2022年高中数学两角和与差的正弦余弦和正切公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学问能否忆起 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1C：cos cos_cos_sin_sin_；2C：cos cos_cos_sin_sin_；3S ： sinsin_cos_cos_sin_；4S ： sinsin_cos_cos_sin_；5T： tan tan tan 1tan tan ；6T： tan tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 1S2：sin 22sin_cos_；2C2：cos 2cos 2sin3T2： tan

2、 2 2tan 1tan 2. 3常用的公式变形22cos 211 2sin 2；1tan tan tan1.tan tan ；2cos 21cos 2,sin 221cos 2；231 sin 2 sin cos 2,1sin 2sin cos 2,sin cos 2sin 4 . 小题能否全取 名师归纳总结 12022 福建高考 如 tan 3,就sin 2 cos 2的值等于 第 1 页,共 16 页A2B3 C4 D6 解析： 选 Dsin 2 cos 22sin cos 2tan 2 36. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循

3、序而渐进 ,熟读而精思2sin 68sin 67sin 23cos 68 的值为 2 2A2 B. 23C. 2 D1 解析： 选 B 原式 sin 68 cos 23 cos 68 sin 23 sin68 23sin 45 2 . 23已知 sin 2 3,就 cos2等于 A3 5 B1 91 5C. 9 D. 3解析： 选 B cos2 cos 2 12sin22sin 212 4 911 9. 4教材习题改编 如 cos 4 5, 是第三象限角,就解析： 由已知条件 sin 1 cos 23 5, 2 2 7 2sin 42 sin 2 cos 10 . 答案： 7 2105如 ta

4、n 4 2 5,就 tan _. 解析： tan 4tan 11 tan 2 5,即 5tan 522tan . 就 7tan 3,故 tan 3 7. 答案： 371.两角和与差的三角函数公式的懂得：sin 4_ 名师归纳总结 1正弦公式概括为“正余,余正符号同” “符号同 ” 指的是前面是两角和,就第 2 页,共 16 页后面中间为 “ ”号；前面是两角差,就后面中间为“ ” 号2余弦公式概括为“ 余余,正正符号异” 3二倍角公式实际就是由两角和公式中令 所得特殊地,对于余弦：cos 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,

5、熟读而精思cos 2sin 22cos 21 12sin“ 降幂公式 ” ,在考题中常有表达2,这三个公式各有用处,同等重要,特殊是逆用即为2重视三角函数的“ 三变 ” ：“ 三变 ” 是指 “ 变角、变名、变式” ；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能削减函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时,一般是观看角度、函数名、所求 或所证明 问题的整体形式中的差异,再挑选适当的三角公式恒等变形三角函数公式的应用典题导入例 1 2022 广东高考 已知函数 fx2sin 1 3x 6,xR. 51求 f 4 的值；2设

6、, 0,2,f 3210 13,f32 6 5,求 cos的值1 自主解答 1fx2sin 3x6,f542sin 12 62sin 42. 2,0,2,f 3210 13,f326 5,2sin 10 13, 2sin 26 5. 即 sin 5 13,cos 3 5. cos 12 13,sin 4 5. coscos cos sin sin 12 13 3 5 5 13 4 516 65. 由题悟法名师归纳总结 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用、 的三角函数表示第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法

7、 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的三角函数, 在使用两角和与差的三角函数公式时,特殊要留意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的以题试法1 7. 11已知 sin 5, 2, ,就cos 2_. 142sin 422022济南模拟 已知 为锐角, cos 5,就 tan 42 A 3B17C4D 7 3解析： 1cos 22cos 2sin 2cos sin ,2sin 42 2 sin 2 2 cos sin 3 5,2, ,cos 4 5. 原式7 5. 2依题意得, sin 2 5 5,故 tan 2,tan 22 2 14 4 3,所以 tan 42 3143答案： 17 52B

