2022年高三数学第二轮专题复习系列 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高三数学第二轮专题复习系列(8)-圆锥曲线一、知识结构1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0) 在曲线C 上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0) 0两条曲线的交点若曲线 C1， C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2

2、(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点 f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点； 方程组没有实数解，曲线就没有交点 . 2. 圆圆的定义点集： M OM =r ，其中定点O为圆心，定长r 为半径 . 圆的方程(1) 标准方程圆心在 c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D,-2E，半径是24F-ED22.

3、 配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 (x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0) ，则MC r点 M在圆 C内，MC =r点 M在圆 C上，MC r点 M在圆 C内，其中 MC =2020b)-(ya)-(x. (3) 直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6

4、 页学习必备欢迎下载直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i) 判别式法 (ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离 d=22CBbAaBA与半径 r 的大小关系来判定. 3. 椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 椭圆双曲线抛物线轨迹条件点集： (M MF1+MF2 =2a, F 1F22a点集： M MF1 - MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l 的距离 . 圆形标准方程22ax+22by=1(a b0) 22ax-22by=1(a 0,b 0) y2

5、=2px(p 0) 顶点A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0) 轴对称轴 x=0,y=0 长轴长： 2a 短轴长： 2b 对称轴 x=0,y=0 实轴长： 2a 虚轴长： 2b 对称轴 y= 焦点F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上F(2P，0) 焦点对称轴上焦距F1F2=2c，c=b2-a2F1F2=2c, c=b2a2准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外 . x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相

6、等 . 离心率e=ac,0 e1 e=ac,e 1 e=1 曲线性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载 4. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 . 当 0e1 时，轨迹为椭圆当e=1 时，轨迹为抛物线当e1 时，轨迹为双曲线5. 坐标变换坐标变换在解析几何中， 把坐标系的变换( 如改变坐标系

7、原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y) ，在新坐标系 x O y中的坐标是 (x ,y ). 设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则x=x+h x=x-h (1) 或(2) y=y+k y=y-k 公式 (1) 或(2) 叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 . 中心或顶点在(h,k) 的圆锥曲线方程

8、中心或顶点在(h,k) 的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 ( c+h,k)x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya =1 (h, c+k)y=ca2+k x=h y=k 双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ( c+h,k)=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h, c+h)y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y =k (x-h)2=2p

9、(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 二、知识点、能力点提示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载( 一) 曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 . 特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内

10、容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。四对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3 题(1 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 22 分左右 , 考查的知识点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查

11、 . 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等

12、综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“ 先定形，后定式，再定量” 的步骤 . 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式 根据 “ 形” 设方程的形式， 注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). 定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】【例 1】双曲线2224byx=1(bN)的两个焦点F1、F2，P 为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_. 【例 2】已

13、知圆 C1的方程为3201222yx，椭圆 C2的方程为12222byaxab0，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段AB恰为圆 C1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2的方程。【例 3】过点(1，0)的直线 l 与中心在原点， 焦点在 x 轴上且离心率为22的椭圆 C相交于 A、B 两点，直线y=21x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 【例 4】如图，已知 P1OP2的面积为427，P 为BAy=12xoyxF2F1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

14、 - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载线段 P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程 . 【例 5】过椭圆 C：)0(12222babxay上一动点 P引圆 O：x2+y2=b2的两条切线 PA、PB，A、B 为切点，直线AB 与 x 轴， y 轴分别交于M、N 两点。 (1) 已知 P 点坐标为 (x0，y0)并且x0y0 0，试求直线AB 方程； (2) 若椭圆的短轴长为8，并且1625|2222ONbOMa，求椭圆C 的方程； (3) 椭圆 C 上是否存在点P，由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的

15、条件；若不存在，请说明理由。【例 6】已知椭圆 C 的焦点是F1（3， 0） 、F2（3，0） ，点 F1到相应的准线的距离为33， 过 F2点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆 C 交于 A、 B两点，使得|F2B|=3|F2A|. （1）求椭圆C 的方程；（ 2）求直线l 的方程 . 【例 7】已知点 B （ 1， 0） ， C （1， 0） ， P是平面上一动点， 且满足.|CBPBBCPC（1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线 C 的两条弦AD 和 AE，且 AD AE，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A（m,2

16、）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦AD ，AE，且 AD ，AE 的斜率 k1、k2满足 k1 k2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 【例 8】已知曲线332)0, 0(12222ebabyax的离心率，直线 l 过 A（a，0） 、B（0， b）两点，原点O 到 l 的距离是.23（）求双曲线的方程；（）过点B 作直线 m 交双曲线于M、N 两点，若23ONOM，求直线m 的方程 . 【例 9】已知动点P与双曲线13222yx的两个焦点1F、2F的距离之和为定值，且21cosPFF的最小值为91 （1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D，M、N在动点P的

17、轨迹上且DNDM，求实数的取值范围【求圆锥曲线的方程练习】一、选择题1已知直线x+2y 3=0 与圆 x2+y2+x6y+m=0 相交于 P、Q 两点， O 为坐标原点，若OPOQ，则 m 等于 ( ) A.3 B.3 C.1 D.1 2中心在原点，焦点在坐标为(0， 52)的椭圆被直线3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( ) 12575D.17525C.1252752B.1752252A.22222222yxyxyxyx二、填空题3直线 l 的方程为y=x+3,在 l 上任取一点P，若过点P 且以双曲线12x24y2=3 的焦点精选学习资料 - - - - - - -

18、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_. 4已知圆过点P(4， 2)、Q(1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为 _. 三、解答题5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F，M 是椭圆上的任意点， |MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点M1和M2，且 |M1M2|=3104，试求椭圆的方程. 6某抛物线形拱桥跨度是20 米， 拱高 4 米，在建桥时每隔4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长. 7已知圆 C1的方程为 (x2)2+(y1)2=320,椭圆 C2的方程为2222byax=1(ab0)，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于A、B 两点， 且线段 AB 恰为圆 C1的直径， 求直线 AB 的方程和椭圆 C2的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页