2022年解析几何知识点总结3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何学问点总结第一部分 :直线 一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角1定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角；2范畴：0,1802.斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 .k=tan1.倾斜角为 90 的直线没有斜率；2.每一条直线都有唯独的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于 x 轴时,斜率的存在与不存在 这 其斜率不存在 ,这就打算了我们在争论直线的有关问题时,应考虑到 两种情形,否就会产生漏解；3设经过 Ax1,y1和 Bx2,y2两点的直线的斜率为 K,就当 X1 X2 时, k=tan =Y1-

2、Y2/X1-X2；当 X1=X2时, 二、直线的方程=90 ；斜率不存在；1.点斜式：已知直线上一点P x0,y0及直线的斜率k倾斜角 求直线的方程用点斜式：y-y0=kx-x0 留意：当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x=x0；2.斜截式：假设已知直线在 y 轴上的截距直线与 y 轴焦点的纵坐标为 b ,斜率为 k ,就直线方程： y=kx+b；特殊地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx 留意：正确懂得“截距 ” 这一概念,它具有 方向性,有正负之分,与“ 距离” 有区分；3.两点式：假设已知直线经过x1,y1和 x2,y2两点,且X1 X2,y1 y2就直线的方y

3、 y 1 x x 1程：；y 2 y 1 x 2 x 1留意：不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式 x 2 x 1 y y 1 y 2 y 1 x x 1 0 时, 方程可以适应在于任何一条直线 ；4 截距式：假设已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a,ba 0,b 0就直线方程：xy1；ab留意： 1.截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线；2.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 程可设为 x-y=a 5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：个二元一次方程都表示一条直线；三、两条直线的位置关系x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

4、线方 Ax+By+C=0；A,B 不同时为零 ；反之,任何一位置关系l l1: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2l l1: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yC 1C20 022- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 平行k1k2,且b 1b2A 1B 1C 1A1B2-A2B1=0 A 2B 2C2重合k1k2,且b 1b2或l l1: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yA 1B 1C 10k2或A 2B2C2相交k 1k2A 1B 1A 2B 2垂直k 1k21A 1A 2B 1B

5、2设两直线的方程分别为：l l1: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2C 1C20 0；当k122A 1B 2A2B 1时它们相交, 交点坐标为方程组y yk 1k 2x xb 1b 2或A 1A 2x xB 1 yB 2 yC 1C20 0解；五、点到直线的距离公式：1. 点 PX0,Y0 到直线 L: Ax+By+C=0的距离为：d|Ax 0By 0C|；A2B2L1: Ax+By+C1=0,L2: Ax+By+C2=0的距离为：d|C 1C 2|；A2B2六、直线系：1设直线 L1: A1x+B1y+C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0,经过 L1,L2 的交点的直线方程为A

6、 1 x B 1 y C 1 A 2 x B 2 y C 2 0除去 L2；如：Y=kx+1y-1-kx=0 ,即也就是过 y-1=0 与 x=0 的交点 0,1 除去 x=0 的直线方程；直线 L: m-1x+2m-1y=m-5 恒过一个定点；2和 L: Ax+By+C=0平行的直线为 Ax+By+C1=03与 L: Ax+By+C=0垂直的直线为 Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：1中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点 称点 2c-a,2d-b 直线关于点的对称：Aa.b 关于 Cc,d 的对、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两

7、点的坐标,再 由两点式求出直线方程；、求出一个对称点,在利用L1/L2由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等；求出直线方程；- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如：求与已知直线l1:2x3y60关于点P ,11 对称的直线2l 的方程；2轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数；、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解；如：求点 A 3 , 5 关于直线 l : 3 x 4 y 4 0 对称的坐

8、标；直线关于直线对称： 设 a, b 关于 l 对称、假设相交,就 a 到 L 的角等于 b 到 L 的角；假设 a L,就 b L,且与 L 的距离相等；、求出a 上两个点A,B关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程；、设Px,y为所求直线直线上的任意一点,就 P 关于 l 的对称点P 的坐标适合 a 的方程；如：求直线a:2xy40关于l:3x4y10对称的直线 b 的方程；其次部分：圆与方程圆的标准方程：xa2yb2r2圆心C a,b ,半径 r2. 特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y2r2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：y0b2

9、r24F. 0且1点在圆上d=r ；2点在圆外dr ；3点在圆内dr 2.给定点Mx0y0及圆C:xa2yb2r2. M 在圆 C 内x 0a2y0b2r2 M 在圆 C 上（x0a2 M 在圆 C 外x0a2y 0b 2r22.3 圆的一般方程：x2y2DxEyF0. D2E2当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E,半径r22B02AC当D2E24F0时,方程表示一个点D,E. 22且当D2E24F0时,方程无图形称虚圆. 注： 1 方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 -

10、 - - - - - - - - D2E24AF0. AB是圆的直径圆的直径系方程：已知A x1,y1B x2,y2xx 1xx2yy1yy20xa 2yb2r2的位置关系有三2.4 直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆种, d 是圆心到直线的距离,； 3dAaA2BbCB2相切01dr相离dr0；2dr相交0；2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r2,O 1O2d；外切3 条公切线；1dr1r2外离4条公切线；2dr1r2r 1r2内切1 条公切线3r 1r2dr 1r2相交2 条公切线；4d50dr 1r 2内含无公切线；内含外离外切相交内切2.6 圆的

11、切线方程 ：直线与圆相切的性质：1圆心到直线距离等于半径r；2圆心与切点的连线与直线垂直斜率互为负倒数过肯定点做圆的切线要分成两种情形：点在圆上和点在圆外；假设点在圆上就切线只有一条,利用性质假设点在圆外就切线有两条,用性质类争论；2.7 圆的弦长问题：2可求切线斜率,再点斜式写出切线方程；1来求出切线斜率,此时留意切线斜率是否存在的分半弦L 、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形,满意勾股定理：2L2R2d22第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义： 平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数2 aF 1F 2的点的轨迹叫做椭- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

12、 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆,即点集M=P| |PF1|+|PF 2|=2a ,2a|F 1F2|=2c ；这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c；2 a F 1 F 2 2 c 时为线段 F 1F 2,2 a F 1 F 2 2 c 无轨迹；2标准方程：c 2 a 2 b 2焦点在 x 轴上：a x 22 b y2 21ab0； 焦点 F c,0焦点在 y 轴上：a y 22 b x2 21 ab0； 焦点 F0, c留意：在两种标准方程中,总有 ab0,a 2b 2c 2并且椭圆的焦点总在长轴上；2 2一般形式表示

13、：x y1 或者 mx 2 ny 2 1 m 0 , n ,0 m n m n二椭圆的简洁几何性质：1椭圆x2y21 ab0 横坐标 -a xa , 纵坐标 -b xb a2b22椭圆y2x21ab0 横坐标 -b xb, 纵坐标 -a x a a2b2椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心1椭圆的顶点：A1-a ,0,A2a,0,B10,-b ,B20,b2线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长； 4 离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c

14、,即c 称为椭圆的离心率,a2a记作 e0e1,2 ec21b2a2a- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - e 越接近于 0 e 越小,椭圆就越接近于圆 ; e 越接近于 1 e 越大,椭圆越扁；5椭圆的的内外部1点P x0,y0在椭圆2 xy21 ab0的内部x 0 2y 0 211. 2a2b2a2b2点P x0,y0在椭圆2 xy21 ab0的外部2 x 02 y 0. a2b2a2b26. 几何性质1通径过焦点且垂直于长轴的弦AB2 b2：SMF1F 2b2tan2其中a 2焦点三角形椭圆上的任意一

15、点与两焦点够成的三角形F 1MF27 直线与椭圆的位置关系：1 判定方法 : 联立直线方程与椭圆方程消的符号判定位置关系：0 有两个交点 相交0 相切 有一个交点0 相离 没有交点y 或 x 得到关于 x 的一元二次方程,依据判别式2 弦中点问题 :用点差法解决 斜率为 k 的直线 l 与椭圆2 xm 2y21m,0n0 ,mn n2交于两点A x 1,y 1、Bx 2,y2M（x 0, y0）是 AB的中点,就：k ABn2x 02 my 03 弦长公式：AB（x 1k2 x 2）y 1y22x 1x 2（12）x 1x 224第四部分：双曲线双曲线标准方程焦点在x轴标准方程焦点在y 轴x2

16、y21 a0,b0y2x21 a,0b0a2b2a2b2- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第肯定义：平面内与两个定点F ,F 的距离的差的肯定值是常数小于F F 2的点的轨 迹 叫 双 曲 线 ； 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 , 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 ；定义MMF 1MF22a2aF 1F 2yyxxPy yxxF 2范畴F 1F 2F 1Pxa , yRya , xR对称轴x轴 ,y轴；实轴长为2a , 虚轴长为 2b对称中心原点O0,0F 20, F 10,cF

17、 1c ,0F 2 ,0焦点坐标顶点坐标焦点在实轴上,ca22 b；焦距：F F 22 ca,0 a ,0 0, a , 0, a 离心率ece1 AB2b2a1通径过焦点且垂直于实轴的弦a重要结论2焦点三角形：SMF 1F 2b22b2cot2tan渐近线ybxxb ay方程a共 渐 近 线x2y2kk0y2x2kk0的 双 曲 线a2b2a2b2系方程 补充学问点：等轴双曲线的主要性质有：1半实轴长 =半虚轴长；- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2其标准方程为x2y2C其中 C 0；3离心率 e 2

18、；4渐近线：两条渐近线 y= x 相互垂直；第五部分：抛物线学问点总结图象y22px p0y2y 2px p0x22py p0 x22pypl 0 l y l y y 定义范畴对称性焦点O F x F O x O F x O x F l 平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线；MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称p ,0 2p,0 0,p 20,p 22焦点在对称轴上顶点xx 1ppAFxppO0,0yy 1ppAFypp离心率e=1 准线方程

19、22p22焦点到准线的距离AFx 1AFy 1焦半径A x 1,y 12222- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点弦 长ABx 1x 2px 1x 2py 1y2py 1y2p1. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得：1当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点；2当 k 0 时, 0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点； =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点； 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点；（3）假设直线与抛物线只有一个公共点, 就直线与抛物线必相切吗.不肯

20、定2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：ykxb抛物线, p0x 1x2,x 1x 2, 仍 可 进 一 步 求 出联立方程法：b20y2kxbk2x22kbpxy2px0 , 以 及2, 就 有设 交 点 坐 标 为Ax 1y 1,Bx2yy 1y2kx 1bkx 2bkx 1x 22 bb2,y 1y2kx 1bkx 2bk2x 1x 2kbx 1x2在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比方a.相交弦 AB的弦长k2x 1x224x 1x211k22aaAB1k2x 1x21或AB11y 1y 211y 1y 224y 1y2kk2k2b. 中点Mx 0y

21、 0, x 0x 12x 2,y0y 12y2点差法：2y2,代入抛物线方程,得设交点坐标为Ax 1y1,Bx2 y 12px 1y 222 px 2- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将两式相减,可得y 1y2y 1y22px 1x 2,是y 1y 22px 1x 2y 1y 2a.在涉及斜率问题时,kABy 12p2yb.在涉及 中点 轨迹 问题时,设线 段AB的中 点为Mx 0y0y 1y 22p22pp,x 1x 2y 1y2y0y0即k ABp,y 0同理,对于抛物线x22pyp0,假设直线 l 与抛物线相交于A、B两点,点Mx 0y0弦 AB 的中点,就有k ABx 1x 22x0x 02p2pp留意能用这个公式的条件：1直线与抛物线有两个不同的交点,2直线的斜率存在,且不等于零- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页