2022年随机过程的数字特征 .pdf

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1、二、随机过程的数字特征定义 6.3.1 设随机过程Tt),t(的一维分布函数为);(xtF，我们称)x; t(dFx)t(Et)x; t(dFtx)t(Dt22分别为随机过程Tt),t(的均值函数和相关函数。对离散型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：niiitpx)t(Et1tptxt)t(E)t(Dtinii2122其中：n,i,x)t(Ptpii1对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：dx)x; t(xf)t(Etdx)x; t(ftxt)t(E)t(Dt222均值函数和方差函数刻划了随机过程在不同时刻的统计特性，但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函

2、数和自协方差函数概念。定义6.3.2 设随机过程Tt),t(的二维分布函数为),;,(2121xxttF，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：)x,x;t ,t(dFxx)t()t(E)t ,t(R2121212121Ttt21,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - )t()t(t)t(E)t ,t(C221121且：)t()t()t ,t(R)t ,t(C212121若令ttt21，则t)t , t(R)t ,

3、t(C2由此可以看出：均值函数t和相关函数)t ,t(R21是最基本的数字特征，协方差函数)t ,t(C21和方差函数t2可以由它们确定。在随机过程理论中，仅研究均值函数t和相关函数)t ,t(R21的理论称为相关理论。一般地，相关函数)t ,t(R21和协方差函数)t ,t(C21均与时间21,tt有关。若令12tt，则：)t ,t(R)t ,t(R1121)t ,t(C)t ,t(C1121以上两式说明)t ,t(R21和)t ,t(C21不仅与时间间隔有关，且与起点1t 有关。当)t ,t(R21和)t ,t(C21仅与有关而与1t 无关时，称这类随机过程为平稳过程。例 6.3.1 设)

4、(tg是周期为L的矩形波，随机变量Y服从两点分布令( )( )XtYg t，),0(Tt，则：)(tX是具有随机振幅，周期为L的矩形波过程，求)(tX的数字特征。解：0211211)()()()()(tgYEtgtYgEtXEtX)()()()()()(),(221212121YEtgtgtYgYtgEtXtXEttRX)()(21121)1) ()(212221tgtgtgtg212111ipY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - -

5、- - - - ),(),(2121ttRttCXX)(,)(22tgttCtXDtXX例 6.3.2已知随机相位正弦波)cos()(tatX， 其中consta,0，为在)2,0(上服从均匀分布的随机变量。求随机过程),0(),(ttX的)(tX、),(21ttRX和一维分布密度函数);(xtf。解：由在)2,0(上服从均匀分布得：f其 它1(0,2)2()0则：021)cos()cos(20dtataEtX)cos()cos()()(),(212121tataEtXtXEttRXdtta21)cos()cos(22012)(cos2122tta利用随机过程的分布密度公式xxtFxxtFxt

6、f);();();(ff1212()()xx其 中 012,2则：221);(xaxtfax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 则：axaxxtfxa0);(221例 6.3.3设随机过程)(tX定义为：若随机点在区间,0(t内出现偶数次，则1)(tX；若出现奇数次，则1)(tX。又设,00ttt内随机点出现k次的概率与0t无关，且有：!)()(ktetpktk),2, 1,0,0(k求)(tX和),(21ttRX。

7、解：由,0(t内随机点出现k次，,2, 1,0k互不相容，故：P在,0(t内出现偶数次，即1)(tX)()()(420tptptp!4)(! 2)(!0)(420tttet)(tchet同理：)()()(1)(531tptptptXP! 5)(! 3)(53ttet)(tshet即：1)(tXP)(tchet1)(tXP)(tshet则：tXttttteeetshetchetXE2)(1)(1)(为求)(tX的相关函数),(21ttRX，先求)(1tX，)(2tX的联合分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

8、心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - )()()()(,)(1122112211xtXxtXPxtXPxtXxtXP其中11x设：12tt，12tt，12()1()1( )1(0)1P XtXtP XXech则：)()( 1)(, 1)(1211chetchetXtXPt同理：1121()1,()1()()tP XtXtechtech1121()1,()1()()tP XtXtechtesh1121()1,()1()()tP XtXteshtesh则：),(21ttRX)()()(1)()(11211tshtchcheetXtXEt)(

9、)()()1(111tshtchsheet)()(11)(1tshtchet2)()(11eeett其中12tt当12tt，同理可得：),(21ttRX)(221tte则对21,tt，有：),(21ttRX2e。在实际问题中，除考虑一个随机过程在不同时刻的性质外，还须考虑两个不同的随机过程之间的关系。例如，通信系统中信号过程与干扰过程之间的关系，此时，我们必须引入互协方差函数和互相关函数来描述它们之间的关系。定义 6.3.3 设随机过程),(TttX，( ),Y ttT是两个随机过程，则称其互相关函数和互协方差函数分别为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

10、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 121212(,)()()(,;,)XYRttE XtY txydFttx yTtt21,121122(,)()()XYXYCttE XttY tt且121212(,)(,)()()XYXYXYCttRtttt特别地，对任意的,s tT，有,0XYCs t，则称随机过程),(TttX，( ),Y ttT互不相关；若,0XYRs t，则称随机过程),(TttX，( ),Y ttT相互正交。例 6.3.4 设有两个随机过程1Xtgt和2Y tgt，其中1g

11、t和2gt都是周期为 L 的周期方波， 是在0, L上服从均匀分布的随机变量，求互相关函数,XYRt t的表达式。解：由定义：,XYRt tEXt Yt1Egtgt12gtxgtx fx dx1201Lgtxgtx dxL令tx，利用1gt和2gt的周期性，则：1201,LXYRt tgtxgtx dxL12121LtLtLggdgLgLdLL121201LttggdguguduL1201LggdL三、复随机过程工程中，常把随机过程表示为复数形式来进行研究，因此我们下面简单介绍复随机过程的概念和数字特征。定 义6.3.4 设 随 机 过 程),(TttX，( ),Y ttT是 取 实 数 值

12、的 两 个 随 机 过 程 ， 若 对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1， 有, 其 中tTZtXtiYti，则称( ),ZttT为复随机过程。定义 6.3.5 当),(TttX和( ),Y ttT为实随机过程时，则( ),Z ttT均值函数、方差函数、相关函数和协方差函数的定义如下：ZXYtEZttit22ZZtDZtEZttZZEZttZtt1212,ZRttEZtZt121122,ZZZCttEZttZtt

13、定理 6.3.2 复随机过程( ),ZttT的协方差函数具有如下性质：（1） 对称性：1221,ZZCttCtt（2） 非负定性：对任意的itT及复数,1, 2,1iain n，有：,1,0nZijijijCtta a证明：（1）121122,ZZZCttEZttZtt1122ZZEZttZtt2211ZZEZttZtt21,ZCtt（2）,1,1,nnZijijiZijZjijijijCtta aEZttZtta a,1niZijZjijijEZttZtta a11nniZiijZjjijEZttaZtta名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 210niZiiiEZtta名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -