2022年集合与函数概念知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章集合与函数概念学习必备欢迎下载一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元素；2 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的 元素是否一样,不需考查排列次序是否一样；4 集合元素的三

2、个特性使集合本身具有了确定性和整体性；3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法和自然语言法；留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“ 属于” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反, a 不属于集合A 记作a.A列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；名师归纳总结 -

3、 - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载用确定的条描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；件表示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是 x.R| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合例： x|x2= 52无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “ 包含” 关系子集留意：有两种可能（ 1）A 是 B的一部分,；（2）A 与 B是同一集合；反之

4、 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A, 记作 A B 或 B A 2“ 相等” 关系 5 5,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B的元素,同时 , 集合 B的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即： A=B 任何一个集合是它本身的子集；A A真子集 : 假如 A B,且A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B 或 B A 假如 A B, B C , 那么A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3.

5、 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、集合的运算1交集的定义：一般地,由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集记作 AB读作” A 交 B” ,即 AB=x|x A,且 x B2、并集的定义：一般地,由全部属于集合 A 或属于集合 B的元素所组成的集合,叫做 A,B的并集；记作：AB读作” A 并 B” ,即 A B=x|x A,或 xB3、交集与并集的性质： AA = A,

6、A A = A ,A B = B A. 4、全集与补集 = , A B = B A, A A = A, （1）补集：设S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集 A 的补集（或余集）二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f ：AB 为从集合A到集合 B的一个函数记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数

7、值的集合 fx| xA 叫做函数的值域留意： 2 假如只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；定义域补充3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零；构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）名师归纳总结 - - - - - -

8、-第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；（3）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样 两点必需同时具备 3. 函数图象学问归纳1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , xA中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px ,y 的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象C上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系 y=fx,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 x , y ,均在 C上 . 即记为 C= P

9、x,y | y= fx , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成；3 作用：1、直观的看出函数的性质；发觉解题中的错误；4明白区间的概念2、利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必需注明函数的定义域；3 图象法： 描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；有代表性,应能

10、反映定义域的特点解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值5函数单调性（1）增函数4 列表法：选取的自变量要名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设函数 y=fx的定义域为学习必备欢迎下载D内的任意两个自变量x1,I ,假如对于定义域I 内的某个区间x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2,那么就说 fx在区间 D上是增函数； 区间 D称为 y=fx的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么就说

11、fx 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调减区间 . 留意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2；当 x1x2 时,总有 fx1fx2 ；（2） 图象的特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3. 函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法：1 任取 x1,x2 D,且 x1x2；2 作差 fx1 fx2 ； 3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差

12、fx1 fx2 的正负）； 5 下结论（指出函数fx 在给定的区间D上的单调性）B 图象法 从图象上看升降 _ 留意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 2 、仍记得我们在选修里学习简洁易行的导数法判定单调性吗？8函数的奇偶性（1）偶函数一般地, 对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函数（2）奇函数一般地, 对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx ,那么 fx就叫做奇函数名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - -

13、学习必备 欢迎下载留意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性 , 也可能既是奇函数又是偶函数；2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数 . 如对称, 1 再依据定义判定 ; 2 有时判定f- x= fx 比较困难, 可考虑依据是否有 f

14、- x fx=0 或 fx/f-x= 1 来判定 ; 3利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域. （2）. 求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等,假如已知函数解析式的构造时,可用待定系数法；已知复合函数fgx的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范畴；当已知表达式较简洁时,也可用凑配法；如已知抽象函数表达式,就常用解方程组消参的方法求出 fx 10函数最大（小）值1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）名师归纳总结 值 3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a ,b 上单调递第 6 页,共 6 页增,在区间 b ,c 上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值fb ；假如函数y=fx在区间a ,b 上单调递减,在区间b , c 上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值fb ；- - - - - - -