2022年非线性泛函分析试题与答案 .pdf

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1、一. 名词解释弱收敛，弱 *收敛，,0()k pW，强制， Gateaux 可微， Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2C映射的 Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder 度二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h方向的 G-微分21212221212,(,)(0,0)( )0,(,)(0,0)x xx xf xxxx x四. 证明 Poincare 不等式：存在常数0C使得对任意1,| ,(0,)ppnTuWu u uLTR，有1,pTWuC u五. 设nR是有界闭集，( , ,

2、)k x y u是2R上的连续函数，证明积分算子:()(), ()( )( , , ( )KCCKxk x yy dy是全连续算子。六. 设X是 Banach 空间，:0,)fXX连续，对固定的0,)t，( , )f t x关于x是局部 Lipschitz 的，并且 Lipschitz 常数对t在有界区间0,上一致有界，证明：存在0，使得下列初值问题在区间0,上有唯一解0( , )(0)dxf t xdtxx七. 证明 Gronwall 不等式： 设, ,u v w是 , a b上的实函数， 其中u非负且在 , a b上 Lebesgue 可积，v在 , a b上绝对连续，w在 , a b上连

3、续，若它们满足( )( )( ) ( ),taw tv tu s w s dsatb则( )( )exp( )exp( )tttaasdvw tv au s dsuddsds八. 证明 Brouwer 度的切除性、 Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。九 . 设:nnfRRR连 续 ， 关 于x是 局 部Lipschitz 的 ， 关 于t是T周 期 的 ， 若 存 在 球(0)nrBR使 得(0),0,rxBtT时，1( , ),( , )0niiif t xxf t x x，证明下列初值问题存在T周期解0( , )

4、(0)dxf t xdtxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 十. 设nR是有界闭集，( , , )k x y u是2R上的连续函数，并且满足下面的不等式2| ( , , )|,( , , )k x y uab ux y uR其中,0,()1a bb mes，证明下列积分方程有连续解( )( ,( )xk x yy dy十一 . 设22:fRR定义为3223( , )(3,3)f x yxxyx yy证明2deg

5、( ,(0), )3f Bp，其中(1,0)p. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 一. 名词解释弱收敛 : 弱*收敛: ,0()k pW: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 强制: Gateaux 可微 : Frechet 可微

6、: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 紧映射 : 正则点 : 临界点，正则值，临界值: 2C映射的 Brouwer 度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 全连续场全连续场的Leray-Schauder度名师资料总结 - - -精品资料

7、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。（ 5 页）三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h方向的 G-微分21212221212,(,)(0,0)( )0,(,)(0,0)x xx xf xxxx x四. 证明 Poincare 不等式：存在常数0C使得对任意1,| ,(0,)ppnTuWu u uLTR，有1,pTWuC u名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

8、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 五. 设nR是有界闭集，( , , )k x y u是2R上的连续函数，证明积分算子:()(), ()( )( , , ( )KCCKxk x yy dy是全连续算子。(44 页) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 六. 设X是 Banach 空间，:0,)fXX连

9、续，对固定的0,)t，( , )f t x关于x是局部 Lipschitz 的，并且 Lipschitz 常数对t在有界区间0,上一致有界，证明：存在0，使得下列初值问题在区间0,上有唯一解0( , )(0)dxf t xdtxx（59 页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

10、- - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 七. 证明 Gronwall 不等式： 设, ,u v w是 , a b上的实函数， 其中u非负且在 , a b上 Lebesgue 可积，v在 , a b上绝对连续，w在 , a b上连续，若它们满足（61 页）( )( )( ) ( ),taw tv tu s w s dsatb则( )( )exp( )exp( )tttaasdvw tv au s dsuddsds名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

11、 - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 八. 证明 Brouwer 度的切除性、 Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。（ 83 页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 九 . 设:nnfRRR连 续 ， 关 于x是 局 部Lipschitz 的 ， 关 于t是T周 期 的 ， 若 存 在 球(0)nrBR

12、使 得(0),0,rxBtT时，1( , ),( , )0niiif t xxft x x，证明下列初值问题存在T周期解（ 91 页）0( , )(0)dxf t xdtxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 十. 设nR是有界闭集，( , , )k x y u是2R上的连续函数，并且满足下面的不等式2| ( , , ) |, ( , , )k x y uab ux y uR其中,0,()1a bb mes，证明

13、下列积分方程有连续解( )( ,( )xk x yy dy十一 . 设22:fRR定义为3223( , )(3,3)f x yxxyx yy证明2deg( ,(0), )3f Bp，其中(1,0)p. (春雪给的 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -