北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 章末复习练习.doc

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1、第一章特殊的平行四边形 章末复习 变式讲练1：以菱形为背景的证明例1 已知：如图1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点求证：四边形 EFGH 是菱形(P7页第2题) 题意探析：以菱形为已知，菱形的性质一定是解题的依据之一；生成中位线，三角形中位线定理一定也是解题的得力知识源，菱形作结论，菱形的判定定理自然是证明中条件完备的目标，只要满足其一，结论自然得证.解法直播：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA，因为点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，所以EF,FG,GH,HE分别

2、是OAB,OBC,OCD,ODA的中位线，所以EF=AB,FG=BC,GH=CD,EH=DA,因为AB=BC=CD=DA，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形EFGH是菱形.点拨与提升：习题往往具有典型性，本题就具有这样的潜质，当变换中点的位置，中点的个数将会别有洞天，有意想不到的收获，变式学习法也正是数学学习的最有效方法之一.变式1：已知：如图2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F，G，H 分别是 OD，AB，OB，CD 的中点试猜想四边形 EFGH 的形状，并证明分析：遇到中点的连线，首先考虑是否满足三角形的中位线定理，这是解题的一个主要解题方向.解：

3、四边形EFGH是平行四边形.理由如下：因为点 E，F，G，H 分别是 OD，AB，OB，CD 的中点，所以EH,GF分别是三角形DOC和三角形AOB的中位线，所以EHOC,EH=OC,FGOA,FG=OA,因为四边形ABCD是菱形，所以OC=OA,所以EH=FG,EHFG,所以四边形EFGH是平行四边形.点拨与提升：四边形中，遇到中点，首先考虑三角形的中位线定理，其次，思考直角三角形斜边上的中线性质定理，最后可以考虑构造上述性质和定理解题，这都是解题思考的主要方向.变式2：已知：如图3，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F，G，H 分别是 OD，OA，OC，C

4、D 的中点(1)试猜想四边形 EFGH 的形状，并证明;(2)设四边形EFGH的面积为，菱形ABCD的面积为,求：的值分析：判定四边形的形状时，除了平行四边形，矩形，菱形，正方形外，也要思考一下特殊的梯形，如直角梯形，等腰梯形.解：（1） 四边形 EFGH 是直角梯形；理由如下：因为点 E，F，G，H 分别是 OD，OA，OC，CD 的中点，所以EH,EF,HG分别是三角形DOC,三角形AOD和三角形DOC的中位线，所以EHFG,EFAD,GHOD,因为EF与OD交于点E，所以EF与GH一定相交，因为四边形ABCD是菱形，所以ODOC，所以GHGF，所以四边形EFGH是直角梯形；（2） 设AC

5、=4a,BD=4b，则=8ab， =ab，所以：=ab：8ab，=3:16.点拨与提升：变式中点的位置，中点连接的方式，将会得到不同的背景，不同的命题，产生不同的结论，这也是数学创新学习的一种非常有效的学习方法，要多加练习.变式训练1. （2019湖北十堰）如图4，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE=3，则菱形的周长为 答案:24.提示：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以AB=BC=CD=AD，BO=DO， 因为点 E 是 BC 的中点， 所以OE 是BCD 的中位线， 所以CD=2OE=23=6， 所以菱形 ABCD 的周长=46=24.

6、2.如图5所示，菱形中，对角线，相交于点，为边中点，菱形的周长为48，则的长等于 答案:6.提示：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以AB=BC=CD=AD=12， 因为点 H 是 AD 的中点， 所以OH是ACD 的中位线， 所以CD=2OH,所以OH=6.3. 已知：如图6，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点试猜想四边形 EFGH 的形状，并证明答案:四边形EFGH是矩形.理由如下：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA，因为点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，所以EF,

7、FG,GH,HE分别是ABD,ABC,BCD,CDA的中位线，所以EF=BD,FG=AC,GH=BD,EH=AC,因为AB=BC=CD=DA，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形EFGH是菱形.因为四边形ABCD是菱形，所以ODOC，所以GHEH，所以EHG=90，所以四边形EFGH是矩形. 变式讲练2：矩形与菱形的综合例2 已知：如图7，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P求证：四边形 CODP 是菱形(北师九P28页第11题)分析:起点四边形是矩形,且切入点是矩形的对角线,因此解题要优先思

