2022年行列式的计算方法整理 .pdf

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1、谈谈行列式的计算方法学校: 襄樊学院系别: 数 学 系专业: 数学教育班级: 0 3 2 1姓名: 周洋 学号: 03278110 指导老师:吕黎 明【内容摘要 】：行列式的计算方法多种多样，最常见的有以下8 种 1. 定义法 2.按照行列式的性质将其化成上三角（下三角或反三角）法 3.按照一行（列）展开公式法 4.应用公式法 5.应用行列式乘法原理 6.递推公式法 7.分离线性因子法 8.加边法计算一般行列式的一般步骤为根据行列式的结构选用以上8 种方法进行变换，从而计算出该行列式【关键 词】 ：行列式展开式上三角计算方法 Content abstract : Determinant com

2、putational method many and varied, most common has following 8 kinds 1.Definition law 2.Turns into according to the determinant nature it on the triangle (next triangle or counter- triangle) the law 3.(Row) launches the formula law according to a line 4.Application formula law 5.Application multipli

3、cation of determinants principle 6.Recurrence formula law 7.Separation linearity because of derived law 8.Nearby Canada method the computation general determinant general step for selects above 8 methods according to the determinant structure to carry on the transformation, thus calculates this dete

4、rminant Key word : In determinant expansion triangle computational method 【前言 】无论是高等数学领域里的高深理论, 还是现实生活里的实际问题,都或多或少的与行列式有着直接或间接的联系. 如: 1)线性方程组1111221331121122223322311322333112233.nnnnnnnnnnnnnnna xa xa xa xba xa xaxaxba xa xa xa xba xa xaxa xb+=?+=?+=?+=?是否有解 ?解的形式是什么样的? 2)现测得某一地区水银密度h 与温度 t 的关系为 :

5、h=a0+a1t+a2t2+a3t3并由实验测定得以下数据: 0 10 20 301 3.601 3.571 3.351 3.52ht|现预测 :t=15 40时的水银密度, 该怎样预测 ? 3) 某公司一电路图网络( 如下图所示), 每条线上标出的数字是电阻, E点接地 , 由X,Y,U,Z四点通 入电 流,强度皆为100A(安培),这四点的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 11/21/31/41/51/61/

6、71/8Ezxyu电位该怎样得知? 4)自然生态中要预知一个物种的存活期, 繁衍期 , 该怎样预测呢? 当然 , 除了以上问题外, 还有许多问题都与行列式紧密相连, 甚至有些问题依赖于行列式来解决 . 这些问题的研究, 归根结底也就是行列式某些方面的研究, 甚至于有些性质完全不同 , 看起来毫无边际的问题, 归纳成行列式问题后却又似乎是相同的, 这一切使得行列式成为高等数学领域中的一个极其重要的部分, 也促使着行列式成为高等代数特别是线性代数的一个重要研究对象. 国际上一些知名的数学家如: 克兰姆 (cramer),拉普拉斯(laplace),范得蒙 (vandermonde) 等都对行列式有

7、着深入的研究, 并为行列式的计算奠定了理论基础. 随着社会的发展, 行列式的作用将变得越来越明显. 因此 , 我认为为了适应现今社会, 我们有必要对行列式的计算方法进行研究. 【研究的主要内容】: 行列式的计算方法. 行列( 特殊性 ) 而迥异 . 许多文献资料上也都记载着各式各样的方法. 经本人归纳 : 大致可以分为以下八种方法:、定义法 ;、按照行列式的性质化成上三角( 下三角或反三角) 法;按照一行 ( 列) 展开公式法 ;运用公式法 ;运用行列式的乘法原理;递推公式法 ;分离线性因子法;加边法 . 定义法在引进行列式的定义之前, 为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念

8、 . (1) 级排列 : 由 1,2.3 组成的一个有序数组称为一个级排列. (2) 在一个排列中 , 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即: 前面的数大于后面的数 , 那么它们就称为一个逆序, 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列. 在做好这些工作之后, 来引入行列式的定义: 定义 :n 阶行列式111213121222323132333123.nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 . a1j1a2j2a3j3anjn 的代数和 , 这里j1,j2,j3, j

9、n 为 1,2,3,n 的一个排列 , 每一项 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 都按下列规则带有符号, 当j1,j2,j3, jn 是偶排列时, 带有正号 , 当j1,j2,j3, jn 是奇排列时 , 带有负号 . 即 :111213121222323132333123.nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa =12.njjj?(-1)t(j1j2jn) a1j1a2j2a3j3anjn 这里 t(

10、j1j2jn) 为 j1j2 jn 的逆序数 . 例 1: 计算行列式 : 523412264解: 由行列式的定义知: 523412264=(-1)t(123)5 1 4+(-1)t(132)5 2 6+(-1)t(213)2 4 4+(-1)t(231)2 2 3+(-1)t(312)3 46+(-1)t(321)313=20-60-32+12+72-9=3 例 2 计算100.0020.0003.0.000.n解: 由行列式的定义知: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

11、第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 100.0020.0003.0.000.n=12.njjj?(-1)t(j1j2jn) a1j1a2j2a3j3anjn =(-1) t(j1j2 jn)123 n=(-1)0n！=n！. 由以上两个例子可以看出, 若计算阶数较低( 不超过三阶 ) 的行列式及上三角( 下三角 ) 行列式运用定义法较为简单, 但若是高阶非上( 下) 三角型的行列式按定义法计算比较繁琐. 因此 ,我们必须寻求其它的，让计算变得简洁的计算方法. . 按照行列式的性质将行列式化成上三角( 下三角或反三角) 法. 运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,

12、 大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质 , 将行列式化成上三角( 下三角或反三角) 的形式 , 再根据行列式的定义来计算行列式. ( 行列式的性质见参考文献). 行列式的性质告诉了我们该如何求行列式, 而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换 ( 列变换 ), 变成阶梯形 (上三角 ) 的行列式 , 再根据定义计算即可. 其计算步骤可归纳如下: ( ) 看行列式的行和( 列和 ), 如果行列和相等, 则均加到某一列( 行) 【直观上加到第一列( 行) 】. ( ) 有公因子的提出公因子. ( ) 进行初等行变换( 列变换 ) 化成上三角 ( 下三角或反三角) 的行列式 . ( ) 由

13、行列式的定义进行计算. 由以上四步 , 计算一般行列式都简洁多了. 例 3: 计算行列式1234234134124123解 显而易见 , 该行列式的行和相等, 知: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1234342341103413412104124123101231234123413410141201123犏犏犏犏犏犏犏臌102=113=10=102-2-20-1-1-11234011300440004-=10

14、=160例 4: 求行列式 : 1232341.12nnnd =- 1解: 由此行列式的结构, 不难看出 , 其行和相等 . 故.创创创?n(n +1)23n?n(n +1)341d =.?n(n +1)12n - 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - =231341.1121nn创-1?n(n + 1)(1(1).2 )2(1)(2)2123.1011.11000.(1).200.000.0(1)123.1201

15、1.11(1)000.02.00.0000.00(1)(1)1(1)()2(1)(1)(1)2tnnnnnnnnnnnn nnnnnn nnn nnnnn nnn n-+=-+-+-=-+=?创-?+=?12(1)121(1)2nn nnnnn-+=-创应用一行 (列)展开公式 : 对于一般的行列式应用其性质进行计算较为方便,但对于某些行列式而言,却有更简单的方法应用一行 (列)展开公式 . 应用一行 (列)展开应遵循以下原则: 1.n 阶行列式ijAa=的某一行 （列）的元素与另外一行列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于0. 2.n 阶行列式ijAa=的某一行（列）的元素与其代数余子式的乘

16、积之和等于A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 即: 1122112211221122()()()()ikikinknjljlnjnlikikinknjljlnjnla Aa Aa Aoika Aa Aa Aojla Aa Aa AAika Aa Aa AAjl+=?+=? ?+=?+=? ?例 5:计算行列式 : 12305201010D =-解:现将 D 由第一列展开 ,得112 13100DAAA=?1152

17、1(1)301010+=?-例 6,计算 n 阶行列式 : 1100001100.10001解:由按照某一行 (列)展开式得 : 原行列式11211 , 111001nnAAAA-=?+?111111001000010011001(1 )1(1 ).0011001100011(1 )nn+=?=+-显然对比用行列式的性质,按照某一行 (列)展开显得更加方便,更加优化 . .运用公式法1.范得蒙行列式在行列式的计算中,我们经常会碰到这样一种行列式. 123122222311111231111.nnnnnnnaaaaDaaaaaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

18、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1()jiijnaa(此行列式的证明方法详见参考文献) .例 7:计算行列式 : 222244441111abcdabcdabcd解:观察发现 :此行列式类似于范得蒙行列式为了得到一个范得蒙行列式,现添加 a3,b3,c3,d3设22222333334444411111()abcdxd xabcdxabcdxabcdx显然222244441111abcdabcdabcd为x3的余子式 .即 x3的系数的相反数. 由.范得蒙行列式知: dxba

19、cadacbdbdcxaxbxcxd所以 , x3的系数为abcdbacadacbdbdc故原行列式等于abcdbacadacbdbdc例 8:计算行列式 : 0102011121111210.nnnnnniikikkfxfxfxfxfxfxdfxfxfxfixa x其 中解; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 111121 ,0111 ,0111 ,01100000010 111102111011.nnnnnn

20、nnnnnnnaaaaxaaxaaxnadaxaaxaaxa122220010201,01211112111.nnnnnnnxxxaaaaxxxxxx依 次 提 取 公 因 子 ， 得01nkjikoijnaxx利用 .范得蒙行列式进行计算,首先应注意观察行列式的结构,并利用行列式的性质将其向.范得蒙行列式转化,进而进行计算 . 2.拉普拉斯定理. 在利用行列式的一行(列) 展开式时 ,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开 ,进行计算行列式 .试想 ,我们可以根据行列式的某一个K 级字式展开吗? 拉普拉斯经过对行列式的研究 .终于发现此种方法可行,并给出了严密的证明,为了使行列式的计算

21、更为简洁,现引入拉普拉斯定理 . 拉普拉斯定理 :设在行列式D 中任意取定了k11kn个行 ,由这 k 行元素所组成的一切 K 级字式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D. 例 9:计算以下2n 阶行列式 . 11111112212100001001000.0100nnnnnnnxxyydxxyy解:将行列式的1,3,5 2n-1 行以及1,3,5 2n-1 列合拢在行列式的左上角. 将行列式的2,4,6 2n 行以及 2,4,6 2n 列合拢在行列式的右下角. 组合成新的行列式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

22、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1111221111122110001000.100000010001.0001nnnnnnnnnnxxxxxxyyyyyy则根据拉普拉斯定理得: 该行列式为 : 121222222212121111111212111111.nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx再由范得蒙行列式知: 此行列式11jiqmijnmqnxxxx21jiijnxx例 10:求行列式2000000000000.000000nabbaabdbaabba解:由拉普拉斯定理,知ab ababd

23、ba baba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 22nnababba行列式的乘法原理.行列式的乘法原理.:对任意两个同阶矩阵A,B,都有ABAB,大家都知道 ,对于矩阵的乘法已是非常麻烦了.尤其是对高阶矩阵而言,其难度越明显.若按照常规办法,先计算 AB再计算AB,显然过于烦琐 .直接应用行列式的原理,就显得方便简洁.同样 ,如果 D=AB, 其中 A,B为同阶方阵 ,则ABAB,从而达到优化计算的目的,应用行

24、列式的乘法原理,主要是会将一个方阵拆成两个易计算行列式的同阶方阵,使矩阵的行列式计算简洁化. 例 11 设122,0,1, 2,;,1,2, 3,.kkkkni jiji jsxxxkasijna求解：01112122.nnnnnssssssaijsss111122111112222111.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx1111122211111211111.1nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx由行列式的乘法原理：1111122211111211111.1.1nnni jnnnnnnnxxxxxxxaxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢

25、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2()()()jijiijijjiijxxxxxx六 。递推公式法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列） 展开， 会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值。运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式。若1nnDpD时，则11nnDpD若1122nnnDA DA D

26、时，则111 122nnnDA tA t（其中A1， A2为待定系数）的计算过程显然易见，而中却出现了两个未知数，t1,t2, 这两个未知数可以通过2120 xA xA的两根来确定。例 12：计算 5 阶行列式：5100011000110001100011aaaaDaaaaa解：把 2，3， 4，5 行都加到第一行，得5000111000110001100011aaaDaaaaa再按第一行展开，得递推公式541DaD故：25432232234511(1)1(1)1()1DaDaaDaaaDaaaaaaaaaa用递推公式法计算行列式，逻辑性较强， 其适用于计算那些有一定规律但却十分费解的行列式。

27、七 分离线性因子法因行列式的结果其实就是一个数，若其中含有字母或是未知数，也就是一个多项式，而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 多项式与方程则是紧密相连的。以下来介绍用方程的解的方法来计算行列式分离线性因子法。总体说来， 分离线性因子法是利用行列式的性质，先确定行列式中未知数的值，使得行列式等于 0，将所有这样的数找出来，从而计算行列式。理 13：计算行列式0000 xyzxzydyzxzyx解：显然不难看出0

28、0000000 xyzxzyxzyxyzdyzxzyxzyxyzx将 d 看成一个关于x 的多项式，则由行列式的性质：1，4 行加在一起，得公因式x+y+z 2, + 得公因式x-(y+z) 3 - + 得公因式x-y-z 4, + - + 得公因式x+y-z （其中，分别表示一，二，三，四行）故，有：dxyzxyzxyzxyz这一种方法适合于行列式中含有未知数（字母），并可根据行列式可事先预测未知数（字母的次数。当然，计算这一类行列式，运用此方法较为直观。八加边法。计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的。更有利于将行

29、列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定。具有随意性。例 15：计算行列式：121212313231200.0nnnnnnnnaaaaaaaadaaaaaaaaaa解：在不改变行列式的值的情况下，将行列式家一行，一列。得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1212121212(1)(1)10000.00nnnnnnnnaaaaaaadaaaaaaaa12111222(1)(1)111.1

30、nnnnnnaaaaaaaaaaaa1111222210000111.1nnnnnaaaaaaaaaaa1211222101110112001020.1002nnnnaaaaaaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 11212111002221()100220020.0000nnnnaanaaaa1111110002421100220020.0002nnjijinjjnaannnaaa1111(1)(1)(2

31、)2422nnjnijnikkaannan行列式的计算方法最常见的便是以上8 种， 但有时也因其结构不同而有其他类型的解法（如：三对角线行列式的解法）这里就不一一列举了。以上计算行列式的基本方法奠定了高等数学的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据，总而言之，其具有实质上的研究价值。【参考文献 】. 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数北京 : 高等教育出版社（第二版） 1987 51 -103 2 熊廷煌高等代数简明教程湖北教育出版社(第一版 ) 1987 83 113 3 阎满富高等代数习题汇编与解答天津人民出版社1994 37 78 4 张禾瑞 . 郝

32、炳新高等代数北京: 高等教育出版社（第四版）1999 103-140 5 王品超高等代数新办法山东教育出版社1989 45 - 46 6 许甫华张贤科高等代数解题方法请华大学出版社2001 年 9 月第一版36 - 63 7 钱吉森高等代数题解精粹中央民族大学出版社2002 年 10 月第一版22 - 56 8 宣飞红线性代数厦门大学出版社2003 年 7 月第一版1-35 9 钱芳华黎有高卜淑云邓培民高等代数习题课教材广西师范大学出版社1997 年2 月第一版 77-106 10 李启文谢季坚线性代数理论与解题方法湖南大学出版社2001 年 3 月4-6 11许仲线性代数典型题分析解集西北工业大学出版社2000 年 3 月,31-55 12 陈公宁沈嘉骥计算方法导引北京师范大学出版社2000 年 1 月修订版84-86 13 潘宴仲李洪军高等代数与几何西安交通大学出版社1999 年 10 第一版88-114 14 王萼芳高等代数教程习题集清华大学出版社1997.5 月第一版1-36 15 张远达线性代数原理上海教育出版社1980.8 月第一版1-44 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -