2022年高一数学函数的单调性教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的单调性教学目标 1使同学懂得函数单调性的概念,并能判定一些简洁函数在给定区间上的单调性2通过函数单调性概念的教学,培育同学分析问题、熟悉问题的才能通过例题培育 同学利用定义进行推理的规律思维才能3通过本节课的教学,渗透数形结合的数学思想,对同学进行辩证唯物主义的训练教学重点与难点 教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判定教学过程设计 一、引入新课师：请同学们观看下面两组在相应区间上的函数,主要区分是什么？用投影幻灯给出两组函数的图象第一组：其次组：然后指出这两组函数之间在性质上的生：第一组函数,函数值y 随 x 的增大而增大；

2、其次组函数,函数值y 随 x 的增大而减小师：手执投影棒使之沿曲线移动对他她答得很好,这正是两组函数的主要区别当 x 变大时,第一组函数的函数值都变大,而其次组函数的函数值都变小虽然在每一名师归纳总结 组函数中, 函数值变大或变小的方式并不相同,但每一组函数却具有一种共同的性质我们第 1 页,共 7 页在学习一次函数、 二次函数、 反比例函数以及幂函数时,就曾经依据函数的图象争论过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质而这些争论结论是直观地由图象得到的在- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的集合中, 有许多函数具有这种性质,因此我们有必要对函数

3、这种性质作更进一步的一 般性的争论和争论,这就是我们今日这一节课的内容点明本节课的内容,既是曾经有所熟悉的,又是新的学问,引起同学的留意二、对概念的分析板书课题：函数的单调性师：请同学们打开课本第 一遍同学朗读51 页,请 同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读师：好,请坐通过刚刚阅读增函数和减函数的定义,请同学们摸索一个问题：这种定义方法和我们刚刚所争论的函数值 定义中是怎样描述的？y 随自变量 x 的增大而增大或减小是否一样？假如一样,生：我认为是一样的定义中的“ 当 时,都有” 描述了 y 随 x 的增大而增大；“ 当 时,都有” 描述了 y 随 x 的增大而削减师：说得特别正确 定义

4、中用了两个简洁的不等关系“” 和“或” ,它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质这就是数学的魅力！通过老师的心情感染同学,激发同学学习数学的爱好师：现在请同学们和我一起来看刚刚的两组图中的第一个函数和的图象,体会这种魅力指图说明师：图中 对于区间 a ,b 上的任意,当 时,都有,因此 在区间 a ,b 上是单调递增的,区间 a ,b 是函数 的单调增区间；而图中 对于区间 a ,b 上的任意,当 时,都有,因此 在区间 a , b 上是单调递减的,区间 a ,b 是函数 的单调减区间老师指图说明分析定义,使同学把函数单调性的定义与直观图象结合起来,使新旧知识融为一体,加深对概念的懂得渗透数形

5、结合分析问题的数学思想方法师：因此我们可以说,增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应 不把话说完,指一名同学接着说完,让同学的思维始终跟着老师生：较大的函数值的函数师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数同学可能答复得不完整,老师应指导他说完整名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师：好我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析,定义中我们应当抓住哪些关键词语,才能更透彻地熟悉定义？同学思索同学在高中阶段以至在以后的学习中常常会遇到一些概念通过阅读和分析你认为在

6、或定义 ,能否抓住定义中的关键词语, 是能否正确地、 深化地懂得和把握概念的重要条件,更是学好数学及其他各学 科的重要一环 因此老师应当教会同学如何深化懂得一个概念,以培育同学分析问题,熟悉 问题的才能老师在同学思索过程中,再一次有感情地朗读定义,并留意在关键词语处适当加重语气在同学感到无从下手时,给以适当的提示生：我认为在定义中,有一个词“ 给定区间” 是定义中的关键词语师：很好, 我们在学习任何一个概念的时候,都要善于抓住定义中的关键词语,在学习 几个相近的概念时仍要留意区分它们之间的不同增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性请大家摸索一个问题,我们

7、能否说一个函数在 x=5 时是递增或递减的？为什么？生：不能由于此时函数值是一个数师：对函数在某一点,由于它的函数值是唯独确定的常数留意这四个字“ 唯独确 定” ,因而没有增减的变化那么,我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或 是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能 比方二次函数,在 y 轴左侧它是减函数,在 y 轴右侧它是增函数因而我们不能说 是增函数或是减函数在同学答复以下问题时,老师板演函数 的图像,从“ 形” 上感知师：好他她举了一个例子来帮忙我们懂得定义中的词语“ 给定区间” 这说明函 数的单调性是函数在某一个区间上的性质,但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或

8、 减函数因此,今后我们在谈论函数的增减性时必需指明相应的区间师：仍有没有其他的关键词语？生：仍有定义中的“ 属于这个区间的任意两个” 和“ 都有” 也是关键词语师：你答的很对能说明一下为什么吗？同学不肯定能答全,老师应赐予必要的提示师：“ 属于” 是什么意思？生：就是说两个自变量,必需取自给定的区间,不能从其他区间上取师：假如是闭区间的话,能否取自区间端点？生：可以师：那么“ 任意” 和“ 都有” 又如何懂得？生：“ 任意” 就是指不能取特定的值来判定函数的增减性,而“ 都有” 就是说只要,就必需都小于,或都大于师：能不能构造一个反例来说明“ 任意” 呢？让同学摸索片刻名师归纳总结 - - -

9、 - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 生：可以构造一个反例考察函数,在区间 -2 ,2 上,假如取两个特定的值判定,明显,而,有,假设由此是-2 ,2 上的减函数,那就错了师：那么如何来说明“ 都有” 呢？生：在-2 ,2 上,当,时,有；当,时,有,这时就不能说,在 -2 ,2 上是增函数或减函数师：好极了！通过分析定义和举反例,我们知道要判定函数y=f x在某个区间内是增函数或减函数, 不能由特定的两个点的情形来判定,而必需严格依照定义在给定区间内任取两个自变量,依据它们的函数值 和 的大小来判定函数的增减性老师通过一系列的设问,使同学处于

10、积极的思维状态,从抽象到详细, 并通过反例的反衬, 使同学加深对定义的懂得在概念教学中,炼同学的发散思维才能反例常常帮忙同学更深刻地懂得概念,锻师：反过来,假如我们已知 f x在某个区间上是增函数或是减函数,那么,我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小,也可以由函数值的大小去判定自变量的大小即一般成立就特殊成立,反之,特殊成立,一般不肯定成立这恰是辩证法中一般和特殊的关系用辩证法的原理来说明数学学问,同时用数学学问去懂得辩证法的原理,这样的分析,有助于深化地懂得和把握概念,分清概念的内涵和外延,培育同学学习的才能三、概念的应用例 1 图 4 所示的是定义在闭区间-5 ,5 上的函数 fx

11、的图象, 依据图象说出f x的单调区间,并答复：在每一个单调区间上,用投影幻灯给出图象f x是增函数仍是减函数？生甲：函数 y=f x在区间 -5 ,-2 ,1 ,3 上是减函数,因此 -5 ,-2 ,1 ,3 是函数 y=f x的单调减区间；在区间 -2 ,1 ,3 ,5 上是增函数,因此 -2 , 1 ,3 ,5是函数 y=f x的单调增区间生乙：我有一个问题,-5 ,-2 是函数 f x的单调减区间,那么,是否可认为-5 ,-2 也是 f x的单调减区间呢？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师：问得好这说明你想

12、的很认真,摸索问题很严谨简洁证明：假设 f x在 a ,b 上单调增或减,就 f x在 a, b上单调增或减反之不然,你能举出反例吗？一般来说假设 f x在 a ,b 上单调增或减,且 , a ,b ,就 f x在, 增或减反之不然例 2 证明函数 f x=3x+2 在 - ,+上是增函数师：从函数图象上观看函数的单调性当然形象,但在理论上不够严格,特殊是有些函数不易画出图象, 因此必需学会依据解析式和定义从数量上分析识别,调性的基本途径指出用定义证明的必要性这才是我们争论函数单师：怎样用定义证明呢？请同学们摸索后在笔记本上写出证明过程和老师巡察,并指定一名中等水平的同学在黑板上板演同学可能会

13、对如何比较的大小关系感到无从入手,老师应给以启示师：对于和我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a,b,假如ab,那么它们的差 a-b 就大于零；假如 a=b,那么它们的差 ab 就等于零；假如 ab,那么它们的差 a-b 就小于零,反之也成立 因此我们可由差的符号来打算两个数的大小关系生：板演设,是 - ,+上任意两个自变量,当 时,所以 f x是增函数师：他的证明思路是清晰的一开头设,是 - ,+内任意两个自变量,并设边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线,并标注“ 设” ,然后看,这一步是证明的关键,再对式子进行变形,一般方法是分解因式或配成完全平方的形式, 这一步可概括为“ 作差,变

14、形” 同上,划线并标注” 作差,变形” 但美中不足的是他没能说明为什么0,没有用到开头的假设“” ,不要以为其显而易见,在这里肯定要对变形后的式子说明其符号应写明“ 由于 x 1x 2,所以,从而0,即” 这一步可概括为“ 定符号”在黑板上板演,并注明“ 定符号” 最终,作为证明题肯定要有结论,我们把它称之为第四步“ 下结论” 在相应位置标注“ 下结论” 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤,请同学们记住需要指出的是其次步,假如函数 y=f x在给定区间上恒大于零,也可以小对同学的做法进行分析,把证明过程步骤化,可以形成思维的定势在同学刚刚接触一个新的学问时, 思维定势对懂得学问本身是有益

15、的,同时对同学养成肯定的思维习惯,形成肯定的解题思路也是有帮忙的名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 调函数吗？并用定义证明你的结论师：你的结论是什么呢？上都是减函数,因此我觉得它在定义域- , 0 0,+上是减函数生乙： 我有不同的看法,我认为这个函数不是整个定义域内的减函数,由于它不符合减函数的定义比方取 x1- , 0,取 x2 0,+,明显成立, 而,明显有,而不是,因此它不是定义域内的减函数数生：也不能这样认为,由于由图象可知,它分别在- , 0和 0,+上都是减函域内的增函数,也不是定义域内的减函数,它在-

16、, 0和 0,+每一个单调区间内都是减函数因此在函数的几个单调增减区间之间不要用符号“ ” 连接另外,x=0 不是定义域中的元素,此时不要写成闭区间上是减函数老师巡察 对同学证明中显现的问题赐予点拔1分式问题化简方法一般是通分可依据同学的问题, 给出下面的提示：2要说明三个代数式的符号：k,要留意在不等式两边同乘以一个负数的时候,不等号方向要转变对同学的解答进行简洁的分析小结,点出同学在证明过程中所显现的问题,引起全体学生的重视四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容,有哪些是应当特殊留意的？请一个思路清晰,善于表达的同学口述,老师可从中赐予提示生：这节课我们学习了函数单调性的定义,要特

17、殊留意定义中“ 给定区间” 、“ 属于” 、“ 任意” 、 “ 都有” 这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最终在用定义证明函数的单调性时,应当留意证明的四个步骤名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、作业1课本 P53 练习第 1,2,3,4 题数 * +b0由此可知 * 式小于 0,即课堂教学设计说明函数的单调性是函数的一个重要性质,是争论函数时常常要留意的一个性质并且在比较几个数的大小、 对函数作定性分析、以及与其他学问的综合应用上都有广泛的应用对学生来说,函数的单调性早已有所知,然而没有给出

18、过定义,只是从直观上接触过这一性质学生对此有肯定的感性熟悉,对概念的懂得有肯定好处,但另一方面同学也会觉得是已经学过的学问,感觉乏味因此,在设计教案时,加强了对概念的分析,期望能够使同学熟悉到看似简洁的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西,其中甚至包含着辩证法的原理另外,对概念的分析是在引进一个新概念时必需要做的,对概念的深化的正确的懂得往往是同学认知过程中的难点因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义,而且想让同学对如何学会、弄懂一个概念有初步的熟悉,并且在以后的学习中学有所用仍有, 使用函数单调性定义证明是一个难点,同学刚刚接触这种证明方法,给出肯定的步骤是必要的,有利于同学懂得概念,也可以对同学把握证明方法、形成证明思路有所帮助另外, 这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路,现在提出要求,对今后的教学作肯定的铺垫名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页