8、 三角函数公式的逆用与变形应用典题导入例 22x 2022 德州一模 已知函数 fx2cos 23sin x. 1求函数 fx的最小正周期和值域；2如 为其次象限角,且f 31 3,求cos 2的值 3,1cos 2sin 2自主解答 2x 1fx2cos 23sin x1cos x3sin x 12cos x周期T 2,fx的值域为 1,3名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2f 31 3,12cos 1 3,即 cos 1 3. 为其次象限角, sin 2 3 . 2cos

9、2 cos 2sin 21cos 2sin 2 2cos 22sin cos cos sin 1 32 3 212 22cos 22 . 3由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时,不但要娴熟、 精确,而且要熟识公式的逆用及变形,如 tan tan tan 1 tan tan 和二倍角的余弦公式的多种变形等以题试法212022赣州模拟 已知 sin 6cos 4 3 5,就 sin 3的值为 A.4B.3 55C.3D.3252如 3,就 1tan 1tan 的值是 _4解析： 1由条件得2 sin 3 2cos 4 3 5,即1 2sin 3 2 cos 4 5. sin 34 5. 3 21

10、tan 4 tantan tan ,1tan tan tan tan 1tan tan . 1tan tan tan tan 2,即1tan 1 tan 2. 答案： 1A 22 角 的 变 换名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思典题导入例 3 12022 温州模拟 如 sin cos 3, tan2,就 tan2 _. sin cos 22022江苏高考 设 为锐角,如 cos 64 5,就 sin 2 12的值为 _sin cos tan 1自主解答 1由条件知3,sin c

11、os tan 1就 tan 2. 故 tan 2tan 1tan tan tan tan 1 2 22 24 3. 2由于 为锐角, cos 64 5,所以 sin 63 5,sin 2 624 25,cos 2 6 7 25, 所以 sin 212sin 2 6424 252 7 25217 50 . 2答案 14 3 217 50 2由题悟法1当“ 已知角” 有两个时,一般把“ 所求角” 表示为两个“ 已知角” 的和或差的形式；2当“ 已知角” 有一个时,此时应着眼于“ 所求角” 与“ 已知角” 的和或差的关系,然后应用诱导公式把“ 所求角” 变成“ 已知角” 3常见的配角技巧：2 2；名

12、师归纳总结 1 2；第 6 页,共 16 页1 2 ；4 2 4 ； 4 4 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思以题试法3设 tan 2 5,tan 41 4,就 tan 4 A.13B.13 22183 C. 22D.16解析： 选 Ctan 4tan 4tan tan 43 22. 1tan tan 4典例 2022广东高考 已知函数 fx2cos x 6 其中 0,x R的最小正周期为10 .1求 的值；名师归纳总结 2设 , 0, 2,f 556 5,f T102 ,1 5. 第 7 页,共 16 页3

13、55 616 17,求 cos尝试解题 1fx2cos x 6,0 的最小正周期2由1知 fx 2cos1 5x 6,而 ,0, 2,f 5 5 3 6 5,f 55 616 17,2cos 1 5 55 3 6 6 5,2cos1 5 55 6 6 16 17,即 cos 2 3 5,cos 8 17,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思于是 sin 3 5,cos 4 5, sin 15 17,coscos cos sin sin 4 517 3 5 15 17 13 85. 易错提示 1.在解答此题时有两点简单

14、失误：1 忽视角 ,的范畴,求解 cos ,sin 的值时出错；2 在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不精确导致错误 .2.解决三角函数问题时,仍有以下几点简单失误：1 对公式记忆不精确而使公式应用错误；2 三角公式不能敏捷应用和变形应用；3 忽视角的范畴或者角的范畴判定错误 .针对训练1在 ABC 中, sinCA1,sin B1 3,就 sin A 的值为 _解析： 由题意知, CA 2,且 CAB,故 A4 B 2,就 sin A sin 4B 22 2 cosB 2sinB 2,就 sin 2A121sin B13,3又 sin A0,就 sin A3 . 答案：332已知 sin

15、25,sin 12 13,且 2, , 2,0 ,求 cos 2 的值名师归纳总结 解： 2,22 .第 8 页,共 16 页 20,0 2,2 5 2,而 sin23 50,2 25 2,cos24 5. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又 2 0 且 sin 12 13,cos 5 13,cos 2cos2 cos2cos sin2sin 4 5133 512 1356 65. 23x20 的两根,就 tan 的值为 12022 重庆高考 设 tan ,tan 是方程 xA 3B 1 3C1 D3 解析： 选

16、 A由题意可知tan tan 3,tan tan 2,tantan tan 3. 1tan tan 22022 南昌二模 已知 cos x 63 3,就 cos xcos x 3的值是 A2 32 B333 2 sin x3C 1 D1 解析： 选 Ccos x cos x3 cos x 1 2cos x3 2 sin x3 2cos x 2 cos x1 2sin x 3cos x 6 1. 3 2022 乌鲁木齐诊断性测验 已知 满意 sin 1 2,那么 sin 4 sin 4 的值为 A.1 4B1 422 1 2cos C.1 2D1 2解析： 选 A依题意得, sin 4 sin

17、4 sin 4 cos 4 1 2sin名师归纳总结 21 212sin21 4. A1,f1处的切线的斜率为4,就函数 gx3sin 第 9 页,共 16 页4已知函数fx x 3 bx 的图象在点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2x bcos 2x 的最大值和最小正周期为 A1, B 2,C. 2,2 D. 3,2解析： 选 B 由题意得 fx3x 2b,f13b4,b1. 所以 gx3sin 2xbcos 2x3sin 2xcos 2x2sin 2x6,故函数的最大值为 2,最小正周期为 .5 2022 东

18、北三校联考 设 、 都是锐角, 且 cos 5,sin 5 3 5,就 cos 2 5 2 5A. 25 B. 5C. 2 25或2 5 5D. 5或 525 5解析： 选 A 依题意得 sin 1cos 22 5 5,cos1 sin 2 4 5. 又 、 均为锐角,因此 0cos,留意到 5 5 5,所以 cos4 5. cos coscoscos sinsin 4 553 5 2 5 5 2 5 25 . 6已知 为其次象限角,sin cos 3 3,就 cos 2 5 5A3 B9C. 5 9 D. 3 5解析： 选 A 将 sin cos 3两边平方,可得 3 1sin 2 1 3,

19、sin 2 2 3,所以 sin cos 21sin 25 3.由于 是其次象限角,所以sin 0,cos 0,所以 sin 名师归纳总结 cos 15 3,所以 cos 2sin cos cos sin 5 3 . 第 10 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思72022 苏锡常镇调研 满意 sin 解析： 由已知可得4 4cos 5 cos xsin 5 sin x即 cos 4 5x 1 2,1 2, 5sin xcos 4 5 cos x 1 的锐角 x _. 又 x 是锐角,所以4 5x 3

20、,即 x7 15. 答案：7152tan 458化简 1tan 2 45 sin cos 2_. 12sin 2解析： 原式 tan90 2 cos 21sin 902 2sin 2cos 902cos 2cos 2 sin 212 cos 21 2. 答案：1292022 烟台模拟 已知角 , 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,0,角 的终边与单位圆交点的横坐标是是4 5,就 cos _. 解析： 依题设及三角函数的定义得：cos 3,sin 4 5. 1 3,角 的终边与单位圆交点的纵坐标又0, 2, 2,sin 2 2 3,cos 3 5. cos cos coscos sin

21、sin 名师归纳总结 3 51 34 5 232第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思382 . 15答案：38 21510已知 0, 2, tan 1 2,求 tan 2 和 sin 2 3的值1解： tan 1 2,tan 2 2tan 1tan 2212144 3,且sin cos 1 2,即 cos 2sin ,又 sin 2 cos 21,5sin 21,而 0,2,sin 5,cos 2 5 5 . sin 22sin cos 25 2 5 54 5,cos 2cos 2sin 2

22、51 53 5,sin 23 sin 2cos 3cos 2sin 34 5 1 23 523 4310 3. 11已知： 0 2,cos 44 5. 1求 sin 2 的值；2求 cos 4的值2 2 sin 1 3,解： 1法一： cos 4cos 4cos sin 2 2 cos cos sin 3,1sin 22 9,sin 2 7 9. 法二： sin 2cos 22 2cos2 41 7 9. 20 2 ,名师归纳总结 4 43 4, 32 0,cos0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos 41

23、 3,sin4 5,sin 422 3,x 2,xR. cos3 5. cos 4cos 4coscos 43 5 1 34 5 2 2 3823 15 . 122022 衡阳模拟 函数 fx cosx 2sin 1求 fx的最小正周期；2如 f2 5 10, 0,2,求 tan 4的值解： 1fxcos x 2sin x 2sinx 2cosx 22sin x 24,故 fx的最小正周期 T2 14 .22由 f210,得 sin 2cos 22 10, 5就 sin2cos2 2102,5即 1sin 8 5,解得 sin 3 5,又 0, 2,就 cos 1 sin 219 254 5,

24、故 tan sin cos 3 4,所以 tan 4tan tan 41tan tan 43 41 3 7. 141如 tan lg10 a,tan lga,且 4,就实数 a 的值为 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A1 B. 1 101C1 或 10 D 1 或 10 1解析： 选 C tan1.1tan tan tan tan lg 10a lg a11. lg2alg a0,1lg 10a lg a所以 lg a0 或 lg a 1,即 a1 或1 10. 2化简

25、sin 2 6sin 2 6sin 2 的结果是 _ 1cos 23 1cos 23解析： 原式sin 22 211 2 cos 23cos 23sin 21cos 2cos 3sin 2 1cos 2 21cos 221 2. 答案：123已知 sin cos 3 5 5, 0, 4,sin 43 5, 4, 2 . 1求 sin 2 和 tan 2 的值；2求 cos2的值名师归纳总结 解： 1由题意得 sin cos 29 5,第 14 页,共 16 页即 1sin 29 5,sin 24 5. 又 20, 2,cos 21sin 223 5,tan 2sin 2 cos 24 3. 2

26、 4,2, 40, 4,sin 43 5,cos 44 5,于是 sin 2 42sin 4 cos 424 25. 又 sin 2 4 cos 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos 224 25,又22, ,sin 2 7 25,又cos 21cos 24 50,24cos 2 5 5,sin 5 5 . cos2 cos cos 2sin sin 22 5 524 255 525 11 25 . 53sin2xsin xcos x,x 2, . 12022 北京西城区期末已知函数 fx1求 fx的零点；

27、2求 fx的最大值和最小值名师归纳总结 解： 1令 fx0,得 sin x3sin xcos x0,第 15 页,共 16 页所以 sin x0 或 tan x3 3 . 由 sin x0,x 2, ,得 x；由 tan x3 3,x2, ,得 x5 6 . 综上,函数fx的零点为5 6, .2fx3 2 1cos 2x1 2sin 2xsin 2x 33 2 . 由于 x2, ,所以 2x 32 3,5 3 . 所以当 2x 32 3,即 x 2时, fx的最大值为3；当 2x 33 2,即 x11 12时, fx的最小值为 13 2 . 2已知 0 2,且 cos 2 1 9,sin 2 2 3,求 cos 的值；解： 0 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 4 2 2, 4 2 .名师归纳总结 cos 2 1sin2 2第 16 页,共 16 页1225 3,3sin 21cos2 21 1 924 5 9 . cos 2cos 2 2cos 2 cos 2 sin 2 sin 21 9349 2 37 5 27 . cos2cos 221249 5 7291 239 729. - - - - - - -