2022年首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 .pdf

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1、山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案（非数学类， 2010）考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分. 题号一二三四五六七八总分满分20 5 10 15 10 10 15 15 100 得分一、填空（每小题5 分，共 20 分）. (1)计算)cos1(cos1lim0 xxxx= . (2)设( )f x在2x连续，且2( )3lim2xf xx存在，则(2)f= . (3)若txxxttf2)11 (lim)(，则)(tf. (4)已知( )f x的一个原函数为2lnx，则( )xfx dx= . （1）21. (2) 3 . (3)tet2) 12(. (4)Cxx

2、2lnln2. 二、（5 分）计算dxdyxyD2，其中1010yxD，：. 解：dxdyxyD2=dxdyyxxyD)(21:2+22:2)(xyDdxdyxy- 2 分=dyyxdxx)(20210+dyxydxx)(12102-4 分=3011-5 分. 线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效 .2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.得分评阅人得分评阅人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - -

3、 - - - - - - - 三、 （10 分）设)(sin2xfy，其中f具有二阶导数，求22dxyd. 解：),(cos)(222xfxfxdxdy-3分)(sin)(4)(cos)(4)(cos)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd-7分=)(sin)()(cos)(4)(cos)(222222222xfxfxfxfxxfxf-10分.四、 （15 分）已知3123ln0dxeeaxx，求 a的值. 解：)23(232123ln0ln0 xaxaxxededxee-3 分令tex23，所以dttdxeeaaxx231ln02123-6 分=at231233221

4、-7 分=1)23(313a，-9 分由3123ln0dxeeaxx，故 1)23(313a=31，-12 分即3)23(a=0-13 分亦即023a-14 分所以23a-15 分. 五、 （10 分）求微分方程0 xeyyx满足条件eyx 1的特解 . 得分评阅人得分评阅人得分评阅人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 解：原方程可化为xeyxyx1-2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得Cdxexeeydxxxdx

5、x11-4分=Cdxexeexxxlnln-5分=Cdxexx1-6分=)(1Cexx.-7分所以原方程的通解是)(1Cexyx.-8 分再由条件eyx 1，有Cee，即0C，-9 分因此，所求的特解是xeyx.-10 分. 六（10 分） 、若函数( )f x在( , )a b内具有二阶导数，且123()()()f xf xf x，其中123axxxb，证明：在13(,)x x内至少有一点，使( )0f。证：由于)(xf在),(ba内具有二阶导数，所以)(xf在,21xx上连续，在),(21xx内可导，再根据题意)()(21xfxf，由罗尔定理知至少存在一点1),(21xx，使)(1f=0；

6、-3 分同理，在23,xx上对函数)(xf使用罗尔定理得至少存在一点),(322xx，使)(2f=0；-6 分对于函数)(xf，由已知条件知)(xf在1，2上连续，在（1，2）内可导，且)(1f=)(2f=0，由罗尔定理知至少存在一点（1，2） ，使0)(f，而1，2）),(31xx，故结论得证 -10分. 七、 （15分）已知曲线，xeyxysin和直线0 x，1x围成平面图形D. 得分评阅人得分评阅人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - -

7、- - - - - - （1）求平面图形D的面积A；（2）求D绕 x 轴旋转所成立体的体积 . 解： （1）10(sin )xAex dx-2 分10(cos )xex-4 分cos12e-5 分（2）因为baxdxxfV)(2，-6 分所以dxxeVxx)sin(1022-9 分=120111sin2224xexx-11 分=2sin4121)1(212e-13 分=1)2sin21(212e.-15 分. 八、 （15 分）设),(zyxfu有连续的一阶偏导数，又函数)(xyy及)(xzz分别由下列两式确定：2xyexy和dtttezxx0sin，求dudx. 解：dxdzzfdxdyyf

8、xfdxdu，（1）-4 分由2xyexy两边对 x求导，得)()(dxdyxydxdyxyexy=0，-7 分即xydxdy-9 分又由dtttezxx0sin两边对 x 求导，得)1()sin(dxdzzxzxex，-11 分即)si n ()(1zxzxedxdzx-13 分得分评阅人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 将其代入（ 1）式，得()1sin()xdufy fe xzfdxxx yxzz.-15 分. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -