 例 13 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx33（参数Rt） ，圆 C 的参数方程为2sin2cos2yx（参数)2,0） ，则圆 C 的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为。解析： 圆的

14、方程化为普通方程为4)2(22yx，圆心（ 0，2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载直线化为普通方程：6yx，圆心到直线的距离为222620d答案：（0，2）22例 14 已知正 OAB 的三个顶点都在抛物线xy22上，其中 O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内切圆（点C 为圆心）（1）求圆 C 的方程；（2）设圆 M 的方程为1)sin7()cos74(22yx，过圆 M 上任意一点P分别作圆C 的两条切线PE、PF，切点为E、F，求CFCE的最大值和最小值。解析：（1）由正三角形及抛物线的对

15、称性，得AB x 轴OA 的方程为xy31，代入抛物线方程，得xx232，解得0 x或6x点 A 的坐标为（ 6，32）设圆心 C（0 ,a） ，由于等边三角形内切圆的圆心就是其中心，由重心定理，得4a，内切圆半径2r内切圆的方程为4)4(22yx（2）设圆 M 的圆心 M（x，y）则sin7cos74yx49)4(22yx圆 M 的圆心随的变化在圆49)4(22yx上运动如图，设 ECF=a，则cos4cos22cosCFCECFCE要使CFCE最大cos最大a 最小点 P 离圆 C 最近PC最小，而圆M的圆心 M 的轨迹与圆C 是同心圆，4127最小PC，又2CE，所以此时RtPCE 中，

16、 PCE=60，即120260，2120cos4最大CFCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载同理，CFCE最小时，最大6127最大PC2CE，3162cos2cosPCE2cos2cos21=97928cos4最小CFCE总之，2最大CFCE，928最小CFCE【模拟试题】1. 已知平面内有一条线段AB=4，动点 P 满足 PAPB=3，O 为 AB 中点，则 PO 的最小值为（）A. 1 B. 23C. 2 D. 3 2. 椭圆的四个顶点A、B、C、D，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆

17、的离心率是（）A. 253B. 853C. 215D. 4153. 如图 1，BD=CD ，2:1: DEAE，延长 BE 交 AC 于 F，且cmAF5，则 AC 的长为（）A. 30cm B. 25cm C. 15cm D. 10cm 4. 如图 2，已知 ABC 中， P为 AB 上一点，在下列条件中 ACP= B；APC= ACB ；ABAPAC2；CBAPCPAB，能满足 APC 和 ACB 相似的条件是（）A. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载5. 如图 3，在 AB

18、C 中，AD 是高， ABC 的外接圆直径AE 交 BC 边于点 G，有下列四个结论：CDBDAD2AEEGBE2ACABADAECGBGEGAG其中结论正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图 4，AB 是 O 的直径，1l、2l是 O 的切线且21/lABl，若 P 是1l上一点，直线 PA、PB 交2l于 C、D 两点， 设 O 的面积为S1，PCD 的面积为 S2，则21SS等于（）A. B. 2C. 4D. 87. 如图 5， P为 O 外一点，割线 PAB 交 O于 A、 B两点， 若 PO=10， 且362PAPA AB ，则 O 的半径为（）A. 3

19、B. 4 C. 6 D. 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载8. 如图 6， PA切 O 于 A 点， PC交 O 于 B、 C 两点， M 是 BC 上一点，且 PA=6， PB=BM=3 ，OM=2 ，则 O 的半径为（）A. 22B. 23C. 24D. 259. 以圆锥曲线过焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与准线的关系是相离，该圆锥曲线是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 以上都有可能10. 下列说法错误的是（）A. 根据圆锥曲线的离心率可以判定圆锥曲线的形状B. 平面与圆锥轴线的

20、夹角和圆锥母线与轴线夹角可以判定它们交线的形状C. 圆锥曲线的离心率具有统一公式ace或coscoseD. 圆锥曲线准线间的距离为ca2211. 下列有关坐标系的说法，错误的是（）A. 在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B. 在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C. 任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D. 同一条曲线可以有不同的参数方程12. 把函数xy2sin21的图象经过变化，可以得到函数xysin41的图象A. 横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标伸长为原来的2 倍B. 横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标伸长为原来的2 倍C. 横坐标缩短为原来的21倍，纵

21、坐标缩短为原来的21倍D. 横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标缩短为原来的21倍精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载13. 极坐标方程0sin2)sin2(2表示的图形是（）A. 一个圆与一条直线B. 一个圆C. 两个圆D. 两条直线14. 极坐标1cos22cos2表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线15. 极坐标系中，圆sin3cos4的圆心的极坐标是（）A.（53arcsin,25）B.（5，54arcsin）C.（5，53arcsin）D.（25，54arcsin）16.

22、 曲线sincosyx（为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）A. 21B. 22C. 1D. 217. 由方程04324222ttytxyx（t 为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（）A. 一个定点B. 一个椭圆C. 一条抛物线D. 一条直线18. 已知双曲线C 的参数方程为tan4sec3yx（为参数），在下列直线的参数方程中（）tytx43； tytx211231； tytx5453； tytx221221； tytx4433（以上方程中，t 为参数）可以作为双曲线C 的渐近线方程的是（）A. B. C. D. 19. 已知 P 点的柱坐标是（2，4，1） ，点 Q 的球坐标为

23、（ 1，2，4） ，根据空间坐标系中两点A（111,zyx） 、B（222,zyx）之间的距离公式221221221)()()(zzyyxxAB，可知 P、Q 之间的距离为（）A. 3B. 2C. 5D. 2220. 已知一个圆的参数方程是sin3cos3yx（为参数）， 那么圆的摆线方程中参数2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载对应的点的坐标与点（2,23）之间的距离为（）A. 12B. 2C. 10D. 12321. 过抛物线tytx322（t 为参数）的焦点的弦长为2， 则该弦所在直线的倾斜

24、角为（）A. 3B. 3或32C. 6D. 6或6522. 直线20cos320sintytx（t 为参数）的倾斜角为（）A. 20B. 70C. 110D. 160精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载【试题答案】1. B 2. C3. B4. A 5. B 6. C 7. D 8. A 9. A 10. C 11. C 12. D 13. C 14. D 15. A 16. D 17. D 18. A 19. B 20. C 21. B 22. C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页