2022年高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点高考数学圆锥曲线部分学问点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中,假如某曲线 C看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系： 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线；点与曲线的关系：如曲线C的方程是 fx,y=0,就点 P0x 0,y 0 在曲线 C上fx0,y 0=0 ；点 P0x 0,y 0不在曲线C上fx0,y 0 0；两条曲线的交点： 如曲线 C1,C2的方程分别为f 1x

2、,y=0,f2x,y=0,就点 P0x 0,y 0 是 C1,C2的交点f1x 0,y00方程组有 nf2x 0,y00个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有交点；二、圆：1、定义： 点集 M OM =r ,其中定点 O为圆心,定长 r 为半径 . 2、方程： 1 标准方程：圆心在 ca,b,半径为 r 的圆方程是 x-a 2+y-b 2=r 2圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x 2+y 2=r 22 一般方程：当 D 2+E 2-4F0 时,一元二次方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为 D, E 半径是2 2D 2E 2

3、4 F；配方,将方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为 x+ D 2+y+ E 2= D 2E 2-4F2 2 2 4当 D 2+E 2-4F=0 时,方程表示一个点 -D ,-E ; 2 2当 D 2+E 2-4F 0 时,方程不表示任何图形 . （ 3）点与圆的位置关系 已知圆心 Ca,b, 半径为 r, 点 M的坐标为 x 0,y 0,就 MC r 点 M在圆 C 内, MC =r 点 M在2 2圆 C上, MC r 点 M在圆 C内,其中 MC = x 0-a y 0-b；（ 4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切

4、 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点；直线和圆的位置关系的判定：i 判别式法； ii 利用圆心 Ca,b 到直线 Ax+By+C=0的距离 d Aa2 Bb2 C与半径 r 的大A B小关系来判定；三、圆锥曲线的统肯定义：平面内的动点 Px,y 到一个定点 Fc,0 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 ee 0, 就动点的轨迹叫做圆锥曲线；其中定点 Fc,0 称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率；当 0 e1 时,轨迹为椭圆；当 e=1 时,轨迹为抛物线；当 e1 时,轨迹为双曲线；四、椭圆、双曲线、抛物线：名师归纳总结 定义椭圆双曲线e抛物

5、线第 1 页,共 22 页1到两定点F1,F 2 的距离之和为1到两定点 F1,F 2的距离之差的肯定与定点和直线的距离相等的点的值为定值 2a02a|F1F2| 的点的轨迹迹2与定点和直线的距离之比为轨迹 . 2与定点和直线的距离之比为定值定值 e 的点的轨迹 . （ 0e1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轨迹条件点集： M MF1+MF2名师总结优秀学问点点集 M MF=点 M到直线 l点集： M MF1- MF2 . =2a, F 1F2 2a= 2a, F2F2 2a. 的距离 . 图形方标准x2y21ab0 x2y21a0,b0 y22p

6、x方程a2b2a2b2程参数x ay b 参数cos sin 为离心角）x ay b 参数sec tan 为离心角）x y2 2pt pt2t 为参数 方程范畴 a x a, b y b |x| a , yR x 0 名师归纳总结 中心原点 O（0,0）. 原点 O（ 0, 0）0,0 第 2 页,共 22 页顶点a,0, a,0, 0,b , a,0, a,0 0, b 对称轴x 轴, y 轴；x 轴, y 轴 ; x 轴长轴长 2a, 短轴长 2b 实轴长 2a, 虚轴长 2b. 焦点F1c,0, F2 c,0 F1c,0, F2 c,0 F p 20,准线x=a2x=a2x=-p 2cc

7、准线与焦点位于顶点两侧,且到准线垂直于实轴,且在两顶点的内准线垂直于长轴,且在椭圆外侧 . 顶点的距离相等.焦距2c （ c=a2b2）2c （ c=a2b2）e=1 ec0e1 ece1离心率aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. y2y与x2y2共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.x2a2b2a2b2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x2y20. a2b2x0时,它的双曲共渐近

8、线的双曲线系方程：x2y20的渐近线方程为x2y20假如双曲线的渐近线为2b22b2baaa线方程可设为x2y20.22ab【备注 2】抛物线：（ 1）抛物线 y 2=2pxp0 的焦点坐标是 p ,0 ,准线方程 x=-p,开口向右；抛物线 y 2=-2pxp0 的焦点坐标是 -p ,0 ,2 2 2准线方程 x= p ,开口向左；抛物线 x 2=2pyp0 的焦点坐标是 0, p ,准线方程 y=-p,开口向上；2 2 2抛物线 x 2=-2py （p0）的焦点坐标是（0,-p ）,准线方程 y= p ,开口向下 . 2 2（ 2）抛物线 y 2=2pxp0 上的点 Mx0,y0 与焦点

