2022年高三第一轮复习教案第四讲：空间的两个平面.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第四讲 空间的两个平面教学目的：把握两个平面的位置关系；两个平面平行和两个平面垂直的判定和性质定理,并能解决相关的证明和运算问题教学重点： 两个平面平行和两个平面垂直的判定和性质定理教学难点： 两个平面平行和两个平面垂直的判定和性质定理,并能解决相关的证明和运算问题【学问概要】学问点 1 两个平面的位置关系 与 平行,记作 . （ 1）两个平面平行 没有公共点；如（ 2） 两个平面相交 有一条公共直线；如 与 有交线 a,记作 a. 指出：画两个相互平行的平面时,表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行；画两个相交平面时：（ 1）先画表示两个平

2、面的平行四边形的相交的两边；（2）再画出表示两个平面交线的线段；（ 3）过第 i步图中线段的端点分别引线段,使它平行且等于第ii步图中表示交线的线段. （ 4）最终画表示两个平面的平行四边形的其它边；学问点 2 两个平面相互平行两平面平行：两平面没有公共点；学问点 3 两个平面平行的判定定理假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 . 指出：垂直于同始终线的两个平面平行 .也可以用来作面面平行的判定定理 .即 AA ,AA .学问点 4 两个平面平行的性质定理假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 . 即 , a, b a b. 指出：（1）两个平面

3、平行, 其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 明方法,但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能 . .这为线面平行进一步供应了证（ 2） 一条直线垂直于两个平行平面的一个平面,它也垂直于另一个平面. 这为线面垂直进一步供应了证明方法（ 3）经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 . 学问点 5 两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离指出：和两个平行平面同时垂直的直线与两异面直线公垂线不同的是有很多条 .依据线面垂直的性质定理可知这些公垂线相互平行且公垂线段都相等学问点 6 二面角从一条直线动

4、身的两个半平面所组成的图形叫做二面角 .这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面 . 棱为 AB；面为 , 的二面角,记作二面角 AB ,假如棱用 a 表示,就记作二面角 a ；指出：（1）平面几何中可以把角懂得为一个旋转量,同样一个二面角也可以看作以一个半平面以其棱为轴旋转而成的 . 二面角的范畴是0, 学问点 7 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 . 指出：（1） 它是一个 “平面角 ”,因此两边必需在同一平面内 . 二面角的平面角的两边都必需与棱垂直 .画二面角和它的平面角,最常见的两种形名师归

5、纳总结 式：直立式与平卧式.（见上方图形）第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二面角的大小,可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度 .特殊地：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角的范畴是0, （ 2）确定二面角的平面角的方法： 定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个平面的交线所成的角为二面角的平面角 三垂线法：已知二面角一个面内一点到另一个面的垂线时,利用三垂线定理或它的逆定理可得到平面角 利用特殊

6、图形的性质,构造二面角的平面角 由射影关系式S =Scos ,即 cos =S ,可以不用作出平面角 S 而求得 （明白）. 用异面直线上两点距离公式：EF=d2m2n22 mncos,求得 （明白）学问点 8 两个平面相互垂直假如两个平面 与 所成二面角为直二面角,就称两个平面 与 垂直,记作；学问点 9 两个平面垂直的判定定理假如一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直. 指出：（1）平面与平面的垂直问题可以转化为直线与平面的垂直问题,即线面垂直可以导致面面垂直（ 2）垂直于平行平面中的一个平面必垂直于另一个平面.即 ,rr学问点 10 两个平面垂直的性质定理假如两个平面垂直,

7、那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面. 指出： 1 过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这平面内. （2）相交平面同时垂直于第三个平面,就交线垂直于第三平面. （ 3）过不垂直于平面的始终线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【基础题典例解析】例 1（两个平面的垂直）在三棱锥SABC 中, ASB BSC 60, ASC 90,且 SASBSC；求证：平面ASC平面 ABC.证：取 AC 的中点 O,连 SO 、BO ,由已知,得 SAB、 SBC 都是正三角形 .BC AB a,SA SCa,又 SO AC,BO AC , SOB 就是二面角SAC B 的平面角 . 又 SA

