2022年高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省 13 大市 2022 届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题2 21、（常州市 2022 届高三期末） 已知双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 的一条渐近线经过点 1,2 ,a b就该双曲线的离心率的值为答案 ：52、（连云港市 2022 届高三期末）等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于 A、B 两点, AB = 3,就 C 的实轴长为. 答案 ：1 2 23、（南京市、盐城市 2022 届高三期末）已知 F 、1 F 分别是椭圆 2 x y 1 的左、右焦8 4|

2、 PF 1 PF 2 |点, 点 P 是椭圆上的任意一点 , 就 的取值范畴是PF 1答案 ：0, 2 2 24、（南通市 2022 届高三期末）已知双曲线 x 22 y 22 1 的一个焦点与圆 x 2+y 210x=0 的圆a b心重合,且双曲线的离心率等于 5 ,就该双曲线的标准方程为答案 ：x 2 y 215 202 25、（徐州、淮安、宿迁市 2022 届高三期末）已知双曲线 x2 y2 1 a 0 , b 0 的右焦点a b为 F 如以 F 为圆心的圆 x 2y 2 6 x 5 0 与此双曲线的渐近线相切,就该双曲线的离心率为. 答案 ：3 556 、（ 苏 州 市 2022 届

3、高 三 期 末 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 双 曲 线2 2E : x2 y2 1 a 0, b 0 的左顶点为 A ,过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线a b交双曲线 E 于 B , C 两点,如 ABC为直角三角形,就双曲线 E 的离心率为答案 ：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、（泰州市2022 届高三期末）设双曲线x2y21的左、右焦点分别为F ,F ,点 P 为双45曲线上位于第一象限内一点,且答案 ：655,2PF F 的面积为 6,就点 P 的坐标为8、（无

4、锡市 2022 届高三期末）如图,过抛物线 y 2=2px（p0）的焦点F 的直线 L 交抛物线于点 A 、B,交其准线于点 C,如 |BC|=2|BF|,且|AF|=3,就此抛物线的方程为；答案 ：9、（扬州市2022 届高三期末）已知圆C 的圆心为抛物线y24x的y 轴都相焦点 , 又直线 4x3y60与圆 C 相切,就圆 C 的标准方程为 答案 ：x2 12 y410、（镇江市2022 届高三期末）圆心在抛物线x22y 上,并且和抛物线的准线及切的圆的标准方程为x12y1212二、解答题1、（常州市 2022 届高三期末）如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F F 分别是椭 1 2

5、2 2圆 E: x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且a bAF 2 5 BF 2 0 . （1）求椭圆 E 的离心率；名师归纳总结 （2）已知点D1,0为线段OF 的中点, M 为椭圆 E 上的动点 （异于点 A 、B ）,连接MF 1第 2 页,共 13 页并延长交椭圆E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆E 于点 P 、 Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、k ,试问是否存在常数,使得k 1k20恒成立？如存在,求出的值；如不存在,说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - -

6、 - - - - - 解：（ 1）AF 25BF 20,AF 25F B .ac5ac ,化简得 2a3c ,故椭圆 E 的离心率为 2. 3（2）存在满意条件的常数,l 4.点 D 1,0 为线段 OF 的中点,c 2,从72 2而 a 3,b 5,左焦点 F 1 2,0,椭圆 E 的方程为 x y1 .设 M x 1 , y 1,N x 2 , y 2,9 52 2P x 3 , y 3,Q x 4 , y 4,就直线 MD 的方程为 x x 1 1y 1,代入椭圆方程 x y1,整y 1 9 5理得,52 x 1 y 2 x 1 1 y 4 0 . y 1 y 3 y 1 x 1 1,y

7、 3 4 y 1.从而 x 3 5 x 1 9,故点y 1 y 1 x 1 5 x 1 5 x 1 5P 5 x 1 9 , 4 y 1.同理,点 Q 5 x 2 9 , 4 y 2. 三点 M 、F 、 N 共线,y 1 y 2,x 1 5 x 1 5 x 2 5 x 2 5 x 1 2 x 2 2从 而 x y 2 x y 1 2 y 1 y 2 . 从 而4 y 1 4 y 2y 3 y 4 x 1 5 x 2 5 x y 2 x y 1 5 y 1 y 2 7 y 1 y 2 7 k 1 4 k 2k 2x 3 x 4 5 x 1 9 5 x 2 9 4 x 1 x 2 4 x 1 x

8、 2 4 .故 k 17 0,从x 1 5 x 2 5而存在满意条件的常数,l 4. 72 2x y2、（连云港市 2022 届高三期末）已知椭圆 C：2 2 1 ab0的上顶点为 A,左,a b右焦点分别为 F1,F2,且椭圆 C 过点 P 3,b 3,以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 1求椭圆 C 的方程；2如动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问：在 x 轴上是否存在两定点,使其到直线 l 的距离之积为 1？如存在,恳求出两定点坐标；如不存在,请说明理由 . y AP名师归纳总结 F1O F2 x 第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - -

9、- - - - - - - 解： 1由于椭圆过点P4 3,b 3,所以 16 2+1 9=1,解得 a2=2, 2 分b又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以 AF 2 F2P,即b3 4 = 1, b 3 c2=c4 3c. 6 分c而 b2=a2 c 2=2 c2,所以 c2 2c+1=0,解得 c2=1, 2 故椭圆 C 的方程是x 2+y 2=1. 8 分2当直线 l 斜率存在时,设直线l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得1+2k2x 2+4kpx+2p22=0. 14 分由于直线l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 =16k2p241+2k22p22=81+2 k 2p

10、 2=0,即1+2k 2=p2. 10 分设在 x 轴上存在两点 s,0,t,0,使其到直线l 的距离之积为1,就|ks+p|kt+p|=|k2st+kps+t+p 2|k 2+1 =1, k 2+1k 2+1即st+1k+ps+t=0* ,或 st+3k2+ s+tkp+2=0 *. 由* 恒成立 ,得st+1=0 ,s+t =0.解得s=1 t= 1,或 s= 1 t=1 , 而* 不恒成立 .当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x= 2时,定点 1,0、F 21,0到直线 l 的距离之积 d1 d2= 21 2+1=1. 综上 ,存在两个定点 1,0, 1,0,使其到直线 l 的距离之

11、积为定值 1. 16 分3、（南京市、盐城市 2022 届高三期末）如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知椭圆2 2C : x2 y2 1 a b 0 经过点 M 3 2, 2,椭圆的离心率 e 2 2 , F 、F 分别是椭a b 3圆的左、右焦点 . 1求椭圆 C 的方程；名师归纳总结 2过点 M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、 B . 第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如直线 MA 过坐标原点 O, 试求 MAF 外接圆的方程；如AMB 的平分线与y 轴平行 , 摸索究直线AB 的斜率是否为定值？如是,

12、 请赐予证明；如不是 , 请说明理由 . 解: 1由e2 2,c22 aa2b28,得a29 b,故椭圆方程为x2y21 3a299 b 2b23分名师归纳总结 又 椭 圆 过 点M3 2,2, 就1821, 解 得b24, 所 以 椭 圆 的 方 程 为第 5 页,共 13 页9b2b22 xy21 5 分3642记MF F 的外接圆的圆心为T .由于k OM1,所以 MA 的中垂线方程为y3x , 3又由M32,2, F 24 2,0,得MF 的中点为7 2,2,而kMF21,22所以MF 的中垂线方程为yx3 2,由yx3x,得T3 2,9 2 8 分y3 244所以圆 T 的半径为42

13、3 22094225 5,42故MAF 的外接圆的方程为x3 22y9 22125 10 分444说明 :该圆的一般式方程为x23 2xy29 2y200 223设直线 MA 的斜率为 k ,A x y 1,B x 2,y 2,由题直线MA 与 MB 的斜率互为相反- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ykx23 2 k数,直线 MB 的斜率为k.联立直线MA与椭圆方程：x22 y412,36整理得2 9 k12 x18 2 k1 3 k x162 k2108 k18 0,得x 118 2 3 k2k3 2,9 k21所以x 22 18 2 3 kk3 2

14、,整理得x2x 13622 k,x 2x 110822k6 2 139 k 219 k19k1分又 y 2 y 1 kx 2 2 3 2 k kx 2 2 3 2 k k x 2 x 1 6 2 k12 2 k=9 108k 2 k1 312 2 k 129 k 2 2 k1,所以 k AB yx 22 x y1 136 2 9 k 2k 1 13 为定值 16 分29 k 14、（南通市 2022 届高三期末）已知左焦点为 F 1,0的椭圆过点 E1,2 3 过点 P1,31分别作斜率为 k1,k2的椭圆的动弦 AB,CD ,设 M, N 分别为线段 AB,CD 的中点（1）求椭圆的标准方程

15、；（2）如 P 为线段 AB 的中点,求 k1；（3）如 k1+k2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标解：依题设c=1,且右焦点F 1, 02 32 3,b2=a 2c 2=2,4 分所以, 2a= EFEF =12 12 3233故所求的椭圆的标准方程为2 x3y21 21,2 x 2y2 212设 A1x,y ,Bx ,2y,就2 x 12 y 132329 分,得x 2x 1x2x 1y2y 1y2y10322 3 所以, k1=y 2y 12x 2x 14xPx 2x 13y2y 16yP3依题设, k1 k2名师归纳总结 设 Mx ,y M,直线 AB 的方程为 y1=k1

16、x 1,即 y=k1x+1k1,亦即 y=k1x+k2,第 6 页,共 13 页代入椭圆方程并化简得232 k 12 x6 k k x2 3 k 260- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是,xM23 k k 1 2,yM22k2 11 分32 k 132 k 1同理,xN23 k k 1 2,y N22k 123 k2 23k2当 k1k2 0 时,直线 MN 的斜率 k=yMyN46k2k k 1k 12 k 1=106k k 1 13 分x2xxN9 k k k29 k k 1M直线 MN 的方程为y22 k 223 k 1106 k k 1x2

17、3k k 223 k 1,9 k k 1即y1096k k 1x1096k k13 k k222 k2,k k 2 1k k 122 3 k 12 3 k 1亦即y106k k 1x2 39 k k 1此时直线过定点0,2 3 15 分当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点0,2 3综上,直线MN 恒过定点,且坐标为0,2 3 16 分5、（徐州、淮安、宿迁市2022 届高三期末）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E:x2y21ab0的焦距为 2,且过点2,6. a2b22（1）求椭圆 E 的方程；（2）如点 A , B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点 B

18、且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A , B 的任意一点,直线AP 交 l 于点M.（）设直线OM的斜率为k1,直线 BP 的斜率为k ,求证：k1k2为定值；（）设过点M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证：直线 m 过定点,并求出定点的坐标. yPMAOBml答案 ：名师归纳总结 由题意得2c2,所以c1,又2+31, ,2 分第 7 页,共 13 页a222 b消去 a 可得,2 b45b230,解得b23或b21（舍去）,就a242- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以椭圆 E 的方程为x2y21 4 分43（）设 P x y 1 y

19、1 0,M 2, y 0 ,就 k 1 y 0,k 2 y 1,2 x 1 22由于 A P B 三点共线,所以 y 0 4 y 1, 所以,k k 2 y y 0 1 42 y 1,8 分x 1 2 2 x 1 2 2 x 1 42由于 P x 1 , y 1 在椭圆上,所以 y 1 2 3 4 x 1 2,故 k k 2 42 y 1 3 为定值 10 分4 2 x 1 4 2（）直线 BP 的斜率为 k 2 y 1,直线 m 的斜率为 k m 2 x 1, x 1 2 y 1就直线 m 的方程为 y y 0 2 x 1 x 2, 12 分y 12 2y 2 x 1 x 2 y 0 2 x

20、 1 x 22 x 1 4 y 1 2 x 1x 2 x 1 4 4 y 1y 1 y 1 y 1 x 1 2 y 1 x 1 2 y 12 22 x 1 x 2 x 1 4 12 3 x 1 = 2 x 1 x 2 x 1= 2 x 1 x 1,y 1 x 1 2 y 1 y 1 y 1 y 1所以直线 m 过定点 1,0 16 分6、（苏州市 2022 届高三期末）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 是椭圆2 2E : x2 y2 1 a b 0 的左焦点,A , B , C 分别为椭圆 E 的右、下、上顶点,满意a bFC BA 5,椭圆的离心率为 12（1）求椭圆的方程；（

21、2）如 P 为线段 FC （包括端点）上任意一点,当 PA PB 取得最小值时,求点 P 的坐标；（3）设点 M 为线段 BC （包括端点）yM A x上的一个动点,射线MF 交椭圆于点C N ,如 NFFM ,求实数的取值范畴O N B 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 ：7、（泰州市 2022 届高三期末） 直角坐标 XOY中,已知椭圆 C：的左、右顶点分别是 A1,A2,上、下顶点为 B2,B1,点 是椭圆 C上一点,直线 PO分别交 于 M,N；（1）求椭圆离心率；（2）如 MN,求椭圆 C的方程；（

22、3）在（ 2）的条件下,设 R点是椭圆 C上位于第一名师归纳总结 象限内的点,是椭圆 C的左,右焦点, RQ平第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分 且与 y 轴交于点 Q,求点 Q纵坐标的取值范畴；解： 1P3a , 54b , 51 分xKA 2B2 KOP=-1, 4b2=3a2=4a2-c2, a 2=4c2, e=1 4分22MN=421=121,a22 b772 ab212a2b2由得, a2=4,b 2=3, 2 x2 y1 .843（3）cos =cos,RF1RQ=RF2RQ . .10RF1RQRF2RQ1x

23、0,y 0x 0,ty0 1x 0,y 02x 0,t2y0x 012y 02x 01y0化简得：t=-1y0 .14分30y03 ,t-3 ,0 3 分 .168 、 （ 扬 州 市2022届 高 三 期 末 ） 如 图 , 已 知 椭 圆E 方 程 为Cy2 xy21 ab0,圆E 方程为x2y22 a ,过椭圆的左ADBO2 a2 b顶点 A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆E 和圆E 分别相交于B、C（）如k 11时, B 恰好为线段AC 的中点,试求椭圆E 的离心率 e；1（）如椭圆E 的离心率e=1 2,F 为椭圆的右焦点, 当|BA|BF 2|2 a 时,求1k 的值；（）设D 为

24、圆E 上不同于A 的一点,直线AD 的斜率为2k ,当k 12 b时,试问直线k 2a2BD 是否过定点？如过定点,求出定点坐标；如不过定点,请说明理由名师归纳总结 解：（）当2k 11时,点 C 在 y 轴上,且C0,a ,就Ba a ,2 2,由点 B 在椭圆上,第 10 页,共 13 页得a a22b21, 2 分2 2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b21,2 e2 c1b22,e6 4 分a232 aa233（）设椭圆的左焦点为 F ,由椭圆定义知,| BF 1 | | BF 2 | 2 a ,| BF 1 | | BA ,就点 B 在

25、线段 AF 的中垂线上,x B a c, 6 分2又 e c 1,c 1a ,b 3a ,x B 3 a,a 2 2 2 4代入椭圆方程得 y B 7b = 21a ,k 1 y B= 21 9 分4 8 x B a 2（）法一：由 yx 22 k xy2 2 a1, ,得 x 2a 2 a 2 k 1 2 xb 2 a 20,a b2 2 2 x a ,或 x a b2 k a2 2 ,b a k 12 2 2 2x B a ,x B a b2 k a2 2 ,就 y B k x B a 22 ab k2 12 11 分b a k 1 b a k 1由 y2 k 22 x a2 ,得 x 2

26、a 2k 2 2x a 20,x y a ,2 2得 x a ,或 x a 1 k2 2 ,同理,得 x D a 1 k2 2 ,y D 2 ak 22, 13 分1 k 2 1 k 2 1 k 242 b 2当 k 1 b 22 时,x B a ba4 2 k 2 a a2 2b k2 22 2 2,y B 22 ab k 22 22,k 2 a 2 b 2 a b k 2 a b k 2b 2 k 2a22 ab k 2 2 ak 22 2 2 2k BD a2 b k2 2 2 1 k 22 1,BD AD ,E 为圆,a a b k 2 a 1 k 2 k 22 2 2 2a b k

27、2 1 k 2ADB 所对圆 E 的弦为直径,从而直线 BD 过定点（ a,0） . 16 分法二：直线 BD 过定点 ,0, 10 分证明如下：名师归纳总结 设P a ,0,B x B,yB,就：x B2yB21 ab0第 11 页,共 13 页a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k ADk PB2 ak k PBa2xyByBaa22 y Ba2b21,16 分2 b2 bBa x Bb22 x B2 ab2a2所以 PBAD ,又 PDADP a ,0；. 所以三点P B D 共线,即直线BD 过定点9、（镇江市 2022 届高三期末） 已

28、知椭圆 O 的中心在原点, 长轴在 x 轴上, 右顶点A2,0到m 交椭圆右焦点的距离与它到右准线的距离之比为3 . 不过 A 点的动直线 2y1x2O 于 P,Q 两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值；名师归纳总结 （3）过点A,P,Q 的动圆记为圆C,动圆 C 过不同于 A 的定点,恳求出该定点坐标. 第 12 页,共 13 页19.解：（ 1）设椭圆的标准方程为x 2y21ab0.由题意得a2 e3. 2 分a2b22c3, b1, 2 分椭圆的标准方程为x22 y1. 4 分4（2）证明：设点P x 1,y 1,Qx 2,y 2将y1xm带入椭圆,

29、化简得：x22 mx2 2 m1012x 1x 22 ,x x22 2 m1, 6 分x22 x 2x 1x222x x24, 1P,Q 两点的横坐标的平方和为定值4. 7 分（3） 法一 设圆的一般方程为:x2y2DxEyF0,就圆心为（D,E）, 22PQ 中点 M m , m2, PQ 的垂直平分线的方程为:y2x3m, 8 分2圆心（D,E）满意y2x3m,所以ED3m 2 , 9 分22222圆过定点 2,0,所以 42DF03 , 10 分圆过P x 1,y1,Q x2,y2, 就2 x 1y2 1Dx 1Ey 1F0,两式相加得：x2 2y2 2Dx2Ey2F0,x 12x22y

30、 12y22Dx1Dx2Ey1Ey22F0,x 12x221x 121x22D x 1x2E y1y 22F0, 11 分44y 1y 2m, 52mDmE2F04 . 12 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于动直线y1xm 与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以m1,2由2 3 4 解得 :D3m1,E3m3,3F3 2m5, 13 分舍. 4222代入圆的方程为：x2y23m1x3m3y3 2m50, 4222整理得：x2y23x3 2y5 2m3xy30, 14 分4422x2y23 4x3 2y50, 15 分解得：x0,或x2,2所以：3x3 2y30,y1,y042所以圆过定点 0,1. 16 分名师归纳总结 法二 设圆的一般方程为:x2y2DxEyF0,将y1xm代入的圆的方程: 第 13 页,共 13 页25x2mDExm2mEF05 . 8 分42方程 1 与方程 5 为同解方程 .1m2 mE2m21F