2022年解三角形知识点与题型总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点解三角形常用学问点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180 ； C=180 A+B ；ABtanC,.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. .锐角三角形性质：如ABC就 60A90 ,0C60.2、三角形三边关系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系：sinABsinC cosABcosC tansinA2BcosC,cosA2BsinC,tanA2BcotC222（1）和角与差角公式sinsincoscossin; tantantan. ; coscoscossinsin1t

2、antan（2） 二倍角公式sin2 = 2cos sin 22cos2112sin21tan2. cos2cos2sin21tan2sin21cos2,cos1cos222（3）帮助角公式（化一公式）yasinxbcosxa22 bsinx其中tanb aC 的外接圆的半径,就4、正弦定理：在C 中, a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边, R 为有abcC2Rsinsinsin5、正弦定理的变形公式：名师归纳总结 化角为边：a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC ；第 1 页,共 7 页化边为角：sina, sinb, sinCc；2R2R2Ra b csin:sin:sinC

3、；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备精品学问点c sinabcsinCabcC=2R sinsinsinsin6、两类正弦定懂得三角形的问题：已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 已知两角和其中一边的对角,求其他边角. 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形（一解、两解、三解） 7、三角形面积公式：SC1bcsin1absinC1acsin=2R 2sinAsinBsinC=abc=rab2224R2=p pa pb pc 海伦公式 8、余弦定理：在C 中,有a2b2c22 bccos,2 ba2c22accos,c2a2b22

4、abcosC 9、余弦定理的推论：cosb2c2a2,cosa2c22 b,cosCa2b2c22 bc2ac2 ab10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角,求其余的量；已知三边求角 11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或 角的形式设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边,就：C90；如a2b22 c ,就C90如a22 b2 c ,就C90；如a2b22 c ,就12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形

5、的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一 ：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角或二角一边或三边,求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线高线、 角平分线、中线 及周长等基本问题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备精品学问点BBD=5 ,求1 （15 北京理科）在ABC中,a4,b5,c6,就sin 2AsinC2. （2005 年全国高考湖北卷 在 ABC中,已知AB436,cos6 6,AC 边上的中线sinA 的值3. 在 ABC 中,已知 a2,b 2 2 , C 15 ,求 A；题型

6、之二 ：判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式,判定此三角形的外形4. 2005 年北京春季高考题在ABC 中,已知2sinAcosBsinC,那么ABC 肯定是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形题型之三 ：解决与面积有关问题5在ABC 中, sinAcosA2, AC2 , AB3,求tanA的值和ABC 的面积；26. 已知ABC的周长为21,且 sinAsinB2 sinC （I）求边 AB 的长；（II）如ABC的面积为1 sin 6C ,求角 C 的度数题型之四 ：三角形中求值问题7. 2005 年全国高考天津卷 在ABC 中,A、B、C所对的边长分别为a、b

7、、c,设a、b、c满意条件b2c2bca2和c13,求A 和tanB的值b28ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；名师归纳总结 9 在 锐 角ABC中 , 角 A, ,C所 对 的 边 分 别 为 a, ,c, 已 知sinA2 2,（ 1 ） 求3tan2B2C第 3 页,共 7 页sin2A的值；（2）如a2,SABC2,求 b 的值；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10在ABC中,内角 A, ,C学习必备精品学问点c,已知c2,C3对边的边长分别是a, ,（）如ABC的面积

8、等于3 ,求 a,b；ABC的面积（）如 sinCsinBA2sin 2A ,求题型之五（解三角形中的最值问题）11.在 ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b, c,已知cosCcosA3 sinA cosB0. （1）求角 B 的大小； 2如ac1,求 b 的取值范畴. 12在内角的对边分别为, 已知名师归纳总结 求; 如, 求面积的最大值 . 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点答案：1 试题分析：sin 2 A2 sinAcosA2 ab2c2a2264253616126256sinCsinCc2

9、 bc2 解：设 E 为 BC的中点,连接DE,就 DE/ AB,且DE1 AB 2,设 BEx 在 BDE中利用余弦定3理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED,5x2822366x,解得x1,x7363（舍去） 故 BC=2,从而2 AC2 AB2 BC2 ABBC cos B28,即3AC221又sin B30,362 21故2A3,sin A7014sin3063.答案：B2A,且0 0A1800,A3004 解法 1：由sinAcosBsinCsinAB sinAcosBcosAsinB,即 sinAcosBcosAsinB0,得 sinAB0,得 AB应选 B名师归纳总结

10、解法 2：由题意,得cosBsin C2sin Ac,再由余弦定理,得cosBa26c2b2第 5 页,共 7 页2 ac2 aa2c2b2c,即 a2b2,得 ab,应选 B2ac2a325 答案： SABC1ACABsinA1232462246 解：（I）由题意及正弦定理,得ABBCAC21,BCAC2AB,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习必备精品学问点两式相减,得AB1（II）由ABC的面积1 2BC ACsinC1sinC ,得BC AC1,63由余弦定理,得cosCAC22BC2AB2ACBC22

11、AC BCAB21,C60AC BC2AC BC27 解：由余弦定理cosAb2c2a21,因此,A60在 ABC中,C=180 A B=1202bc2 B.由已知条件,应用正弦定理13csinCsin120BB2bsinBsinsin120cosBcos 120sinB3cotB1,解得cot B2,从而tan B1.sinB2228 解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 =A 2,所以有 cosB+C=sin2；cosA+2cosB+CA =cosA+2sin 2 =12sin2A A2 + 2sin 22=2sinA 21 2 2+ 2；当 sinA 2 = 1 2,即 A= 3时,

12、cosA+2cos 2取得最大值为 3 2；B+C9 解析：（ 1）由于锐角ABC中, ABC ,sinA2 2,所以 cosA1 3,就32 tanBC2 sinA2 sinBCsin2AB2C222 cos221cos B ） （ 11cos（ ）2cosA）1cosA 1371cosA3（2）由于SABC2,又SABC1bcsin A1bc2 2,就 bc3；将 a2,cosA1 3,c3 b代入223余弦定理：2 ab2c22bccos A中,得b46b2 0解得 b3 ；10 解：（）由余弦定理及已知条件得,a2b2ab4,又由于ABC的面积等于3 ,所以1 2absinC3,得ab

13、4 4 分联立方程组a22 bab4,解得a2,b2 6 分ab4,第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）由题意得sinBAsinBA学习必备精品学问点4sinAcosA ,即 sin B cos A 2sin A cos A, 8 分当 cos A 0 时,A,B,a 4 3,b 2 3,2 6 3 3当 cos A 0 时,得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2 a ,联立方程组 a 2 b 2 ab 4,解得 a 2 3,b 4 3b 2 a,3 3所以ABC 的面积 S 1ab sin C 2 3 12 分2 311 答案：（1）602, 1）12 答案：（1）45名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页