2022年高中数学立体几何方法题型总结.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立体几何重要定理:1直线与平面垂直的判定定理:假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面 . 2直线和平面平行性质定理:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 .3平面平行判定定理:假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. . . 4两个平面垂直性质判定:假如一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面两个平面垂直性质定理:假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面5推论:假如两个相交平面都垂直
2、于第三平面,就它们交线垂直于第三平面. 证明:如图,找O 作 OA 、OB 分别垂直于l1,l2,BM A由于PM,OA,PM,OB就PMOA,PMOB. O一:夹角问题 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范畴依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范畴依次是异面直线所成角:范畴:0, 90常用1平移法:在异面直线中的一条直线中挑选一特别点,作另一条的平行线构成三角形;解三角形求出角;到余弦定理cosa2b2c2 abc2ab2补形法:把空间图形补成熟识的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系;3向量法;转化为向量的夹角cos
3、0oABAC运算结果可能是其补角 ABAC直线与平面所成的角时, 或b斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影;通常通过斜线上某个特别点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键;向量法:设直线l 的方向向量为l ,平面的法向量为 n , l 与所成的角为, l 与 n 的夹角为,就有sincosln的求法ln二面角l的平面角,1定义法:在棱l 上取一点 P,两个半平面内分别作l 的垂线射线m、n,就1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 射线 m
4、和 n 的夹角为二面角l的平面角;2三垂线法:三垂线定理法:A 作或证AB 于 B,作 BO棱于 O,连 AO ,就 AO 棱 l, AOB为所求;向量法:设1n ,n 是二面角l的两个面,的法向量,就向量n ,n 的夹角或其补角ln 1n2就是二面角的平面角的大小假设二面角的平面角为,就cosn 1n 2二、空间距离问题两异面直线间的距离方法一:转化为线面距离;如图,m 和 n 为两条异面直线,n且m/,就异面直mmn和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面之间的距离;方法二:高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行运算,直接运算公垂线段的长度;点到直线的距离:一般用三
5、垂线定理作出垂线再求解;向量法:点到直线距离:在直线 l 上找一点,过定点 且垂直于直线 l 的向量为 n ,就定点 到直线 l 的距n离为 d cos , nnP点到平面的距离方法一:几何法;步骤 1:过点 P 作 PO 于 O,线段 PO 即为所求;A O步骤 2:运算线段 PO 的长度; 直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法 等体积法步骤: 在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S;由 V= 1 Sh,求出 h 即为所求 .这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离 . 3方法二:坐标法;Pnn AP d AP cos n AP
6、 A On线面距、面面距均可转化为点面距三、平行与垂直问题证明直线与平面的平行:1转化为线线平行; 2转化为面面平行. 证明平面与平面平行:1转化为线面平行; 2转化为线面垂直. 证明线线垂直 :1转化为相交垂直; 2转化为线面垂直; 3转化为线与另一线的射影垂直;方法 2:用线面垂直实现;方法 3:三垂线定理及其逆定理;名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - mlAlPllmPOOAlPAOlml证明线面垂直: 1转化为该直线与平面内相交二直线垂直;2转化为该直线与平面的一条垂线平行; 3转化l为该直线垂直于另一个平行平
7、面;4转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 方法 1:用线线垂直实现;方法二:用面面垂直实现;llACmlABAllm ,lmACABAC,AB面面垂直:方 法 一 : 用 线 面 垂 直 实 现 ;lll方法二:运算所成二面角为直角;高中数学之立体几何空间几何体的三视图和直观图 1 三视图:正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原就:长对正、高平齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法角度等于 45 度或者 135 度4 斜二测画法的步骤: 1.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴;2.平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x 轴的线长度不变; 3.画法要写好;空间几何体
8、的外表积与体积一 空间几何体的外表积: 1 棱柱、棱锥的外表积:各个面面积之和4r22 圆柱的外表积S2rl2r23 圆锥的外表积:Srl4 圆台的外表积Srlr2Rl2 R5 球的外表积SR26 扇形的面积公式S 扇形n R21lr其中 l 表示弧长, r 表示半径3602注:圆锥的侧面绽开图的弧长等于地面圆的周长二空间几何体的体积1 柱体的体积VS 底hS 上S 下S 下h2 锥体的体积V1S 底h33 台体的体积V1(3S 上4 球体的体积V43 R3平面的基本性质3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 公理 1
9、 假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上全部的点都在这个平面内 . 公理 2 假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 . 公理 3 经过不在同始终线上的三个点,有且只有一个平面 . 依据上面的公理,可得以下推论 . 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 . 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 . 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 . 空间线面的位置关系共面 平行没有公共点 1 直线与直线 相交有且只有一个公共点 异面 既不平行,又不相交 直线在平面内有很多个公共点 2 直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 直
10、线在平面外 相交有且只有一公共点 3 平面与平面 相交有一条公共直线 很多个公共点 平行没有公共点异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采纳反证法;有时也可用定理“ 平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 1 两直线平行的判定 定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行 . 假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即假设 a ,a , =b, 就 a b. 平行于同始终线的两直线平行,即假设 a b,b c, 就 a c. 垂直于同一平面的两直线平行,即假设 a , b ,就 a b 两
11、平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即假设 , , =b, 就 a b 假如一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即假设 =b,a ,a ,就 a b. 2 两直线垂直的判定1. 定义:假设两直线成90 角,就这两直线相互垂直. 2. 一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直. 即假设 b c,a b, 就 ac 3. 一条直线垂直于一个平面,就垂直于这个平面内的任意一条直线 . 即假设 a ,b , ab. 4. 假如一条直线与一个平面平行, 那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即假设 a ,b , 就 ab. 5. 三个两两垂直的平面的交线
12、两两垂直,即假设 , , , 且 =a, =b, =c,就 ab,b c,c a. 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 直线与平面平行的判定定义:假设一条直线和平面没有公共点,就这直线与这个平面平行 . 假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,就这条直线与这个平面平行 . 即假设 a ,b , a b, 就 a . 两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即假设 ,l ,就 l . 假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行 . 即假设 ,l , l ,就 l
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