8、考矩形的对角线的性质,牵线的条件是平行线,因此解答时要考虑平行线性质得作用,结论是菱形,所以解答时解题的思路是菱形的判定定理.解:因为四边形ABCD的矩形,所以OD=OC.因为ODCP,PDOC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为OD=OC,所以四边形OCPD为菱形.点拨与提升:解答时,要牢牢把握三个重要要素,一是起点四边形的形状与性质特点;二是把已知与结论建立起来的条件,三是结论四边形的判定方法.解答时,要立足结论,合理选择,科学梳理,规范推理,最终实现目标.此题也可以做如下的变式思考,将已知与结论对换,成立吗?变式1: 已知：如图8，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点

9、 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P求证：四边形 OCPD 是矩形分析:菱形的对角线互相垂直为矩形的证明提供了直角.证明: 因为四边形ABCD的菱形,所以ODOC，所以DOC=90，因为ODCP,PDOC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为DOC=90，所以四边形OCPD为矩形.点播与提升：解答时，基本思路是 平行线构筑四边形是平行四边形；菱形的对角线互相垂直，为结论提供直角，实现目标.变式2 已知：如图9，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P求

10、证：四边形 OCPD 是正方形分析:正方形的对角线互相垂直，平分且相等是证明结论的根本依据.证明: 因为四边形ABCD的正方形,所以ODOC，所以DOC=90，因为ODCP,PDOC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为DOC=90，所以四边形OCPD为矩形，因为四边形ABCD是正方形，所以OD=OC，所以四边形ABCD是正方形.点播与提升：解答时，基本思路是 平行线构筑四边形是平行四边形；正方形的对角线互相垂直，升级四边形为矩形，利用正方形的对角线相等，平分，最终实现目标.变式训练：1.已知：如图10，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，

11、过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P，若AB=6，BC=8，则四边形 CODP的面积是 答案:24.理由如下：易证四边形OCPD是菱形，四边形OPCB是平行四边形，因此OP=BC=8，所以四边形 CODP的面积是：12CDPO=1268=24.2. 已知：如图11，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P设四边形OCPD的面积为，菱形ABCD的面积为,求：的值解：根据题意，易证四边形OCPD是矩形，所以四边形OCPD的面积=ODOC，因为四边形ABCD是菱形，所以OD=12BD ,OC=1

12、2AC，所以四边形OCPD的面积=14BDAC；菱形 ABCD的面积=12BDAC.所以：=14BDAC：12BDAC=1:23. 已知：如图12，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P，若四边形 OCPD 的周长是42，求正方形ABCD的周长 解：易证四边形OCPD是正方形，所以正方形OCPD的周长为4OD，所以OD=2，因为四边形ABCD是正方形，所以BD=OD=22，因为BD=2CD,所以CD=2，所以正方形ABCD的周长为4CD=8. 专题复习： 专题一 正方形中一个重要结论及其应用正方

13、形是一种特殊的四边形，也是最熟悉的四边形之一，其自身独有的特点，绽放出无穷的魅力，紧紧抓住了命题人的心，牢牢吸住了数学人的魂，今天就向同学们介绍正方形的一个重要结论及其应用.重要结论（2018年吉林）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF.求证：ABEBCF 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，ABE=BCF=90，在ABE和BCF中，,所以ABEBCF谈谈结论的解题运用.1.探求角的度数例1 （2018年湘潭）如图2，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O（1）求证：DAFABE； （2）求AOD的度数 分析：（1）利用正方形的性质得

14、出AD=AB，DAB=ABC=90，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出ADF=BAE，进而求出ADF+DAO=90，最后用三角形的内角和定理即可得出结论解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以DAB=ABC=90，AD=AB，在DAF和ABE中，所以DAFABE（SAS），（2）由（1）知，DAFABE，所以ADF=BAE，因为ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90，所以AOD=180（ADF+DAO）=90点评：（2）中的结论也可以改成如下：试判断AE和DF的位置关系？证明你的猜想.2.探求三角形的周长例2 （2018年台州）如图3，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F

15、分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则BCG的周长为 分析：根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的，进而依据BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长解：因为阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，所以阴影部分的面积为9=6，所以空白部分的面积为96=3，由CE=DF，BC=CD，BCE=CDF=90，可得BCECDF，所以，所以BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，且为3=，设BG=a，CG=b，则ab=，因为，所以，即，所以a+b=即BG+CG=，所以BCG的周长=+3，所以应该填：

16、 +3点评：利用全等三角形的面积相等证明两个空白图形的面积相等时解题的关键.将三角形BCF沿着BC平移，使点B平移到点E，结论仍然成立，利用新结论可以解决新问题.3.探求结论的猜想例3 （2018年北京）如图4，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证:GF=GC； (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明. 分析：过点H作HMAB，交AB的延长线于点M，利用ADEMEH可以实现结论的猜想.解：(1) 证明：连接DF，由点A关于直

17、线DE的对称点为F，得DA=DF，A=DFE=90，根据正方形的性质，得DC=DA=DF，C=DFG=90，DG=DG，所以DGFDCG，所以GF=GC；(2) BH与AE的数量关系为BH=AE.理由如下：过点H作HMAB，交AB的延长线于点M，根据（1）得 ADE=FDE，CDG=FDG，所以EDG=45，因为EHDE，所以EHD=45，所以ED=EH，因为HEM+AED=90，ADE+AED=90，所以ADE=HEM，因为A=M=90，所以ADEMEH，所以AE=HM,AD=EM，所以AB=EM，所以AE=BM，在直角三角形BHM中，根据勾股定理得，AB=AE.点评：新结论的意义更大，更有

18、价值，更要重视和掌握.针对性练习：1. 如图5，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M、N，则图中的全等三角形共有 （）A2对 B3对 C4对 D5对 答案:C解：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD=CB=AD，A=C=ABC=ADC=90，ADBC，在ABD和BCD中，,所以ABDBCD，因为ADBC，所以MDO=MBO，在MOD和MOB中，,所以MDOMBO，同理可证NODNOB，所以MONMON，所以全等三角形一共有4对所以选C2. （2019湖南长沙）如图6，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD

19、，CD 上，且 DE=CF，AF 与 BE 相交于点 G（1）求证：BE=AF；（2）若 AB=4，DE=1，求 AG 的长答案:（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BAE=ADF=90，AB=AD=CD，因为DE=CF，所以AE=DF，所以BAEADF（SAS），所以BE=AF；（2）解：由（1）得：BAEADF，所以EBA=FAD，所以GAE+AEG=90，所以AGE=90，因为AB=4，DE=1，所以AE=3，所以BE=5，在RtABE中，ABAE=BEAG，所以AG=3(2019年连云港)问题情境：如图7，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一

20、条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上，如图8，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数； 解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB=EC；理由如下：因为四边形ABCD是正方形，所以ABE=BCD=90，AB=BC=CD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图所示：所以四边形MBFN为平行四边形，所以NF=MB，所以BFAE，所以BGE90，所以CBF+AEB=90，因为BAE+AEB=90，所以CBF=BAE，所以AB

21、EBCF（ASA），所以BE=CF，因为DN+NF+CF=BE+EC，所以DN+MB=EC；问题探究：如图，连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图所示：因为四边形ABCD是正方形，所以四边形ABIH为矩形，所以HIAD，HIBC，HI=AB=AD，因为BD是正方形ABCD的对角线，所以BDA=45，所以DHQ是等腰直角三角形，HD=HQ，AH=QI，因为MN是AE的垂直平分线，所以AQ=QE，所以RtAHQRtQIE（HL），所以AQH=QEI，所以AQH+EQI=90，所以AQE=90，所以AQE是等腰直角三角形，所以EAQ=AEQ=45，即AEF=45.专题二 矩形衍

22、生的一个重要结论及其应用学习矩形后，矩形衍生出了一个非常重要的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个结论在遇到直角三角形时就显得应用力十足1联手中点，证垂直例1 已知：如图1所示，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，E，F分别是AC，BD的中点.求证：EFBD分析： 点E是直角三角形ADC斜边的中点，只需连接DE，就构造出了斜边上的中线，这样就可以用推论了同样连接BE，也可以用推论了证明：如图1所示，连接DE、BE，在直角三角形ADC中，因为点E是斜边AC的中点，所以DE是斜边AC的中线，根据推论得：AC=2DE；在直角三角形ABC中，因为点E是斜边AC的中点，所以BE是斜边AC

23、的中线，根据推论得：AC=2BE；所以DE=BE，所以三角形BDE是等腰三角形,因为点F是底边BD的中点，所以EF是底边BD的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，得：EFBD2联手中位线，定形状例2 如图2所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形分析： 由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FGBC，FEAC，FE=12AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=12AC，所以EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了证明：因为点E、F、G分别是BC

24、、AB、AC的中点，所以FGBC ，FEAC，FE=12AC，所以FGED，因为FEAC，DG与AC是相交的，所以，DG与EF也是相交的，所以四边形EFGD是梯形，因为AD是三角形的高，所以三角形ADC是直角三角形，因为DG是斜边上的中线，因此DG=12AC，所以DG=EF,所以梯形EFGD是等腰梯形3、联手倍角，证倍线例3 如图3所示，在三角形ABC中，B=2C，DAAC，垂足为A，交BC于点D，求证：CD=2AB分析： 直角的存在，让我们联想很多：勾股定理，斜边上的中线等等勾股定理看来用处不是很大，斜边上的中线，条件又不足，这就引导着我们去作辅助线，构造出斜边上的中线证明：如图3所示，取D

25、C的中点E，连接AE，则AE是三角形ADC的中线，又因为DAAC，所以三角形ADC是直角三角形,所以AE为斜边DC的中线，所以DC=2AE=2EC因为AE=EC，所以EAC=C，因为AED是三角形ADC的一个外角，所以AED=EAC+C，因为EAC=C，所以AED =2C因为B=2C，所以AED=B，所以AB=AE，所以CD=2AB4、联手正方形，求线段长例4 如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 分析： 连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACD=GCF=45，可以确定ACF=90，利用勾股定理求出AF，根据直角

26、三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可解：如图3，连接AC、CF，因为正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，所以AC=，CF=3，ACD=GCF=45，所以ACF=90，由勾股定理得，AF=2，因为H是AF的中点，所以CH=AF=2=变式训练练习：1.如图5，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFAC，分别交AB,DC与点E,F，点G是AE的中点，若AOG=30.求证：DC=3OG.证明：因为EFAC，所以AOE=90，因为点G是AE的中点，所以OG=AG=GE，因为AOG=30，所以A=30，所以AE=20E=2OG. 易证OE=OF，连接AF，则AE=AF=CF，AF是

27、DAO的角平分线，因为矩形ABCD，则DFAD,FOAO，所以DF=OF，所以CD=CF+DF=AE+OE=3OG.2.如图6，四边形ABCD中，DAB=DCB =90，点E、F分别是BD,AC的中点，EF与AC的位置关系如何？证明你的猜想.EF与AC的位置关系为：EFAC.理由如下：如图，连接EA,EC，因为DAB=DCB =90，点E、F分别是BD,AC的中点，所以EA=EC=12EF，因为AF=CF，所以EFAC.3. （2019甘肃）如图7，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G（1）证明：ADGDCE；（2）连接BF，求证AB=BF.证明：（1）因为四边形ABCD是正方形，ADF+EDC=90，因为AGED，所以ADF+DAF=90，所以EDC=DAF,因为ADG=DCE,AD=DC，所以ADGDCE；（2）如图，延长AB，DE，二线交于点H，因为ABCD，所以EBH=ECD, 因为BEH=CED,BE=CE，所以BEHCED，所以BH=CD，所以AB=BH，因为AFH=90，所以BF=AB.