8、 AB a,SC BC a,AC AC, ACS ACB. SO BO 2a. 在 SOB 中,2SBa, SOB 90 .即平面 SAC 平面 ABC. 方法二：过 S 作 SO 平面 ABC ,垂足是 O.SA SBSC,S 在平面内的射影是 ABC 的外心；同前面的证明, 可知 ABC 是直角三角形, O 在斜边 AC 上.又平面 SAC 经过 SO ；平面 SAC 平面 ABC 例 2 （求二面角的大小）在棱长为 1 的正方体 AC 1 中,P 是 AD 的中点,求二面角 A-BD 1-P 的大小；平面 ABD 1 平面 AD 1 P解：PE 平面 ABD 1；过 P 作 PFD 1B

9、 于 F,过 P 作 PE D 1 A 于 E连 EF ,就 EF D1B, PFE 为二面角 A-BD 1-P 的平面角,如下列图；名师归纳总结 Rt AD 1DRt PEA, PE1AP,而 AP=1 ,DD 1=1 ,AD1= 22 ,PE=2 ；在 PBD 1 中,4DDAD第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PD 1=PB=5 ； PF D 1B, BF= 21 BD 1= 23 ；在 Rt PFB 中, PF= 2PB2BF22；2中,在 Rt PFE 中, sin PFE=PE1, PFE=30；的大小A 1BD 1

10、和 C 1BD 1PF2例 3 （求二面角的大小）C 1在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,求二面角A 1BD 1解：在平面D 1 C 1B内作C 1EBD 1,交BD 于 E连结A1E,设正方体棱长为a,在 A 1D 1C 1D 1a,A 1BC 1B2 a,BD 1BD 1A 13 a,A 1BD 1C 1BD 1,C 1EBD 1,A 1EBD 1,A 1EC 1为二面角BD 1C 1的平面角在 RtBC 1D 1中,D 1 C 1 B90,1C1D 1BC11C 1EBD1, C 1Ea2 a2 a3,在223 aA 1EC 1中,A 1EC 1E2a,A 1 C 12 a,c

11、osA 1EC 12a2222a2a2a 21,333a220A 1EC 1180,A 1EC 1120. 33例 3 （求二面角的大小）四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA底面 ABCD ,PAAB ,Q 是 PC 中点 AC, BD交于 O 点（ 1）求二面角 QBD C 的大小：（2）求二面角 B QDC 的大小解：（1）连 QO ,就 QO PA 且 QO 1 PA1 AB, PA面 ABCD ,2 2QO 面 ABCD ,面 QBD 过 QO , 面 QBD 面 ABCD ,故二面角Q BD C 等于 90 （ 2）过 O 作 OH QD ,垂足为 H,连 CH

12、 面 QBD 面 BCD ,又 CO BD ,CO 面 QBD名师归纳总结 CH 在面 QBD 内的射影是OH , OH QD , CHQD 于是 OHC 是二面角的平面角2 又 3设正方形 ABCD 边长 2,就 OQ 1,OD 2 ,QD 3 OH QD OQOD , OH 第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OC 2 ,Rt COH 中： tanOHC OC OH2 2 33 , OHC 60 , 故二面角 BQD C等于 60 【综合题典例解析】例 1 已知BCD 中, BCD =90 ,BC=CD =1,AB 平面 BC

13、D , ADB =60 ,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 AE AF0 1 .AC AD（ 1）求证：不论 为何值,总有平面 BEF 平面 ABC ；（ 2）当 为何值时,平面 BEF 平面 ACD ？解：（1） AB平面 BCD , AB CD , CD BC 且 ABBC=B ,CD 平面 ABC. 又 AE AF 0 1,不论 为何值,恒有 EF CD , EF 平面 ABC ,AC ADEF 平面 BEF,不论 为何值,恒有平面 BEF 平面 ABC. （ 2）由（ 1）知, BEEF ,平面 BEF 平面 ACD , BE平面 ACD , BE AC. BC=CD=1 ,B

14、CD=90, ADB=60,BD 2 AB 2 tan 60 6 , AC AB 2BC 27 ,由 AB 2AE AC , AE 6 , AE 6 , 故当 6时,平面 BEF 平面 ACD. 7 AC 7 7例 2 如图 ,已知边长为 a 的正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,将此三角形沿 DE 折成二面角 A DEB；（ 1）求证：平面 AGF平面 BCED ；（ 2）当二面角 A DEB 为多大时,异面直线 A E与 BD 相互垂直？证明你的结论；解：（1）ABC 是正三角形, AF 是 BC 边的中线, AF BC；又D、 E 分别是 AB 、AC 的中点,

15、DE1 BC； AFDE ,又 AFDE=G ,2A GDE, GFDE , DE 平面 AFG,又 DE . 平面 BCED ,平面 AFG平面 BCED ；（ 2）A GDE ,GF DE , AGF是二面角 A DEB 的平面角； 平面 AGF平面 BCED=AF ,作 A HAG 于 H , A H平面 BCED ；假设 A EBD ,连 EH 并延长 AD 于 Q,就 EQ AD ； AG DE , H 是正三角形 ADE 的重心,也是中心； AD=DE=AE= a , AG=AG= 3a,HG= 1 AG= 3a；2 4 3 12在 Rt AHG中, cos AGH= HG = 1

16、 . AGF =- AGH,cos AGF= -1 ,A G 3 3 AGF=arcos-1 ,即当 AGF=arcos-1 时, A E BD；3 3例 3 如图,已知平行六面体 ABCD A1B 1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且 C 1CB= BCD=60；（ 1）证明： C1CBD ；（ 2）假定 CD=2 ,C1C=3 ,记面 C1BD 为 ,面 CBD 为 ,求二面角 BD 2的平面角的余弦值；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）当CD 的值为多少时,能使 CC 1A 1C平面 C 1BD？

17、请给出证明；解：（1）如图 7-19b, 连结 A 1C 1、AC,设 AC 和 BD 交于 O,连 C 1O；四边形 ABCD 是菱形, ACBD ,BC=CD ；又 BCC 1=DCC 1,C1C=C 1C, C 1BC C1DC ,C 1B=C 1D； DO=OB , C1O BD,又 ACBD ,ACC 1O=O ,BD平面 AC 1,又 C1C 平面 AC 1, C1CBD ；（ 2）由（1）知 AC BD ,C 1O BD , C1OC 是二面角 BD 平面角；在 C 1BC 中, BC=2 ,C1C= 3 , BCC 1=60 ,2C 1B2=22+（3 ）2 2 23 cos6

18、0 = 13 ； OCB=30, OB= 1 BC=1 ,2 2 4 2C 1O2=C 1B2-OB2= 13 -1= 9 , C1O= 3 ,即 C 1O=C 1C；作 C 1HOC ,垂足为4 4 2H,就点 H 是 OC 的中点,且 OH= 3 ,所以 cos C 1OC= OH= 3 ；2 C 1 O 3CD CD（ 3）当 =1 时,能使 A 1C平面 C1BD ；=1 ,BC=CD=C 1C,又 BCD= C1CB= C1CD ,CC 1 CC 1由此可推得 BD=C 1B=C 1D；三棱锥 CC 1BD 是正三棱锥；设 A 1C 与 C1O 相交于 G； A1C1 AC,且 A

19、1C 1OC=2 1,C 1GGO=2 1；又 C 1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线,点 G 是正三角形 C1BD 的中心, CG 平面 C 1BD,即 A 1C平面 C1BD ；CD证明二：由（ 1）知, BD平面 AC 1,又 A1C 平面 A1C 1, BDA1C；当 =1 时,平行六面体CC 1的六个面是全等的菱形,同 BDA 1C 的证法可得 BC 1A 1C；又 BDBC 1=B, A1C平面 C 1BD；例 4 三棱锥 PABC 中,PC 平面 ABC ,PC=AC=2 ,AB=BC ,D 是 PB 上一点,且 CD 平面 PAB. （ 1）求证： AB平面

20、PCB ；（ 2）求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小；（ 3）求二面角 CPAB 的大小 . 解：（1） PC平 ABC ,AB 平面 ABC , PC AB. CD平面 PAB,AC 平面 PAB, CD AB. 又 PCCD=C , AB平面 PCB. （ 2）过点 A 作 AF BC ,且 AF=BC ,连结 PF,CF.就 PAF 为异面直线PA 与 BC 所成的角 . 由（1）可得 AB BC,CF AF. 由三垂线定理, 得 PFAF.就 AF=CF=2 ,PF.PC2CF26,在 Rt PFA 中,tanPAFPF63 ,异面直线PA 与 BC 所成的角为AF23（ 3）取

21、 AP 的中点 E,连结 CE、 DE. PC=AC=2 , CE PA, CE=2 . CD 平面 PAB. 由三垂线定理的逆定理,得DE PA. CED 为二面角 CPAB 的平面角 . 名师归纳总结 由（ 1）AB 平面 PCB ,又 AB=BC ,可求得BC=2 .在 Rt PCB 中,PBPC2BC26,第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CDPCBC2622.PB32在 Rt CDE 中,sinCEDCD36,二面角 CPA B 的大小为arcsin6；CE332方法二：（1）同解法一 . （2）由（ 1）AB平面 P

22、CB , PC=AC=2 ,又 AB=BC ,可求得 BC= 2 .以 B 为原点,如图建立坐标系 .就 A（0,2 ,0）,B（ 0,0,0）.C（2 ,0,0）,P（2 ,0,2）,AP 2 , 2 , 2 ,BC 2 , ,0 0 .就 AP BC 2 2 0 0 2 .cos AP , BC| AP AP| , BC| BC | 2 2 22 12 .异面直线 AP 与 BC 所成的角为3 .（ 3）设平面 PAB 的法向量为 m=x ,y,z. AB 0 , 2 , 0 ,就 AB m 0 , 即 2 y 0 ,AP M 0 . 2 x 2 y 2 z 0 .解得 y 0 , 令 z

23、 1,得 m 2 , ,0 1 ；x 2 z设平面 PAC 的法向量为 n= x , y , z . PC 0 , 0 , 2 , AC 2 , 2 , 0 . 就 PC n 0 ,AC n 0 .即 2 z 0 , 解得 z ,0 令 x 1,得 n=（1,1,0）.cos m , n m n 2 3 .2 x 2 y 0 . x y | m | n | 3 2 3二面角 C PAB 的大小为 arccos 3.3例 5 如下列图,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 a 的菱形, A60 ,PC平面 ABCD , PCa,E 是 PA 的中点 . （ 1）求证平面BDE 平面 ABCD.

24、（ 2）求点 E 到平面 PBC 的距离 . （ 3）求二面角AEB D 的平面角大小 . 解：（1）设 O 是 AC ,BD 的交点,连结EO. ABCD 是菱形, O 是 AC、BD的中点, E 是 PA 的中点, EO PC,又 PC 平面 ABCD ,EO 平面 ABCD ,EO 平面 BDE ,平面 BDE 平面 ABCD. （ 2） EO PC,PC 平面 PBC , EO 平面 PBC ,于是点 O 到平面 PBC的距离等于 E 到平面 PBC 的距离 . 作 OFBC 于 F, EO 平面 ABCD ,PC PBC ,OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离 . 平面 PBC

25、 ,平面 PBC 平面 ABCD ,于是 OF平面由条件可知, OBa ,OF 2a 23 23 a,就点 E 到平面 PBC 的距离为 43 a. 4（ 3）过 O 作 OG EB 于 G,连接 AG ； OE AC, BDAC ； AC 平面 BDE , AG EB 三垂 线定理 ； AGO 是二面角 A EBD 的平面角；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - OE 1 PC 21 a,OB 23 a； EB a.OG 2OEOB3 a,又 AO 41 a. 2EBtan AGO AO OG233； AGO arc

26、tan233. PABCD 中,底面ABCD 是矩形, PA平面 ABCD ,AP=AD=1 ,AB=2 ,E、 F例 6 已知四棱锥分别是 AB 、PD 的中点 . （ 1）求证： AF/ 平面 PEC ；（2）求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小；（ 3）求二面角 PEC D 的大小 . 解：（1）取 PC 的中点 O,连结 OF 、OE. FO / DC,且 FOFO / AE . 又 E 是 AB 的中点,且 AB=DC , FO=AE. 四边形OE 平面 PEC , AF 平面 PEC , AF/ 平面 PEC. 1 DC 2.AEOF 是平行四边形 . AF/OE. 又（2）连

27、结 AC. PA平面 ABCD , PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角 . 在RtPAC中,tanPCAPA15.即直线 PC 与平面PM CE. PMA是二面角AC55ABCD 所成角的大小为arctan5.PM. 由三垂线定理,得M,连结5（ 3）作 AM CE ,交 CE延长线于P ECD 的平面角 . 由 AME CBE ,可得AM2.tanPMA12.二面角 PECD 的大小为222arctan 2 .方法二：以 A 为原点,如图建立直角坐标系 .就 A（0,0,0）, B（2,0,0）,C（2,1,0）,D（ 0,1,0）,F 0 , 1 , 1 ,E（1,0,0）,

28、P（0,0,1） . 2 2（ 1）取 PC 的中点 O,连结 OE. 就 O 1 , 1, 1 .2 21 1 1 1AF ,0 , , EO 0 , , , AF / EO . 又 OE 平面 PEC ,AF 平面2 2 2 2PEC , AF/ 平面 PEC. 名师归纳总结 （ 2）由题意可得PC2 ,1,1,又平面 ABCD 的法向量是PA 0 0, ,1 .arccos6 6.第 7 页,共 10 页cosPA,PC|PAPC|6 6,即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的大小为AP|PC（ 3）设平面 PEC 的法向量为mx,y,z .PE ,1,01 ,EC ,1 10 .就m

29、PE0 ,可mEC0 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得xz,0令 z= 1,就 m= （ 1,1, 1）. 由（2）可得平面ABCD 的法向量是PA ,0 0 ,1 .xy.0cosm ,PA|m|PA|13.二面角 PECD 的大小为arccos3.EC AC ,mPA333例 7 在如下列图的多面体中,已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面相互垂直,EEF AC ,AB 2 ,EFEC 1；F（ 1）求证：平面 BEF 平面 DEF ；C B（ 2）求二面角 ABF E 的大小；解：（1） 平面 ACEF 平面 ABCD ,EC

30、AC, EC平面 ABCD ；D A连接 BD 交 AC 于点 O ,连接 FO ,正方形 ABCD 的边长为 2 , AC BD 2； 在直角梯形 ACEF中, EF EC1,O 为 AC 中点, FO EC ,且 FO 1；易求得 DF BF 2 ,DE BE3 ,由勾股定理知 DF EF,BF EF , BFD 是二面角 BEF D 的平面角,由 BF DF 2 ,BD 2可知 BFD 90 o,平面 BEF 平面 DEF ；EN（ 2） 取 BF 中点 M,BE 中点 N,连接 AM 、 MN、AN , AB BF AF2 ,FAM BF,又 MN EF ,EF BF, MNBF ,

31、AMN 就是二面角 C P MBA BFE 的平面角；O易求得 AM 3 AB 6,MN 1EF 1；在 Rt APN 中,可求得 AN 2AP 2NP A 2 11,2 2 2 2 4在AMN 中,由余弦定理求得 cos AMN 6,AMN arccos 6；3 3解法二：（1） 平面 ACEF 平面 ABCD ,EC AC , EC 平面 ABCD ；建立如下列图的空间直角坐标系 Cxyz ,就 A 2 , 2 , 0 ,B 0 , 2 , 0 , D 2 , ,0 0 , E 0 , 0 1, , F 2, 2 1, ,EF 2, 2, 0 ,2 2 2 2BE 0 , 2 1,DE 2

32、 , 1,0 ；设平面 BEF 、平面 DEF 的法向量分别为 m x 1 , y 1 1, n x 2 , y 2 1, ,就 m EF 2x 1 2y 1 0 m BE 2 y 1 1 0 ,E z2 2Fn EF2 2 x 22 2 y 2 0 , n DE 2 x 2 1 0 . 由 CB y解得 x 1 2 , y 1 2 ; x 2 2 . y 2 2 ,m 2 , 2 1, n 2 , 2 1, , D A2 2 2 2 2 2 2 2 xm n 1 1 1 0,m n,故平面 BEF 平面 DEF ；2 2（2）设平面 ABF 的法向量为 p x 3y 3 1, ,BF 2 ,

33、 2 , 1,BA 2 , ,0 0 ,2 2p BF 2x 3 2y 3 1 0,p BA 2 x 3 0,解得 x 3 0, y 3 2,urp 0, 2,1,cos ur urm p 2ur 2 ur urm p ur 2 6；由图知, 二面角 ABF E 的平面角是钝角,故所求二面 m 2 3 3角的大小为 arccos 6；3例 8 如图,二面角 MDC N 是 度的二面角, A 为 M 上肯定点,且 ADC 面积为 S,DC a,过点 A 作直线 AB ,使 AB DC 且与半平面N 成 30 的角,求 变化时, DBC 面积的最大值 . 名师归纳总结 解： 在 M 内作 AEDC

34、 于 E,就 AE 为 ADC 的高,就有1 AE DC S,2第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AE 2S.由于 DC AE ,DC AB,就有 DC AEB 所在的平面,所以DC BE,就 AEB 是二面角aM DC N 的平面角,即AEB .又由于 DC AEB 所在平面,且 DC 在 N 上,所以平面 N AEB 所在平面 . 令 AF BE 于 F,就有 AFN,于是, FB 是 AB 在平面 N 上的射影,所以ABE 是 AB 与 N 所成的角. ABE 30 ；在 AEB 中,有 EBAE, EB4 S sin +

35、30 . 据题意,有 0 ,180 ；当 sin 30 sin 30 a60时,有 EB max4 S,这时 S DBCmax1 a4 S2S. a 2 a例 9 如图, 在平面四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=1,B=90 ,C=135 ,沿对角线 AC 将 ABC折起,使平面 ABC 平面 ACD. （ I）求证： AB 平面 BCD ；（ II）求二面角 BADC 的大小 . 解：（I） B=90 , AB BC. AB=BC , BCA= BAC=45；又平面四边形 ABCD 中, C=135 , DCA=90, DC AC；平面 ABC 平面 ACD ,平面 ABC平面 ACD

36、=AC ,DC 平面 ACD , DC 平面 ABC , AB C； DCBC=C , AB 平面 BCD ；（ II）设 AC 的中点为 O,连结 BO ,过 O 作 OE AD 于 E,连结 BE. AB=BC ,O 为 AC 中点 .BO AC ,平面 ABC 平面 ACD ,平面 ABC 平面 ACD=AC ,BOBEAD, BEO 为二面角 BAD C 的平面角 . 平面 ABC , BO 平面 ACD. OEAD 在 Rt ABC 中, BO=2,AC=2 ,在 Rt DCA 中, AD=3 , OE=6 . 62在 Rt BOE 中, tanBEO=BO OE2；二面角BAD C

37、 的大小为 6023, BEO=6066例 10 如图： 四棱锥 PABCD 底面为始终角梯形,ABAD,CD AD,CD=2 AB,PA面 ABCD ,E 为 PC 中点 . （ 1）求证：平面 PDC 平面 PAD ；（ 2）求证： BE 平面 PAD；（ 3）假定 PA=AD=CD ,求二面角EBDC 的平面角的正切值. 解：（1） PA面 ABCD , PADC, DC AD 且 ADPA=A ,DC 面 PAD ； DC面 PDC ,平面 PDC 平面 PAD ；PDC 中, EF1DC EF AB ,四边（ 2）取 PD 中点 F,连接 EF ,FA； E 为 PC 中点；在2形 ABEF 为平行四边形,即：BE AF , AF面 PAD 且 BE面 PAD , BE 平面 PAD；（3）连接 AC ,取 AC 中点 O ,连接 EO ；在 PAC 中：EO 1 2PA,EO 面 ABC ,过 O 作 OG BD交 BD 于 G,连接 EG ,由三垂线定理知,EGO 为所求二面角E BDC 的平面角；设 PA=AD=CD=2a , AB=a , EO=a ；连 DO 并延长交 AB 于 B ,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就四边形 ABCD为正方形,且B