2022年视导材料圆锥曲线中的定点定值问题教师版.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆课题:圆锥曲线中的定点、定值问题考点整合:定值、定点问题必定是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点 . 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,依据等式的恒成立、数式变换等查找不受参数影响的量 . 活动一:基础检测:1. (2022 江苏南通基地密卷(一) )已知正方形 ABCD 的顶点坐标分别是 A( 1,0),B(0,1),C(1,0),D(0, 1),动点 M 满
2、意: k MBk MD 1 2,就 MA MC.答案: 2 2.解析: 设点 M 的坐标为( x,y), kMBkMD1 2,y1y121 2. 整理得 x 2y 21( x 0). 动点 Mx的轨迹方程是椭圆(除去长轴上两个顶点),其焦 点恰为 A,C 两点 . MAMC 2 2.2. 在直角坐标系中,过双曲线x2 y21 的左焦点 F 作圆 x2 y2 1 的一条切线 (切点为 T)交双曲线9右支于 P,如 M 为线段 FP 的中点,就OMM T . 答案: 2. 解析: 设双曲线右焦点为 F,连结 PF,就 OM 是 PFF 的中位线,所以 OM1 2PF12( PF2).又 OTPF,
3、OF10,OT1,所以 FT 3,从而 OM1 2(2FM2) FM 13MT 12MT,所以 OMMT 2. 名师归纳总结 - - - - - - -3. (2022 成都模拟) 已知椭圆2 xa 2 2 yb 2 1(ab 0)的离心率为6 3,过椭圆上一点M 作直线MA,MB 分别交椭圆于A,B 两点,且斜率分别为k 1,k 2,如点 A,B 关于原点对称, 就 k 1k 2 的值为 _.解析由 e 2 1ba2 26 9,得 b2 21 3,设 M( x,y), A(m,n), B( m, n),就 k1k2yn xmxm ynyx 2m 2n 22,把 y2b2 12 xa 2 ,n
4、2b2 12 ma 2 代入 式并化简,可得k1k2 1 3.答案1 3第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆活动二:探究 定值(定点)问题 微题型 1 定点的探究与证明【例 1】( 2022苏、锡、常、镇模拟)如图,以原点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 3 和 1,过原点O 的射线交大圆于点 P,交小圆于点 Q,P 在 y 轴上的射影为 M. 动点 N 满意 PMPN 且 PMQN0.(1)求点 N 的轨迹方程; (2)过点 A(0, 3)作斜率分别为 k1,k2 的直线 l1,l2,与点 N 的轨迹分别交于 E, F两点,
5、 k1k2 9. 求证:直线 EF 过定点 . (1) 解 由PMPN 且PMQN 0 可知, N,P,M 三点共线且 PM QN.过点 Q 作 QN PM,垂足为 N,设 N(x,y) . 由于 OP3,OQ1,由相像比可知 P(3x,y) .2 2由于 P 在圆 x 2y 29 上,所以( 3x)2y 29,即y 9x 21,所以点 N 的轨迹方程为y 9x 21. yk1x3,(2) 证明 设 E(xE,yE),F(xF,yF),依题意,由 y9x 221 得( k 219)x 26k1x0,2 2解得 x0 或 x6k1k 19,所以 xE 6k1 k 1. 由于 k1k2 9,所以
6、k29 k1,用 9 k1替代中的 k1,同理可得 Fk 19,3k 2 1272 19 . 明显 E,F 关于原点对称,所以直线 EF 必过原点 O. 2【训练 1】已知椭圆x 4y 21 的左顶点为 A,过 A 作两条相互垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 两点 .(1)当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标;(2)当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的肯定点?如过定点,请给出证明,并求出该定点;如不过定点,请说明理由 .解:( 1)直线 AM 的斜率为 1 时,直线 AM 为 yx2,代入椭圆方程并化简得 5x 216x120,解之得 x1 2,x26
7、5, 点 M 的坐标为6 5, 4 5 .y k(x2),名师归纳总结 (2)设直线 AM 的斜率为 k,就 AM 为 yk(x2),就2 x 4y21,化简得 (14k 2)x 2 16k2x16k24 0. 此方程有一根为2,xM28k 14k2xN2k k 24 . 28第 2 页,共 16 页2,同理可得由( 1)知如存在定点,就此点必为P 6 5,0 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2 kMPy Mk 14k 28k2 225k2,同理可运算得 kPN5k 2. x M6 5 28k14k 265 44k 44k
8、直线 MN 过 x 轴上的肯定点 P6 5,0 .探究提高 假如要解决的问题是一个定点问题,而题设条件又没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考:由于这个定点对符合要求的一些特别情形必定成立,那么我们依据特别情形先找到这个定点,明确解决问题的目标,然后进行推理探究,这种先依据特别情形确定定点,再进行一般性证明的方法就是由特别到一般的方法 . 微题型 2 定值的探究与证明2 2【例 2】(2022 南京、盐城模拟)已知椭圆xa 2yb 21(a b0)的右焦点为 F 2(1,0),点 H(1,3 2)在椭圆上 . (1)求此椭圆方程; (2)点 M (x0,y0)在圆 x 2y 2b 2 上,
9、M 在第一象限,过 M 作圆 x 2y 2b 2 的切线交椭圆于 P,Q 两点,问 F 2PF 2QPQ 是否为定值?假如是,求出定值;如不是,说明理由 . 解(1)右焦点为 F 2(1,0), c1,左焦点为 F1( 1,0). 又点 H( 1,3 2)在椭圆上,2aHF 1HF 2(11)2(3 2)2(11)2(3 2)24,2 2a 2,ba 2c 23,故所求椭圆方程为 x 4y 31.(2)如下列图:设 P( x1, y1),Q(x2,y2),2 2 2x4 1y3 11( |x1|2), PF 2( x11)2y2 1( x11) 23(1x4 1)14(x14)2, PF212
10、(4x1)21 2x1. 连接 OM ,OP,由相切条件知:PM2OP2OM2x2 1y22 13x 13(1 x 4) 31 4x2 1,PM1 2x1, PF 2PM 21 2x11 2x12. 同理可求: QF2QM 2 1 2x21 2x22.所以 F 2PF 2QPQ2 24 为定值 .名师归纳总结 【训练 2】(2022 江苏高考命题原创卷)如图,过点C(0,3)的椭圆x2 22 y b 2 1(ab0)的离心第 3 页,共 16 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆率为1 2,椭圆与 x 轴交于 A(a,0)和
11、 B( a,0)两点,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆的右焦点时,求线段 CD 的长;(2)当点 P异于点 B 时,求证: OP OQ 为定值 . 2 2(1) 解 由已知得 b3,c a1 2,得 a 2,所以椭圆的方程为 x 4y 3 1.椭圆的右焦点为 F(1, 0),此时直线 l 的方程为 y3x3.由 y3x 24y 3x212 3,解得 x10,x28 5,所以 CD(1 k 2) | x1x2| 48 516 5 . (2) 证明 当直线 l 与 x 轴垂直时,与题意不符,所以直线
12、 l 与 x 轴不垂直,即直线 l 的斜率存在 .设直线 l 的方程为 y kx3(k 0 且 k2). 将其代入椭圆的方程,化简得(3 34k 2)x 28 3kx0,解得 x10,x28 3k2. 将其代入直线 l 的方程,得 y13, y23(34k2 2).34k 34k所以 D 点的坐标为8 3k2,3(34k2 2). 3 4k 34k由于 B( 2,0),kBDy20 x2223 2k2k33,所以直线 BD 的方程为 y2(2k3(2k3)3)(x2) .又直线 AC 的方程为x 2 y 31,联立直线 AC 与直线 BD 的方程解得 x4k3,y2k3,即 Q 4k3,2k3
13、 . 而 P k,0 ,所以 OP 3OQ k, 0 4k 3,2k3 404.所以 OPOQ 为定值 4. 探究提高 定值问题通常是通过设参数或取特别值来确定“ 定值” 是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最终必定参数统消,定值显现 . 归纳总结,思维升华:解答圆锥曲线的定值、定点问题,从三个方面把握:(1)从特别开头,求出定值,再证明该值与变量无关:名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不
14、思就惘,思而不学就殆( 2)直接推理、运算,在整个过程中消去变量,得定值;(3)在含有参数的曲线方程里面,把参数从含有参数的项里面分别出来,并令其系数为零,可以解出定点坐标 . 活动三: 自主检测:2 21.已知椭圆 x 4y 21 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)且 x1 x22. (1)求证:线段 PQ的垂直平分线经过一个定点 A;(2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求 PB 的最小值及相应的 P 点坐标 .审题视点 (1)由 x1x22 可得 PQ 的中点横坐标,引入参数 PQ 中点的纵坐标,先求 kPQ,利用直线PQ 的方程求解 . (2)建立 P
15、B 关于动点坐标的目标函数,利用函数的性质求最值 .(1)证明P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1x22. 当 x1 x2 时,由 xx 2 12y22y 2 142 24,得y1y2x1x21 2x1x2y1y2 .设线段 PQ 的中点 N(1, n), kPQy1y21,x1x2 2n线段 PQ 的垂直平分线方程为 yn2n(x1),( 2x1) ny0,就直线恒过一个定点 A 1 2,0 .当 x1x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A 1 2,0 . 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A 1 2,0 .(2) 解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B 1
16、 2,0 . 2x12, 2x22, x12x20,2,PB 2 x11 2 2y 11 2(x11)27 49 4,当点 P 的坐标为( 0,2)时, PBmin3 2.以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有:证明直线过定点和证明某些量为定值 .而解决这类定点与定值问题的方法有两种:一是讨论一般情形,通过规律推理与运算得到定点或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好查找;另外一种方法就是先利用特别情形确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向 .2 22.如图,椭圆 C0:x a 2yb 21(a b0,a、b 为常数),动圆 C1:x 2y 2t 2 1
17、,bt1a. 点 A1、 A2分别为C0的左、右顶点,C1 与 C0 相交于 A、B、 C、D 四点 . (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程;(2)设动圆 C2:x 2 y 2 t 2 2与 C0相交于 A,B , C , D 四点,其中 bt 2a,t1 t2. 如矩形 ABCD 与矩形 ABCD的面积相等,证明:t2 1t2 2为定值 .(1) 解: 设 A(x1,y1),B(x1, y1),又知 A1( a, 0),A2(a,0),名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不
18、学就殆就直线 A1A 的方程为 yx 1a(xa), y1y 1直线 A2B 的方程为 yx1a( xa). 由 得 y 2xy2 1 a 212(x 2a 2). 2 2 2 2 2由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故x a 12yb 121. 从而 y 2 1 b 2 1xa 2 ,代入 得 1 xa 2yb 21(x a,y0).2 2 2 2(2)证明: 设 A(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 ABCD的面积相等,得 4|x1|y1|4|x2|y2|,故 x 1y 1x 2y 2.2 2由于点 A,A 均在椭圆上, 所以 b 2x 21 1xa 2 b 12x 22 1x
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