2022年高一数学必修第二章基本初等函数知识点总结归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 1 其次章基本初等函数 学问点整理2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念假如 x na a R x R n 1,且 n N,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a表示；当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数a 没有 n 次方根式子n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数当n 为奇数时, a 为任意实数；当an 为偶数时,a0根式的性质：n ana ；

2、当 n 为奇数时,nana；当n为偶数时,nan|a|a a0 a0 （ 2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：mam1nama0,0,m nNN,且n11 0 的正分数指数幂等于0正数的负分数n指数幂的意义是：am1nnnmam n,且n0 的负分数指数幂没有意义留意口诀： 底aa数取倒数,指数取相反数（ 3）分数指数幂的运算性质arasar sa0, , r sR arsarsa0, , r sR abrr a bra0,b0,rR 2.1.2指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称yay1函数yaxa指数函数1叫做指数函数ay1定义0且aax0yax图象y1y10,10,1定义

3、域OxOxR值域（ 0,+ ）过定点图象过定点（ 0,1 ）,即当 x=0 时, y=1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数值的y1x 0, y=1x=0, 0y1x 0 y 1x 0, y=1x=0, 0y1x 0变化情形a 变化对在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近y 轴；在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近y 轴；图象的影在其次象限内, a 越大图象越低,越靠近x 轴在其次象限内, a 越小图象越低,越靠近x 轴响2.2 对数函数【2.2.1

4、 】对数与对数运算（ 1）对数的定义如 a xN a 0, 且 a 1,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x log a N a xN a 0, a 1, N 0（ 2）几个重要的对数恒等式 : log 1 a 0, log aa 1, log aa bb （ 3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N,即 log 10 N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e 2.71828 ）（ 4）对数的运算性质 假如 a 0, a 1, M 0, N 0,那么加法： log a

5、M log a N log MN 减法： log a M log a N log a MN数乘：n log a M log a M n n R a log a N N log a b M n nb log a M b 0, n R 换底公式：log a N loglog bb Na b 0, 且 b 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称ya函数ylogax a对数函数1叫做对数函数a1定义0且a10图象x1ylogax0,yx1ylog ax1,01,0Ox

6、xO定义域值域图Rx 轴过定点图象过定点 1,0 ,即当x1时,y0奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1变化情形a 变化对logax0 0x1logax0 0x1在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近x 轴在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近y 轴在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近y 轴象的影响6 反函数的概念设函数 y f x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y f x 中解出 x ,得式子 x 假如对于 y 在 C 中的

7、任何一个值,通过式子 x , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x 表示 x 是 y 的函数,函数 x 叫做函数 y f x的反函数,记作 x f 1 ,习惯上改写成 y f 1 x （ 7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式yf x 中反解出xf1 ；将xf1 改写成yf1 ,并注明反函数的定义域（ 8）反函数的性质原函数yf x 与反函数yf1 的图象关于直线yx 对称3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数yf 的定义域、值域分别是其反函数yf1 的值域、定义域如P a

8、 b , 在原函数yf x 的图象上,就P b a 在反函数yf1 的图象上一般地,函数yf x 要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义一般地,函数 yx叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象 幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 过定点：

9、全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性：假如0,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如q0,就幂函数的图象在0,上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴q（其中p q 互质, p 和 qZ ）,奇偶性： 当为奇数时, 幂函数为奇函数, 当为偶数时, 幂函数为偶函数 当pq如 p 为奇数 q 为奇数时,就yxp是奇函数,如p为奇数q为偶数时,就yxp是偶函数,如p为偶数q为奇数时,q就yxp是非奇非偶函数,x0,当1时,如0x1,其图象在直线yx下方,如x1,其图象图象特点：幂函数yx在直线 yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线yx 上方,如x

10、1,其图象在直线yx 下方补充学问二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式一般式：f x ax2bxc a20顶点式：f x a xh2k a0两根式：f x a xx 1xxa0（ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（ 3）二次函数图象的性质二次函数f x ax2bxc a0的图象是一条抛物线,对称轴方程为xb,顶点坐标是b,4acb22a4 a2a当a0时,抛物线开口向上,函数在,b上递减,在 b,上递增,当xb时,2a2 a

11、2afmin 4acb2；当a0时,抛物线开口向下,函数在,b上递增,在 b,上递减,当4 a2a2axb时,fmax 4acb22a4 a二次函数f x ax2bxc a0当b24ac0时,图象与 x 轴有两个交点5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - M x ,0, M x ,0,| M M 2| |x 1x 2| |（ 4）一元二次方程ax2bxc0a0根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（

12、韦达定理）的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc0a0的两实根为x 1,x ,且x 1x 令f x ax2bxc ,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：xb判别式：端点函数值符号2ak x1x2xyyxbfk0a02a.kx 1Ok1xOx2x2xxbf.k0a02ax1 x2ka0yxfk0ax 1yxfbxOO2a.xx2k1xx2kf.k00b2ax1 kx2Oy.af k 0 xx 1y.k0xa01xOkx2x2kfk0a0k1x1 x2k 26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页

13、精选学习资料 - - - - - - - - - y.fk10xfa00Oy1kx 1xx2bx2ak2O1k1x2.k2xk2有且仅有一个根xbf.k 100f. k200,并同时考虑f k1=0 或 f k2=0 这两af k1 f k22ax1（或 x2）满意 k1x1（或 x2） k2种情形是否也符合y.fk1a20xOy1xfk 10x2k2xO0.1xk2x1k1k. fk20a0f. k20k1x1 k2 p1 x2p2此结论可直接由推出（ 5）二次函数f x ax2bxc a0在闭区间 p q 上的最值1 2pqbq,就mf q x设f x 在区间 p q 上的 最大值为 M

14、,最小值为 m ,令x 0（）当a0时（开口向上）如bp,就mf 如pbq,就mfb如2 a2a2a2 aOf如bqff q xpfOqfpxOfbfb 2 aMfpqffbf p b2 a2ax 0x 0,就M,就2a2 aO0x qgfxp 0xgffObxffqf p b2 a2a7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当a0时 开口向下 如bp,就Mfp如pbfq,就Mfb如xbq,就Mbf q x2 a2 a2a2a如fbfpfbpqff 2a2a2apOxOOxfffbqqbx 0,就mf q x0,就mf p2 a2affbqff b2a2apOx 0gx0xgOffqp8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页