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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 习题二1.一袋中有 5 只乒乓球,编号为1,2,3, 4,5,在其中同时取3 只,以 X 表示取出的3 只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律 . 【解】X3,4,510.1P X3C3 5P X430.3C3 5P X5C2 40.6C3 5故所求分布律为X 3 4 5 P 2.设在 15 只同类型零件中有2 只为次品,在其中取3 次,每次任取1 只,作不放回抽样,以 X 表示取出的次品个数,求: 1 X 的分布律; 2 X 的分布函数并作图;3 P X1 ,2P 1X3,P 1X3 ,2P 1X2. 2【解】X0,1,2.3 C 132
2、2 35.P X03 C 15P X11 2C C 13123 C 1535P X2C1 131 35.C3 15故 X 的分布律为X 0 1 2 P 221213535352 当 x0 时, Fx=PXx=0 当 0x1 时, Fx=PXx=PX=0= 22 351 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 1x2 时, Fx=PXx=PX=0+PX=1=34 35 当 x2 时, Fx =PXx=1 故 X 的分布函数F x 0,0xx0122, 3534, 351xx221,3 P X1 2F 1222,35P
3、1X3F 32F13434023535P 1X3P X1P 1X3122235P 1X2F2F1P X213410.35353.射手向目标独立地进行了3 次射击,每次击中率为0.8,求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3 次射击中至少击中2 次的概率 . 【解】设 XX=0,1,2,3. P X03 0.20.008P X11 2C 0.80.2 30.096P X22 2C 0.8 0.20.384P X33 0.80.512故 X 的分布律为X 0 1 2 3 P 分布函数4.1 设随机变量F x 0,x010.8960.008,0x0.104,1x2P X20.488,
4、2x31,x33P X2P XX 的分布律为2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - kP X=k= a,k .其中 k=0,1,2, , 0 为常数,试确定常数 a. 2 设随机变量 X 的分布律为P X=k= a/N,k=1,2, , N,试确定常数 a.【解】1 由分布律的性质知k故1k0P Xkak0k.aeae2 由分布律的性质知即1N1P XkNa. akk1Na15.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投 3 次,求: 1 两人投中次数相等的概率 ; 2 甲比乙投中次数多的概率 . 【解】
5、 分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数,就Xb3,0.6 ,Yb3,0.7 1 P XYP X0,Y0P X1,Y1P X2,Y2P X3,Y33 30.4 0.31 2 1 2C 0.60.4 C 0.70.3 + 2 2 2 2C 0.6 0.4C 0.7 0.3 3 33 0.6 0.730.320762 P XYP X1,Y0P X2,Y0P X3,Y00.02,且设各6.设某机场每天有P X2,Y1P X3, Y1P X3,Y21 2 3C 0.60.4 0.32 2 3C 0.6 0.40.33 30.6 0.32 2 1 2C 0.6 0.4C 0.70.33 1 20.6 C 0
6、.70.33 2 20.6 C 0.7 0.3200 架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 飞机降落是相互独立的 .试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立刻降落而没有闲暇跑道的概率小于 0.01每条跑道只能答应一架飞机降落 ?【解】 设 X 为某一时刻需立刻降落的飞机数,就 Xb200,0.02 ,设机场需配备 N 条跑道,就有即kP XN0.01200k0.01200Ckk 0.02 0.98200N1利用泊松近似P Xnp2000.024.NkN14
7、 e 4k0.01k.查表得 N9.故机场至少应配备9 条跑道 . 7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2 的概率是多少 利用泊松定理?【解】 设 X 表示出事故的次数,就XbP X0eP X1P X211e0.10.10.1X 满意 P X=1= P X=2 ,求概率 P X=4. 【解】 设在每次试验中胜利的概率为p,就4C2 5p21p 34210. 1 C 5p 1p故P Xp13所以44 1C 33243A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当 A 发生不少于 3 次
8、时,指示灯发出信号,1 进行了 5 次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;2 进行了 7 次独立试验,试求指示灯发出信号的概率 . 【解】1 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数,就 X65,0.35k k 5 kP X 3 C 0.3 0.7 0.16308k 32 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数,就 Yb7k k 7 kP Y 3 C 0.3 0.7 0.35293k 3t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 听从参数为 1/2t 的泊松分布,而与时间间隔起名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - -
9、 - 点无关时间以小时计. 1 求某一天中午12 时至下午 3 时没收到呼救的概率;2 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率 . 3 5【解】1P X 0 e 2 2 P X 1 1 P X 0 1 e 2k k 2 kP X=k= C 2 p 1 p , k=0,1,2 P Y=m= C m4 p m 1 p 4 m, m=0,1,2,3,4 分别为随机变量 X,Y 的概率分布,假如已知 P X 1=5,试求 P Y1. 9【解】 由于 P X 1 5,故 P X 1 4. 9 92而 P X 1 P X 0 1 p 2 4故得 1 p ,9即 p 1.3从而 P
10、Y 1 1 P Y 0 1 1 p 4 650.802478112.某教科书出版了 2000 册,因装订等缘由造成错误的概率为 0.001,试求在这 2000 册书中恰有 5 册错误的概率 . 【解】 令 X 为 2000 册书中错误的册数,就 Xb2000,0.001.利用泊松近似运算 , np 2000 0.001 22 5得 P X 5 e 20.00185.13.进行某种试验, 胜利的概率为 3,失败的概率为 1.以 X 表示试验首次胜利所需试验的次4 4数,试写出 X 的分布律,并运算 X 取偶数的概率 .【解】X 1,2, , ,1 k 1 3P X k 4 4P X 2 P X
11、4 P X 2 1 3 1 3 3 1 2 k 1 3 4 4 4 4 4 413 4 14 1 1 2 545 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参与了保险公司的人寿保险 .在一年中每个人死亡的概率为 0.002,每个参与保险的人在 保险公司领取 2000 元赔偿金 .求:1 保险公司亏本的概率 ; 1 月 1 日须交 12 元保险费, 而在死亡时家属可从2 保险公司获利分别不少于 10000 元、 20000 元的概率 . 【解】 以“ 年” 为单位来考虑 . 1
12、在 1 月 1 日,保险公司总收入为 2500 12=30000 元. 设 1 年中死亡人数为 X,就 Xb2500,0.002,就所求概率为P 2000 X 30000 P X 15 1 P X 14由于 n 很大, p 很小, =np=5,故用泊松近似,有P X151145 ke 50.000069P X5k0k.2 P保险公司获利不少于10000 P300002000X10000P X10105 ke 50.986305k0k.即保险公司获利不少于10000 元的概率在98%以上P保险公司获利不少于20000P300002000X20000k505 ke 50.615961k.即保险公司
13、获利不少于20000 元的概率约为62%X 的密度函数为fx=Ae|x|, x+, 2 Ax求:1A 值;2P0 X1; 3 Fx. 【解】1 由f x d x1 得1A e| |d x20xA e d x故A1. 22 p0X111x e dx111 e 202x1x e d3 当 x0 时,F x x1x e dx1x e22当 x0 时,F x x1e| | d x01x e d x220211ex26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故F x 11 e , 2xx01 2ex016.设某种仪器内装有三只同
14、样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为fx=0 ,100 2 , x xx100 ,100 .求:1 在开头 150 小时内没有电子管损坏的概率;2 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;3 Fx . 【解】1P X150150100d x31.100x232 p 2p 1P X1503283271 2 3 324C1 393 当 x100 时 Fx=0 当 x100 时F x xf t d t0,a100f t d txf t d t100x100dt1100100t2x故F x 1100,x100x0,x017.在区间 0,a上任意投掷一个质点,以X 表示这质点的坐标,设这质点落在中任意
15、小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X 的分布函数 . 【解】由题意知X0, a,密度函数为f x 1 , a0xa0,其他故当 xa 时, Fx=1 即分布函数7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0,x0F x x,0xaa1,xaXX 进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3 的概率 . 【解】 XU2,5 ,即f x 1 , 32x5P X0,其他251dx3333故所求概率为2 2 2 1 3 2 3 20p C C 3 3 3 271X以分钟计听从指数分布 E .某顾客在窗口等待服务,假设超过
16、 10 分钟他就离开 .他5一个月要到银行 5 次,以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出 Y的分布律,并求 PY1. 1【解】 依题意知 X E ,即其密度函数为5xf x 1 e5 5 , x 00, x 0该顾客未等到服务而离开的概率为P X10101xxe2X 服e d5Yb 5,e2,即其分布律为P Ykk 2 k 2 5C e 1 e k,k0,1,2,3,4,5P Y11P Y02 5 1 1 e 0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间从 N40,102;其次条路程较长,但堵塞少,所需时间X 听从 N50,4
17、2. 1 假设动身时离火车开车只有 1 小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? 2 又假设离火车开车时间只有45 分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】1 假设走第一条路,XN40,102,就20.97727P X60Px4060401010假设走其次条路,XN50,42,就8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - P X60PX450604502.50.9938+ 故走其次条路乘上火车的把握大些 . 2 假设 XN40,102,就P X45PX4045400.50.69151010假设 XN 50,42,就P
18、X45PX504550 1.254411.250.1056故走第一条路乘上火车的把握大些. XN 3,22, 1 求 P2 X5 ,P 4X10 ,P X 2 ,P X3; 2 确定 c 使 P Xc= P Xc. 【解】1P2XP5P223X35323522111 11220.841310.69150.5328 4X10P43X2310322770.9996P|X|222P X2P X2PX23223PX23211511P X322220.6915 10.99380.6977PX233-3100.522 c=3 22.由某机器生产的螺栓长度cmXN2 ,求一螺栓为不合格品的概率. 9 名师归
19、纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解】P|X10.05| 0.12PX10.050.120.060.0612 22120.0456X小时听从正态分布N160, 2,假设要求P120 X200 0.8,答应 最大不超过多少?【解】P120X200P120160X1602001600.8故404024014031.251.29X 分布函数为Fx=AB ext,x0,0,0 ,x0. 1 求常数 A,B; 2 求 P X2 ,P X3 ; 3 求分布密度fx. A11e3【解】1由x limlimx 0F x 1F x 得F
20、 x lim x 0B2P X2F21e21 e3P X31F313 f x F ex,x00,x0X 的概率密度为求 X 的分布函数x,0x1 ,fx=2x ,1x20 ,其 他 .Fx,并画出f x及 F x. 【解】 当 x0 时 F x=0 当 0x1 时F x xf t dt0f t d txf t d tx20x 0d t t210 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 1x0; 0ex dxx2abx ,0x,12 fx=1,1x2 ,x2,0其 他 .试确定常数a,b,并求其分布函数Fx. 【解】
21、1 由f x d x1 知1ae| | dx2 a故a22ex,0即密度函数为f x 当 x0 时F x xf x dxx2x e d x2exx01ex2当 x0 时F x xf x dx02x e dxx2exd x011ex2故其分布函数11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - F x 11ex,x021 e , 2x02 由1f x dx1bx x21d xb101x222得b=1 即 X 的密度函数为f x x ,0x111x2x 20,其他当 x0 时 Fx=0 当 0x1 时F x xf x d x0
22、0f x d x1xf x dxdx0xx xx20dxx xx102当 1x0 时,F Y P YyP exylnyXf d xy1 y1eln2y故fY dF Y 1fxlndyy222P Y2X2111当 y1 时F Y P Yy0y1Xy当 y1 时F Y P Yy P 2X21PX2y21Py12y1/ 2fX dxy1/ 2fXy1故fY dF Y 1y21fXy21dy421y211ey1/ 4,y1223 P Y01当 y0 时F Y P Yy 0当 y0 时F Y P|X|y PyXy 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 25 页精选学习资料 -
23、- - - - - - - - y yfX d x故fY dF Y ,fX fXydy2ey2 /2y02XU 0,1,试求: 1 Y=eX的分布函数及密度函数; 2 Z= 2lnX 的分布函数及密度函数. lny 【解】1P0X11P X故P 1YX ee1当y1时F Y P Yy0当 1ye 时F Y P eXylnyd xlny0当 ye 时F Y P eXy1即分布函数F Y 0,y,y1eln1y1,ye故 Y 的密度函数为fY 11yey,0,其他2 由 P0X0 时,F Z P Zz P 2lnXPlnXzP Xe21z/ 2d x1ez / 2e15 名师归纳总结 - - -
24、- - - -第 15 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即分布函数F Z 0,z01-e- / 2z0故 Z 的密度函数为fZ 1 e 2z/ 2,z00,z0X 的密度函数为fx=2 , 20x,0,其他.试求 Y=sinX 的密度函数 . 【解】P0Y11P Yy0arcsinyX当 y0 时,F Y 当 0y1 时,F Y P Yy PsinXy P0XarcsinyParcsiny2xdxy2xdx当 y1 时,F Y 02 arcsin2 1 2(arcsin2 y)1-1 2(-arcsin2 y)2 arcsin y1故 Y 的密度函数为fY 2
25、11y2,0y10,其他X 的分布函数如下:Fx11,x1 ,2 x2 ,x 3.试填上 1,2,3 项. 【解】 由 lim xF x 1知填 1;16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由右连续性x lim xF x 0 F x01知x 00,故为 0;从而亦为0;即C= 每次F x 112,x0x1,x034.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子显现6 点为止,求抛掷次数X 的分布律 . 【解】 设 Ai= 第 i 枚骰子显现6 点 ;i=1,2 ,PAi=1 6.且 A1 与 A2 相互独立;再设抛掷显现 6 点;就P C P A 1A 2P A 1P A 2P A P A 1 2111111666636故抛掷次数X 听从参数为11的几何分布;3635.随机数字序列要多长才能使数字0 至少显现一次的概率不小于0.9. 【解】 令 X 为 0 显现的次数,设数字序列中要包含n 个数字,就Xbn,0.1 P X11P X00 0 n1 C 0.1 0.90.9,即0.9n0.1,0得n22 即随机数字序列至少要有22 个数字;,0xFx=x1,0x1122,1x.2就 Fx是随机变量的分布函数. F x 0A 连续型;B离散型;C 非连续亦非离散型
限制150内