2022年高一数学典型例题分析：等比数列.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等比数列 例题解析【例 1】已知 Sn 是数列 an的前 n 项和,SnpnpR,nN* ,那么数列 an A是等比数列B当 p 0 时是等比数列C当 p 0,p 1 时是等比数列D不是等比数列分析 由 SnpnnN* ,有 a1=S1p,并且当 n 2 时,an=SnSn-1pnpn-1 p1pn-1p0故 a = p 21p,因此数列 a n 成等比数列 p 1 0n 1p 1p p p 1 n 2 p 2 p p但满意此条件的实数 p 是不存在的,故此题应选 D说明 数列 an成等比数列的必要条件是 an 0nN* ,仍

2、要注a n意对任 nN *, 2,都为同一常数是其定义规定的精确含义a n 1【例 2】已知等比数列 1,x1,x2, , x2n, 2,求 x1x2x3 x2n解1,x1,x2, , x2n,2 成等比数列,公比 q 2 1q2n+1x1x2x3 x2nq q2 q3 q2n=q1+2+3+ +2n名师归纳总结 2n1+2na51,求通项公第 1 页,共 10 页= q2qn2n12n【例3】等比数列an中,1已知a = 4 2,2式； 2已知 a3a4 a58,求 a2a3a4a5a6 的值解 1a5= a q 25 2 q =1 2- - - - - - -精选学习资料 - - - -

3、- - - - - ana qn 241n学习必备1欢迎下载2n 4222a3a52 a a3a4a53 a = 8a42又 a a 6a a 5a 24a a a a a = a = 32 5【例 4】已知 a 0,b0 且 a b,在 a,b 之间插入 n 个正数 x1, x2, ,xn,使得 a, x1,x2, , xn, b 成等比数列,求证 n x x 2x na b2证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q,就 b=aqn+1n 1 bqan 1n x x 2x n n aqaq 2aq naq 2a bab2【例 5】设 a、b、c、d 成等比数列,求证：bc2ca2d b2a

4、d2证法 一a ba、b、c、 d 成等比数列bccdb2ac,c2 bd,adbc左边 =b22bcc2c22aca2d2 2bd b2=2b2 ac2c2bda2 2bcd2 a22add2ad2右边证毕证法二a、b、c、 d 成等比数列,设其公比为q,就：baq,caq2,d=aq3名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载左边 aqaq22aq2a2aq3aq2a22a2q3a2q6 =aaq32ad2=右边 证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了 b、c 的特点,

5、走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c 的路子证 求证式中右边没有 法二就是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的证法二略微麻 烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性【例 6】求数列的通项公式：1an中, a12,an+13an2 2an中, a1=2, a25,且 an+23an+1 2an0 思路：转化为等比数列解 1an+1= 3an2an+11= 3an1an 1是等比数列an1=33n-1an=3n1 n+2an+1= 2an+1a 2an+23an+12an= 0aan+1an是等比数列,即an+1an=a2 a12n-1=3

6、2n-122, , anan-1=32n-2,再留意到a2a1=3,a3a2=3 21,a4a3=3这些等式相加,即可以得到an= 31222 2n-2 = 32n111= 32n 112说明解题的关键是发觉一个等比数列,即化生疏为已知1中发觉 an1是等比数列, 2中发觉 an+1an是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种表达名师归纳总结 a 1【例7】a如实数a 1、a2、a 3、a 4都不为零,且满意a 1 2a a 222a2第 3 页,共 10 页4a a422 a = 0求证：a 1、a2、a3成等比数列,且公比为a42- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

7、- - - - 学习必备 欢迎下载证a1、a2、a3、a4 均为不为零的实数2 2 2 2 2a 1a x2a a 1a xa 2a = 0 为实系数一元二次方程等式 a 1 2a a 2 242a a 1a a 4a 22a =0 2 说明上述方程有实数根 上述方程的判别式 0,即2a a 1a 24a 1 2a a 2 22a 2=4a 22a a 20a 22a a 20又 a1、a2、a3 为实数a2a a 20a = a a 232必有a 22a a = 0 即因而 a1、 a2、a3 成等比数列又 a = 2a 4 2 a2 1 a2 3 a 22 a 1 a 3 a 22 a 1

8、 a 2 a 1 a a 3 a 1a4 即为等比数列 a1、a2、a3 的公比【例 8】如 a、b、c 成等差数列,且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列,求 b 的值解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd,由已知 bd1、b、bd 与 bd、b、bd 2 都成等比数列,有b2= b d1bdb2= bdb d2整理,得b 2= b 2d 2 b db 2= b 2d 22b2db d=2b2d 即 b=3d代入,得9d2=3dd13dd 9d2=2d14d 解之,得 d=4 或 d=0舍 b=12 【例 9】已知等差数列 an的公差和等比数列bn的公比都是d,又知 d 1,且

9、 a4=b4, a10=b10：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1求 a1与 d 的值；2b16是不是 an中的项？思路：运用通项公式列方程解 1由a = b4a 13d = a d3 9a 10= b 10a 19d = a da 1d = 33da 19 d =9dd6d32 = 0d 11 舍 或d232a 1d32d322b16=b1d15=32b1且a = a 13d =3 2 2 = b 4b4= b 13 d =2b =3 2 2b = a =32b16=32b1=32a1,假如

10、b16 是 an中的第 k 项,就32a1=a1k1d k1d=33a1=33d k=34 即 b16 是an中的第 34 项名师归纳总结 【例10】设a n是等差数列,bn= 1 2an,已知b1b2b3=21,第 5 页,共 10 页8b b b3=1,求等差数列的通项8解设等差数列 an的公差为 d,就 an=a1n1dbn= 1 2a1n1db b3= 1a 11a +2d 1= 12a +d 1b22222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由b b b3=1,解得学习必备欢迎下载2=1,代入已知条件b3=1,解得b8282b b b3=121

11、整理得b b =11784b1b2b3b1b3=88解这个方程组,得b = 2,b =1或b =1,b3= 288a1=1,d=2 或 a1=3,d=2当 a1=1,d=2 时, an=a1n1d=2n3 当 a1=3, d=2 时, an=a1n1d=52n 【例 11】三个数成等比数列,如其次个数加4 就成等差数列,再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列,求这三个数解法一按等比数列设三个数,设原数列为a, aq,aq2由已知： a,aq4,aq2成等差数列即： 2aq4=aaq2 a,aq4,aq232 成等比数列 即： aq 42=aaq2 32 aq2 = 4a a = 2

12、 a = 2 ,两式联立解得：或 9 5 q = 3 q =2 10 50这三数为：2, ,18 或 9,9,9按等差数列设三个数,设原数列为 b d,b4,b d 解法二 由已知：三个数成等比数列 即： b42=bdbd 8bd2= 16bd,b,bd32 成等比数列名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载即 b2=bdbd32 32bd232d = 0b = 10d = 8a1,a2,a3、两式联立,解得：b = 26 9或d =8 3三数为2,10,50或2, ,618999解法三任意设三个未知数

13、,设原数列为由已知： a1, a2,a3 成等比数列得：a = a a 2 13a1,a24,a3成等差数列得： 2a24=a1a3 a1,a24,a332 成等比数列得： a2 42=a1a332 a = 29 a = 210、式联立,解得：a = 9 或 a 2 = 6a = 18a = 509说明 将三个成等差数列的数设为 ad, a,ad；将三个成a等比数列的数设为 a,aq,aq 或, ,aq 是一种常用技巧,可起到q简化运算过程的作用名师归纳总结 【例 12】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第 7 页,共 10 页第一个数与第四个数的和是16,其次个数与第

14、三个数的和是12,求这四个数分析此题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为ad,a, ad,就第四个数由已知条- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 件可推得：ad2学习必备欢迎下载a方法二 设后三个数为 b,bq,bq2,就第一个数由已知条件推得为 2bbq方法三 设第一个数与其次个数分别为 x,y,就第三、第四个数依次为 12y,16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,2 a d 解法一 设前三个数为 a , , ,就第四个数为a a d 2依题意,有 a a = 16aad = 12a = 4 a = 9解方程

15、组得：或d = 4 1 d =6所求四个数为：0,4,8,16 或 15,9,3, 1解法二 设后三个数为：b,bq,bq 2,就第一个数为：2bbq 2bbqbq 2= 16依题意有：bbq = 12b = 4 b = 9解方程组得：q = 2 或 q = 13所求四个数为：0,4,8,16 或 15,9,3, 1解法三 设四个数依次为 x,y,12y,16xx12y = 2y依题意有y16x = 12y 2x = 0 x 2 = 15解方程组得：或y = 4 y 2 = 9这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3, 1【例 13】已知三个数成等差数列,其和为 126；另外三个数成等比

16、数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84求这两个数列解设成等差数列的三个数为b d,b,bd,由已知, bdbbd=126 b=42 名师归纳总结 这三个数可写成42d,42,42d第 8 页,共 10 页再设另三个数为a,aq,aq2由题设,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a42d = 85学习必备欢迎下载ap42 = 76aq 242d = 84ad = 43 整理,得 aq = 34 aq 2d = 42 解这个方程组,得a1=17 或 a2=68 当 a=17 时, q=2,d=26 当 a = 68 时,q = 1,d

17、= 252从而得到： 成等比数列的三个数为 17,34,68,此时成等差的三个数为 68,42,16；或者成等比的三个数为 68,34,17,此时成等差的三个数为 17,42,67【例 14】已知在数列 an中, a1、a2、a3 成等差数列, a2、a3、a4 成等比数列, a3、 a4、a5 的倒数成等差数列,证明：证明 由已知,有2a2=a1a3 a1、a3、 a5 成等比数列2 a = a 2a4 211a4a3a 5由,得a4=2a3a5a + a 5由,得a2=a + a3代入,得2a2=a + a32a3a 532a3a5整理,得 a3= a a + a a + a 5即a3a3

18、a5=a5a1 a3a2a a = a a5a a 532 a = a 1a5所以 a1、 a3、a5 成等比数列名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 15】已知 bclogmxcalogmyablogmz=01设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证：x,y, z 成等比数列2设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证： a,b,c 成等差数列证明 1 a,b,c 成等差数列,且公差 d 0 b c=ab=d,ca=2d 代入已知条件,得：dlogmx2logmy logmz=0 logmxlogmz=2logmy y2=xz x, y,z 均为正数x, y,z 成等比数列2x,y,z 成等比数列且公比 q 1 y=xq,z=xq2代入已知条件得：bclogmx c alogmxqablogmxq2=0 变形、整理得：ca2blogmq=0 q 1 logmq 0 c a2b=0 即 2b=a c 即 a,b, c 成等差数列名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页