2022年高一数学一元二次不等式解法练习题及答案..docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例1 如 ,就不等式xax1 的解是a 选AA a x1xaB1 xaaC x1或 xaaD x1或 xaa分析比较 与1的大小后写出答案a解 0 , a 1 a1,解应当在“ 两根之间” ,得a x1aa例2 x2x6有意义,就x的取值范畴是分析求算术根,被开方数必需是非负数解据题意有, x2x60,即 x 3x 20,解在“ 两根之外” ,所以3 或 x2例 3 如 ax2 bx10 的解集为 x| 1x2 ,就 a_ ,b_ 分析依据一元二次不等式的解公式可知,1 和 2 是方程

2、 ax2bx10 的两个根,考虑韦达定理名师归纳总结 解依据题意, 1,2 应为方程 ax2bx 10 的两根,就由韦达定理知第 1 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b1 21得优秀学习资料欢迎下载a11 22aa1,b122例 4解以下不等式1x 13 x 5 2x 2xx 113x 12 32x 1x 3 3x22 43x23x13x2ax2bxc00形式,然后依据“ 解公式” 给2 x2x11x x1 3分析将不等式适当化简变为出答案 过程请同学们自己完成答 1x|x2 或 x4 2x|1 3 23 4R 5R 说明：不能使用解

3、公式的时候要先变形成标准形式例5 不等式1 11x的解集为 名师归纳总结 A x|x 0 Bx|x 1 第 2 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载C x|x 1 Dx|x 1 或 x0 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采纳移项后通分1解 不等式化为 1 x0,1 x2 2x x通分得 ,即 0 ,01 x x 1x20,x10,即 x1选 C说明：此题也可以通过对分母的符号进行争论求解例6 与不等式x3 同解的不等式是2x A x 32 x 0 B 0x21 C2x0x3Dx 32 x 0 解法一原不

4、等式的同解不等式组为x3 2x0,x20故排除 A、C、D,选 B解法二x 23 化为 0x 或 3x32x 即 02 x3x两边同减去2 得 0x 21选 B说明：留意“ 零” 例7 不等式xax 的解为x|x 或 2,就 的值为1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载A a1 B a122x1 ,转化为C a1 D a122分析可以先将不等式整理为a1 x1a 1x 1x 1 0,依据其解集为 x|x 1 或 x2 可知 0,即 ,且a112, 12答选 C说明：留意此题中化“ 商” 为“ 积

5、” 的技巧3 x 7例 8 解不等式 22x 2 x 3解 先将原不等式转化为3 x 72 20x 2 x 32 22 x x 1 2 x x 1即 2 ,所以 0 2 0x 2 x 3 x 2 x 3由于 2x 2 x 1 2x1 27 ,04 8不等式进一步转化为同解不等式 x2 2x30,即x 3x 1 0,解之得 3x1解集为 x |3x1说明：解不等式就是逐步转化,将生疏问题化归为熟识问题例 9 已知集合 Ax|x25x 40 与 Bx|x22axa 2 名师归纳总结 0,如BA,求 的范畴第 4 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

6、 - 优秀学习资料 欢迎下载分析 先确定 A 集合,然后依据一元二次不等式和二次函数图像关系,结合 B A,利用数形结合,建立关于 a 的不等式解 易得 Ax|1 x4 设 y x22axa2* 1如B,就明显BA,由 得4a24a 2 0,解得 1a22如B,就抛物线*的图像必需具有图116特点：应有x|x1 x 2x|1 4从而122a1 a 20解得12 a18422a4 a20712a42综上所述得a 的范畴为1 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例 10 解关于 x 的不等式x 2ax 20名师归纳总结 分析不等式的解及其结构与a 相关,所以必需分类争论第 5 页,共 31

7、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解 1 当 a0 时,原不等式化为x20 其解集为 x|x 2 ；2当 时,由于22,原不等式化为x2x20,其解aa集为3当 时,因22x| 2 a 2；x2x2 ,其解,原不等式化为aa集为x|x2或 2；a4 当 a1 时,原不等式化为x 220,其解集是 x|x 2 ；5当 时,由于22,原不等式化为x2x2 ,其解aa集是x|x2或 2a从而可以写出不等式的解集为：a0 时, x|x 2；a 时,x|2 2；2；a0 时,x|x 或 aa1 时, x|x 2 ；a 时,x|x2或 2

8、a说明：争论时分类要合理,不添不漏名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 11 如不等式 ax2bxc0 的解集为 x| x0 ,求 cx2bxa0 的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“ 解集” 通过“ 根” 实现了与“ 系数” 之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知 a0,依据韦达定理知：b ,ac ab ,0即 ac 0 aa0,b0,c0又bab,accb11c由c ,a11ac对cx2bx 化为x2bxa ,c

9、c由得1,1是x2bxa 两个根且 011 ,0ccx2bxa 即cx2bx 0的解集为x|x1或 1cc解法二cx2bxa 0 是 ax2bxa0 的倒数方程且 ax2bxc0 解为 x,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - cx2优秀学习资料欢迎下载 bx 的解集为x|x1或 1 说明：要在一题多解中锤炼自己的发散思维例12 解关于x 的不等式：xx1 aaRa0,分析将一边化为零后,对参数进行争论1解 原不等式变为xx11a ,即axx1进一步化为 ax 1ax 1 01 当 a0 时,不等式化为a 1 a 1

10、a 1xx1 ,易见 0 ,所以不等式解集为 1 x|xa a a1；2a 0 时,不等式化为 x10,即 x1,所以不等式解集为 x|x 1 ；a 1 a 13a0 时,不等式化为 xx1 ,易见 0 ,所以 1a aa 1不等式解集为 x|x 或 1 x a综上所述,原不等式解集为：aa当 时,a 0x|aa1 x1；当 时,a 0x|x1；当 时,a 0x|x1或 x1例 13 2001 年全国高考题 不等式 |x23x| 4 的解集是 _ 名师归纳总结 分析可转化为 1x23x4 或 2x23x 4 两个一元二次不等式第 8 页,共 31 页由1可解得x 或 4,2答填x|x 1 或

11、x4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 14 1998 年上海高考题 设全集 UR,Ax|x25x60 ,Bx|x 5| aa 是常数 ,且 11B,就 A UABR B A UBR C UA UBR DA BR 分析 由 x25x 60 得 x1 或 x6,即Ax|x 1 或 x6 由|x 5| a 得 5ax5a,即Bx|5 a x5a 11 B,|11 5| a 得 a6 5a 1,5a 11 ABR答 选 D说明：此题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、肯定值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的

12、解法争论在不等式的综合题中,常常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范畴内所有值都成立的恒成立问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载恒成立问题的基本类型：类型 1：设fxax2bxca0,（ 1）fx 00 在xR上恒成立0a0且0；（2）fxf0b0 在xR上恒成立a0且0；类型 2：设fx ax2bxc a0（1）当a0时,fx 0 在x,上恒成立bbb或2a2a或2a,0f0f0f0fx0 在x,上恒成立f0（2）当a0时,fx 0 在x,上恒成立f0bbfx0 在x,上恒成立2

13、a或2a或2af0f类型 3：fx对一切xI恒成立fx min；fx对一切xI恒成立fxmax类型 4：fxg x 对一切xI恒成立fx 的图象在gx 的图象的上方或fxming x maxxI恒成立问题的解题的基本思路是：依据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解；一、用一次函数的性质对于一次函数fxfkxb,xfm ,n有：fm 0第 10 页,共 31 页fx0 恒成立 m 0 , 0x 0 恒成立f nfn 0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1：如不等式2x1m x21 优秀学习

14、资料m欢迎下载x 的范畴；对满意22的全部 m 都成立,求解析：我们可以用转变主元的方法,将m 视为主变元,即将元不等式化为：mx21 2x1 f0,；令fm m x21 x2x1,就2m2时,fm0恒成立,所以只需22 0即2x2121 10,所以 x 的范畴是f 2 02x21 2x0x127,13；二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数fxax2bxc0a0 ,xR 有：m,（1）fx0 在xR上恒成立a0且0；（2）fx0 在xR上恒成立a0且0例 2：如不等式m1 x2m1 x20的解集是 R,求 m 的范畴；解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数

15、含有参数所以要争论m-1 是否是 0；（1）当 m-1=0 时,元不等式化为20 恒成立,满意题意；（2）m10时,只需m10128m10,所以,m1 9,；m三、利用函数的最值（或值域）（1）fxm对任意 x 都成立fxminm；（2）对任意 x 都成立mf x max；简洁计作：“ 大的大于最大的,小的小fxm于最小的” ；由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题；例 3：在ABC 中,已知fB4sinBsin24Bcos2B,且|fBm|2恒成立,2求实数 m 的范畴；解析：由名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - -

16、 - - fB4sinBsin24优秀学习资料欢迎下载Bcos2B2sinB,10B,sinB1,0 ,2fBm2,即mfB 2恒成立,fB,13,|fBm|2恒成立,2mfB 2m,13 asinxcosx ,x0,恒成立的实数a 的范畴；例 4：（ 1）求使不等式解析：由于函asinxcosx2sinx4,x44,3,明显函数有最大值42 ,a2；假如把上题略微改一点,那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式asinxcosx,x40 ,2恒成立的实数a 的范畴；解析：我们第一要仔细对比上面两个例题的区分,主要在于自变量的取值范畴的变化,这样使得ysinxcosx的最大值取不到2 ,即

17、 a 取2 也满意条件,所以a2；a所以,我们对这类题要留意看看函数能否取得最值,由于这直接关系到最终所求参数的取值；利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分别参数法；四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解；例 5：已知a0,a1 ,fxx2ax,当x1 1,时,有fx12恒成立,求实数 a 的取值范畴；解析：由 f x x 2a x 12,得 x 2 12 a x,在同始终角坐标系中做出两个函数的图象,假如两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交,就由 1 2 1a及 1 2 1a 1得到 a 分2 2别等于 2 和 0.5,并作出函数 y 2

18、 及 xy 1 x的图象,所以,要想使函数 x 2 1a x在2 2区间 x 1 1, 中恒成立,只须 y 2 在区间 xx 1,1 对应的图象在 y x 2 1 在区间2名师归纳总结 第 12 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x优秀学习资料欢迎下载1,1 对应图象的上面即可；当a1 时, 只有a2才能保证,而1 2,；1 时,只有a1才可以,所以a11, 0a22由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解；利用函数图象解题时,思路是从边界处（从相等处）开头形成的；例 6：如当 Pm,n 为圆 x 2 y 1 21

19、 上任意一点时,不等式 m n c 0 恒成立,就 c的取值范畴是（）A、1 2 c 2 1 B 、2 1 c 2 1C、c 2 1 D、c 2 1解析：由 m n c 0,可以看作是点 Pm,n 在直线 x y c 0 的右侧,而点 Pm,n 在2 2 2 2圆 x y 1 1 上,实质相当于是 x y 1 1 在直线的右侧并与它相离或相切；0 1 c 0| 0 1 c | 1 c 2 1,应选 D；2 21 1其实在习题中,我们也给出了一种解恒成立问题的方法,即求出不等式的解集后再进行处理；以上介绍了常用的五种解决恒成立问题；其实,对于恒成立问题,有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题

20、；下面,给出一些练习题,供同学们练习；练习题： 1、对任意实数x,不等式asinxbcosxc0a,b,cR恒成立的充要条件是_ ；ca2b2a 的取值范畴 .5,；1,上有意义,求实数2、设ylglg2x3x9xa在79名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、当x1,3 时,Logax|1优秀学习资料欢迎下载0,1 33 ,恒成立,就实数a 的范畴是 _ ；34、已知不等式：n11n12.n1n1Logaa1 2对一切大于1 的自然数123n 恒成立,求实数a 的范畴；a ,1125第 14 页,共 31 页名师

21、归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略“ 含参不等式恒成立问题” 把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以 掩盖学问点多,综合性强,解法敏捷等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐；另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“ 函数与方程” 、“ 化归与转化” 、“ 数形结合” 、“ 分类讨 论” 等数学思想对锤炼同学的综合解题才能,培育其思维的敏捷性、制造性都有着独到的作 用；本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略；一、判别式法如所求问题可转化为二次不等式,就可考虑应用判别式法解题；一般地

22、,对于二次函数fxax2bxca0,xR , 有第 15 页,共 31 页1）fx0对xR恒成立a0; 02）fx0对xR恒成立a0 .0例 1已知函数ylgx2a1 xa2的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴；解：由题设可将问题转化为不等式x2a1 xa20对xR恒成立,即有a1 24a20解得a1 或a1；3所以实数 a 的取值范畴为,11,；3如二次不等式中x 的取值范畴有限制,就可利用根的分布解决问题；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载m 的取值范畴；x 例 2设fx x22mx2,当x,1时,fxm恒成立,

23、求实数解：设Fx x22 mx2m,就当x,1时,Fx0恒成立当4 m1 m2 0 即2m1时,Fx0明显成立；y当0 时,如图,Fx0恒成立的充要条件为：x F001解得3m2；-O 1 1 2 m2综上可得实数 m 的取值范畴为31, ；二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有：1）fxa恒成立x2afxminx2x34x240x,当x,33时,fxgx 恒2）fxa恒成立afxmax例 3已知fx 728xa,g成立,求实数 a 的取值范畴；解：设Fx fxgx2x33 x212x,c,9a,第 16 页,共 31 页就由题可知F x0对任意x3 ,3

24、 恒成立a2令Fx 6x26x120,得x1 或x而F17a,F220a,F3 45F 3Fx max45a0a45即实数 a 的取值范畴为45,；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4函数fx x22xa,x优秀学习资料欢迎下载,1,fx0恒成立,求实数,1,如对任意xxa 的取值范畴；解：如对任意x,1,fx0恒成立,即对x,1,fx x22xa0恒成立,x考虑到不等式的分母x,1,只需x22xa0在x,1时恒成立而得而抛物线gxx22xa在x,1的最小值gminx g1 3a0得a3注：此题仍可将fx变形为fxxa2,争论其单调性

25、从而求出fx最小值；x三、分别变量法如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端,从而问题转化为求主 元函数的最值,进而求出参数范畴；这种方法本质也仍是求最值,但它思路更清楚,操作性 更强；一般地有：1）fx ga a 为参数）恒成立gafxmax2）fx ga a 为参数）恒成立gafxmax实际上,上题就可利用此法解决；略解：x22xxa0在x,1时恒成立,只要ax22x在x1 ,时恒成立；而易求得二次函数hxx22x在,1上的最大值为3 ,所以a3；例 5已知函数fx ax4xx 2 x,0 4 时fx0恒成立,求实数a 的取值范畴；4xx2对x0,4恒成立；解： 将问题转化

26、为ax令gx 4x2,就agx minx由gx4xx241可知gx在0 ,4上为减函数,故gx ming4 0xx名师归纳总结 第 17 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a0即 a 的取值范畴为,优秀学习资料欢迎下载0；注：分别参数后,方向明确,思路清楚能使问题顺当得到解决；四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时,如能适时的把主元变量和参数变量进行“ 换位”摸索,往往会使问题降次、简化；例 6对任意 a 1,1 ,不等式 x 2 a 4 x 4 2 a 0 恒成立,求 x 的取值范畴；分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不

27、等式,但如把 a 看成主元,就问题可转化为2一次不等式 x 2 a x 4 x 4 0 在 a 1,1 上恒成立的问题；解：令 f a x 2 a x 24 x 4,就原问题转化为 f a 0 恒成立（a 1,1）；当 x 2 时,可得 f a 0,不合题意；f 1 0当 x 2 时,应有 解之得 x 1 或 x 3；f 1 0故 x 的取值范畴为 1, 3 , ；注：一般地,一次函数 f x kx b k 0 在 , 上恒有 f x 0 的充要条件为f 0；f 0四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“ 数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明白数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用；我们知道,函数图象和不等式有着亲密的联系：名师归纳总结 1）fxgx函数fx图象恒在函数gx图象上方；第 18 页,共 31 页2）函数图象恒在函数图象下上方；fxgxf xgx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7设fxx24x ,