2022年高中数学圆的方程经典例题与解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学圆的方程经典例题与解析例 1 求过两点A1,4、B3,2且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判定点P2,4与圆的关系分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判定点 P 与圆的 位置关系,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,假设距离大于半径,就点在 圆外；假设距离等于半径,就点在圆上；假设距离小于半径,就点在圆内解法一：待定系数法设圆的标准方程为xa 2yb 2r2xa 2y22r2圆心在y0上,故b0圆的方程为又该圆过A 1,4、B3,2 两点 1a216r23a 24r2解之得：a1,r220所以所求圆

2、的方程为x12y20解法二：直接求出圆心坐标和半径kAB由于圆过A1,4、B 3,2两点, 所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又由于421,故 l 的斜率为1,又 AB 的中点为2,3 ,故 AB 的垂直平分线l 的方程13为：y3x2即xy10又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C1,0 半径rAC11 24220故所求圆的方程为x2 1 y220又点P2,4到圆心C1,0的距离为dPC21 24225r点 P 在圆外说明：此题利用两种方法求解了圆的方程,都环围着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,假设将点换成直

3、线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？名师归纳总结 例 2已知圆O：x2y24,求过点P2,与圆 O 相切的切线kx24第 1 页,共 8 页解： 点P2,不在圆 O 上,切线 PT 的直线方程可设为y依据dr2 kk42解得k3124所以y3 x 424即3x4y100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决也要留意漏解仍可以运用 x 0 x

4、 y 0 y r 2,求出切点坐标 x 、y 的值来解决, 此时没有漏解例 3、直线 3 x y 2 3 0 截圆 x 2y 2 4 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距 d 3,故弦长 AB 2 r 2 d 2 2,从而OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为 AOB . 3例 4 圆 x 3 2 y 3 2 9 上到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、2l 的方程,从代数运算中查找解答2 2解法一： 圆 x 3 y 3 9 的圆心为 O 1 3 , 3,半径 r 33 3 4 3 11设圆心 O 到直线 3

5、x 4 y 11 0 的距离为 d ,就 d 2 2 2 33 4如图,在圆心 O 同侧,与直线 3 x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意又rd321名师归纳总结 与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意第 2 页,共 8 页符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为3 x4ym0,就dm111,322 4m115,即m6,或m16,也即l ：x4y60,或l ：x4y160设圆O：x32y3 29的圆心到直线1l 、2l的距离为d 、d ,就

6、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d 1332 34363,d 23343161422 342 1l 与O 相切,与圆O 有一个公共点；2l 与圆O 相交,与圆O 有两个公共点即符合题意的点共3 个说明： 对于此题,假设不留心,就易发生以下误会：3 3 4 3 11设圆心 O 到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 d ,就 d 2 2 2 33 4圆 O 到 3 x 4 y 11 0 距离为 1 的点有两个明显,上述误会中的 d 是圆心到直线 3 x 4 y 11 0 的距离,d r,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距

7、离为 1到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数,一般依据圆与直线的位置关系来判定,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判定例 5：圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有y条；4的圆心为,解：圆22x1 2y21的圆心为O 1 ,10,半径1r1,圆x2O20,2,O 1O 2r 1r 2,半径2r25,r 1r 2,3r2r 11 .r 2r 1O 1O 2两圆相交 .共有 2 条公切线；例 6自点A3,发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所A y B M C

8、N x 在的直线与圆C：x2y24x4y70相切1求光线 l 和反射光线所在的直线方程2光线自 A 到切点所经过的路程分析、略解： 观看动画演示,分析思路依据对称关系,第一求出AG O 点 A的对称点 A 的坐标为3,3,其次设过 A 的圆 C 的切线方程为ykx33依据dr,即求出圆 C 的切线的斜率为k4或k334进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3x4y30图最终依据入射光与反射光关于x 轴对称,求出入射光所在直线方程为名师归纳总结 4x3y30或3x4y30第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 光路的距离为AM

9、,可由勾股定理求得AM2AC2CM27例 7说明： 此题亦可把圆对称到yx 轴下方,再求解为圆 O 上的动点,求dx2y2的最1已知圆O：x3 24 21,P x,y 大、最小值x2已知圆O ：x2 2y21,Px,y为圆上任一点求y2的最大、最小值,求x12y的最大、最小值分析： 1、2两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决名师归纳总结 解： 1法 1由圆的标准方程x3 2y4 214 3第 4 页,共 8 页可设圆的参数方程为x3cos,是参数y4sin,就dx22 y96cos2 cos168sinsin2266cos8sin2610cos其中tan所以dmax2

10、61036,dmin261016加上半径 1,圆上点到原法 2圆上点到原点距离的最大值d 等于圆心到原点的距离d 1,是参数点距离的最小值d 等于圆心到原点的距离 d 减去半径 1所以d 13 24 216d22 32 414所以dmax36dmin162 法 1由x2 22 y1得圆的参数方程：x2cosysin,就y2sin2令sin2t,x1cos3cos3得sintcos23 t,1t2sin23 t23 tsin1343t3431t2所以tmax343,tmin343- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即y2的最大值为343,最小值为343x1

11、此时x2y2cos22sin25cos5所以x2y的最大值为5,最小值为2法 2设y2k,就y 是圆上点,当直线与圆有交点kxyk20由于P x,x1时,如下图,两条切线的斜率分别是最大、最小值名师归纳总结 由d2kk221,得k343第 5 页,共 8 页1k所以y2的最大值为343,最小值为343x1令x2yt,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由d25m1,得m25所以x2y的最大值为25,最小值为25例 8、 已知圆x22 yx6ym0与直线x2y30相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且OPOQ,求实数 m的值分 析 ： 设 P 、 Q 两 点 的 坐 标 为x 1,y

12、 1、x 2,y 2, 就 由k OPk OQ1, 可 得x 1x 2y 1y20,再利用一元二次方程根与系数的关系求解或由于通过原点的直线的斜率为y ,由直线 xl 与圆的方程构造以y 为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出 xkOPk OQ的值,从而使问题得以解决- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法一： 设点 P 、 Q 的坐标为x 1,y 1、x 2,y2一方面,由OPOQ,得k OPk OQ1,即y 1y 2,y 21,也即：x 1x 2y 1y20m1x 、x 1x 2另一方面,x 1,y 1、x 2是方程组x2y300的实数解,即x2

13、y2x6yx 是方程5x210x4m270的两个根x 1x 22,x 1x 24m527x6ym0,有又 P 、 Q 在直线x2y30上,y1y213x 113x2193x 1x2x 1x2224将代入,得y 1y2m125将、代入,解得m3,代入方程,检验0 成立,m3解法二： 由直线方程可得3x2y,代入圆的方程x2y2x2y21x2yx6y mx2y20,39整理,得 12m x24 m3 xy 4 m27 y20由于x0,故可得4m27y24m3 y12m0xxk OP,k OQ是上述方程两根故k OPk OQ1得12m1,解得m34m273为所求m经检验可知说明： 求解此题时,应防止

14、去求P 、 Q 两点的坐标的详细数值除此之外,仍应对求出的 m值进行必要的检验,这是由于在求解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在解法一显示了一种解这类题的通法,解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于y 的二次齐次方程,虽有规律可循,但需肯定的变形技巧,同时也可看出,这种方法给人x以一种淋漓酣畅,一气呵成之感名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9、已知对于圆x2y1 21上任一点Px,y,不等式xym0恒成立,求实数 m 的取值范畴x分 析 一 ： 为 了 使 不 等式xym0恒 成 立 , 即 使xym恒

15、 成 立 ,只 须 使yminm就行了因此只要求出xy的最小值, m的范畴就可求得解法一： 令uxy,由xyyu121x 22,得：2y22 u1 yu200 且4 u128 u2,4 u22 u10即u22 u10,12u1u min12,即xy min12又xym0恒成立刻xym恒成立xy min12m成立,由于这时 P 点坐标满意方程x2y121 m21分析二： 设圆上一点Pcos,1sin问题转化为利用三解问题来解名师归纳总结 解法二： 设圆2 xy1 21上任一点Pcos1,1sin0,2第 7 页,共 8 页xcos,y1sinxym0恒成立cos1sinm0即m1cossin恒成立只须 m 不小于1cossin的最大值设usincos12sin4umax21即m21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 说明：在这种解法中, 运用了圆上的点的参数设法一般地,把圆xa 2yb 2r2上的点设为arcos,brsin0,2采纳这种设法一方面可削减参数的个数,另一方面可以敏捷地运用三角公式从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页