9、F 的距离 MF x 0 p；抛物线 y 2=-2pxp0 上的点 Mx0,y0 与焦点 F 的2距离 MF px 02（ 3）设抛物线的标准方程为 y 2=2pxp0 ,就抛物线的焦点到其顶点的距离为 p ,顶点到准线的距离 p ,焦点到准线的距离为2 2p. （ 4）已知过抛物线y2=2pxp0 焦点的直线交抛物线于A、B 两点,就线段AB称为焦点弦,设Ax1,y1,Bx2,y2,就弦长AB =x 1x 2+p 或AB2p 为直线 AB的倾斜角 ,y 1y 2p2,x 1x2p2,AFx 1p AF 叫做焦半径 . sin242五、坐标的变换：（ 1）坐标变换：在解析几何中,把坐标系的变换

10、 如转变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时,点的位置,曲线的外形、大小、位置都不转变,仅仅只转变点的坐标与曲线的方程 . （ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不转变,只转变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴；（ 3）坐标轴的平移公式： 设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y ,在新坐标系x Oy 中的坐标是x y.设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy 中的坐标是 h,k,就xxh或xxhyykyyk叫做平移 或移轴 公式 . （ 4）中心或顶点在 h,k的圆锥曲线方程见下表：第 3 页,共 22 页名师归纳总结 -

11、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方h程y-k2=1 名师总结优秀学问点焦线+h 对称轴焦点x-2 c+h,k x=a2x=h +a2b2cy=k 椭圆x-h2+y-k2 =1 h, c+k y=a2+k x=h y=k b2a2cx-h2-y-k2=1 c+h,k x=a2+k x=h a2b2cy=k 双曲线y-k2-x-h2=1 h, c+h y=a2+k x=h a2b2cy=k p +h,k 2x=-p +h 2y=k y-k2=2px-h y-k2=-2px-h -p +h,k 2x=p +h 2y=k 抛物线x-h2=2py-k h, p +

12、k 2y=-p +k 2x=h x-h2=-2py-k h,- p +k 2y=p +k 2x=h 六、椭圆的常用结论：1.S点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P处的外角,就焦点在直线PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.如P x0,y0在椭圆x2y21上,就过P 的椭圆的切线方程是x xy y1 . a22 ba2b26.如P x0,y0在椭圆x2y21外,就过0P 作椭圆的两条切线切点为P1、P2

13、,就切点弦P1P2的直线方程是x x 0y y 01. a22 ba2b27.椭圆x2y21 a b 0 的左右焦点分别为F1, F 2,点 P为椭圆上任意一点F PF2,就椭圆的焦点角形的面积22ab为F PF 12b2 tan2.8.椭圆x2y21（ ab 0）的焦半径公式|MF 1|aex ,|MF2|aex F 1c,0 ,F2 ,0M x 0,y 0. a2b29.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P、Q两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、名师归纳总结 第 4 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

14、- - - - - 名师总结 优秀学问点N两点,就 MF NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M, A2P 和 A1Q交于点 N,就 MF NF. 11.AB是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,M x 0y0为 AB的中点,就kOMkABx02b2,即K ABb2x 0；a22 ba2a2y 012.如P x0,y0在椭圆x2y21内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x x 0y y 0y02；a22 ba2b2a2b2【推论】：2 2 2 2 2 21、如 P x 0 , y 0 在椭圆 x2 y2

15、1 内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是 x2 y2 x x2 y y2；椭圆 x2 y2 1（aba b a b a b a b2 2 o）的两个顶点为 A 1 a ,0 , A 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 x2 y2 1 . a b2 22、过椭圆 x2 y2 1 a 0, b 0 上任一点 A x 0 , y 0 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,就直线 BC有定向且a b2k BC b x2 0（常数） . a y 02 23、如 P 为椭圆 x2 y2 1（a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F

16、 2 是焦点 , PF F 2 , PF F 1,就a ba ctan co t . a c 2 22 24、设椭圆 x2 y2 1（ a b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在PF1F2 中,记 F PF 2 , a bPF F 2 , F F P,就有 sin ce . sin sin a2 25、如椭圆 x2 y2 1（a b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2,左准线为 L,就当 0e2 1 时,可在椭圆上求一点 P,使a b得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 2 26、P 为椭圆 x2 y2 1（a b 0）上任一点 ,

17、F1,F 2为二焦点, A为椭圆内肯定点, 就 2 a | AF 2 | | PA | | PF 1 | 2 a | AF 1 | ,a b当且仅当 A F 2 , P 三点共线时,等号成立 . 2 27、椭圆 x x2 0 y2 y 0 1 与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是 A a 2 2B b 2 2 Ax 0 By 0 C 2. a b2 28、已知椭圆 x2 y2 1（a b 0）,O为坐标原点, P、Q为椭圆上两动点, 且 OP OQ .（1）12 12 12 12 ;a b | OP | | OQ | a b2 2 2 2（ 2）|OP| 2+|OQ| 2的最大值为

18、 4a b2 2 ; （ 3）S OPQ 的最小值是 a b2 2 . a b a b名师归纳总结 第 5 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2 29、过椭圆 x2 y2 1（a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N两点,弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P,就| PF | e. a b | MN | 22 210、已知椭圆 x2 y2 1（ a b 0） ,A 、 B、是椭圆上的两点,线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点 P x 0 ,0 , 就a b2 2 2 2a b a bx 0 . a a

19、2 211、设 P 点是椭圆 x2 y2 1（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、 F2为其焦点记 F PF 2,就a b21 | PF 1 | PF 2 |1 2cos b .2 S PF F 1 2 b 2 tan2 . 2 212、设 A、 B 是椭圆 x2 y2 1（ a b0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB , PBA , BPA,a b2 2 2c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有 1 | PA | 22 ab | cos2 2 | .2 tan tan 1 e .3 2S PAB 22 a b2 cot . a c co s b a2 213、已知椭圆 x

20、2 y2 1（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点 , 点 C 在a b右准线 l 上,且 BC x轴,就直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16、椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . （注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）

21、17、椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 七、双曲线的常用结论：1、 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P 处的 内角 . 2、 PT平分 PF1F2在点 P 处的内角,就焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 . 3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 . 4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 . （内切： P 在右支；外切： P 在左支）2 25、如 P x 0 , y 0 在双曲线 x2 y2 1（ a 0,b 0）上

22、,就过 0P 的双曲线的切线方程是 x x2 y y2 1 . a b a b2 26、如 P x 0 , y 0 在双曲线 x2 y2 1（ a 0,b 0）外,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2,就切点弦 P1P2 的直线方a b程是 x x2 y y2 1 . a b2 27、双曲线 x2 y2 1（ a0,b o）的左右焦点分别为 F1, F 2,点 P 为双曲线上任意一点 F PF 2,就双曲线的焦点角形a b的面积为 S F PF 1 2 b co 2t . 2名师归纳总结 第 6 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

23、- - 8、双曲线x2y2名师总结优秀学问点M x0,y 0在右支上时,F 的双曲线1（a 0,b o）的焦半径公式：F 1c,0 , F 2 ,0）当a2b2|MF1|ex 0a ,|MF2|ex 0a ；当M x 0,y0在左支上时,|MF 1|ex 0a ,|MF2|ex 0a ；9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ分别交相应于焦点准线于 M、 N两点,就 MFNF. 10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 1、 A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M, A2P 和 A1Q交于点

24、N,就 MFNF. 11、 AB是双曲线2 xy21（a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦,M x 0y0为 AB的中点,就KOMKABb2x0,即2 ab2a2y0K ABb2x0；a2y0x2y21（ a 0,b 0）内,就被Po 所平分的中点弦的方程是x xy yx02y02. 12、如P 0x 0,y 0在双曲线2 ab2a2b2a2b213、如P 0x 0,y 0在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内,就过Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x xy y. 2 ab2a2b2a2b2【推论】：2 21、双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0）的两个顶点为 A 1 a ,0 , A 2

25、 ,0,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2 交a b2 2点的轨迹方程是 x2 y2 1 . a b2 22、过双曲线 x2 y2 1（ a0,b o）上任一点 A x 0 , y 0 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,就直线 BC有定a b2向且 k BC b x2 0（常数） . a y 02 23、如 P为双曲线 x2 y2 1（ a0,b 0）右（或左） 支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 , PF F 2 , PF F 1,a b就 c a tan co t（或 c a tan co t） . c a 2 2 c a 2 2

26、2 24、设双曲线 x2 y2 1（ a0,b 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点） 为双曲线上任意一点, 在 PF1F2中,记 F PF 2 , a bPF F 2 , F F P,就有 sin ce . sin sin a2 25、如双曲线 x2 y2 1（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,就当 1 e2 1时,可在双曲线上求一点a bP,使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 . 2 26、 P为双曲线 x2 y2 1（ a0,b 0）上任一点 ,F1,F 2为二焦点, A 为双曲线内肯定点,就 | AF 2 | 2 a

27、| PA | | PF 1 | , 当a b名师归纳总结 第 7 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点且仅当 A F 2 , P 三点共线且 P 和 A F 在 y 轴同侧时,等号成立 . 2 27、双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0）与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是 A a 2 2B b 2 2C 2. a b2 28、已知双曲线 x2 y2 1（b a 0）,O为坐标原点, P、 Q为双曲线上两动点,且 OP OQ. a b2 2 2 2（ 1）12 12 12 12 ; （ 2） |OP| 2

28、+|OQ| 2的最小值为 4a b2 2 ; （ 3）S OPQ 的最小值是 a b2 2 . | OP | | OQ | a b b a b a2 29、过双曲线 x2 y2 1（ a 0,b 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P,就a b| PF | e. | MN | 22 210、已知双曲线 x2 y2 1（ a0,b 0）,A 、B是双曲线上的两点,线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点 P x 0 ,0 , 就a b2 2 2 2a b a bx 0 或 x 0 . a a2 211、设 P 点是双曲线 x2 y2 1（

29、a0,b 0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、F2为其焦点记 F PF 2,就a b21 | PF 1 | PF 2 | 2 b .2 S PF F 1 2 b 2 cot . 1 cos 22 212、设 A、B 是双曲线 x2 y2 1（ a0,b 0）的长轴两端点, P 是双曲线上的一点,PAB , PBA , BPA,a b2c、 e 分别是双曲线的半焦距离心率,就有 1 | PA | 22 ab |cos2 2 | . | a c co s |2 22 tan tan 1 e .3 2S PAB 22 a b2 cot . b a2 213、已知双曲线 x2 y2 1（a0,b 0）

30、的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B两点 ,a b点 C 在右准线 l 上,且 BC x轴,就直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16、双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . 注 : 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . 17、双曲线焦三角形

31、中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18 双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 . 八、抛物线的常用结论：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - ay2bycx顶点4 acb2b. ;x222py名师总结优秀学问点xx2 y2pyx4a2 ap0就焦点半径为PFyP. y22pxp0就焦点半径PFxP22通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. pt2（或x2pt2）（ t 为参数） . y22px（或x22py）的参数方程为xy2pty2pty22pxy22pxx2

32、2pyy y y图形xOxOFOp 2O焦点F p 2, 0Fp, 0 F0 ,p 0 ,22名师归纳总结 准线x0,ypRx 轴xxpR（ 0,0 ）yR , yp0y轴xyp 20第 9 页,共 22 页222范畴x0,yxR , y对称轴顶点离心率PFpx1PFpx 1e1PFpy1PFpy1焦点2222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x2/a2+y2/b2=1 ab0 x2/a2-y2/b2=1 a0,b0 -ay2=2px p0 范畴x -a,a y -b,b x - ,

33、 - a a,+ yRx0,+ y R对称性关于 x 轴 ,y 轴, 原点对称关于 x 轴,y 轴, 原点对称关于 x 轴对称顶点a,0,-a,0,0,b,0,-b a,0,-a,0 0,0 焦点c,0,-c,0 c,0,-c,0 p/2,0 准线【其中 c2=a2-b2 】【其中 c2=a2+b2 】x=-p/2 x= a2/cx= a2/c渐近线y= b/ax离心率e=c/a,e 0,1e=c/a,e 1,+ e=1 焦半径 PF1 =a+ex PF2 =a -ex PF1 = ex+a PF2 = ex PF =x+p/2焦准距p=b2/c 为参p=b2/c p 通径2b2/a 2b2/a 2p 参数方程x=a cos y=b sin ,x=a sec x=2pt2 y=2pt,t过圆锥曲数y=b tan , 为参数为参数x0 x/a2+y0 y/b2=1y0 y=px+x0x0x/a2-y0 y/b2=1线上一点x0,y0的切线 方程y=kx a2 k2-b2 y=kx+p/2k 斜率 为 ky=kx a2 k2+b2的切线方程椭圆名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学