2022年高一数学知识点汇总讲解大全3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学学问点汇总（高一）高中数学学问点汇总（高一） . 1一、集合和命题 . 2二、不等式 . 4三、函数的基本性质 . 6四、幂函数、指数函数和对数函数 . 12（一）幂函数 . 12（二）指数 & 指数函数 . 13（三）反函数的概念及其性质 . 14（四）对数 & 对数函数 . 15五、三角比 . 17六、三角函数 . 24名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：复数集

2、； aAa 属于集合 A； aAa 不属于集合 A（3）常用的数集：N自然数集；N*正整数集； Z整数集；Q有理数集； R实数集；空集； CZ正整数集；Q正有理数集；R正实数集Z负整数集Q负有理数集R负实数集（4）集合的表示方法：集合有限集列举法；x x1无限集描述法例如：列举法： , , , , z h a n g ；描述法： （5）集合之间的关系：AB集合 A是集合 B 的子集；特殊地,AA ；ABACBCAB或AB集合 A 与集合 B 相等；AB AB集合 A 是集合 B 的真子集例： NZQRC ； NZQRC 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：ABx

3、xA 且xB 集合 A与集合 B 的交集；并集：ABxxA 或xB 集合 A与集合 B 的并集；补集：设 U 为全集,集合A 是U 的子集,就由 U 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做集合 A在全集 U 中的补集,记作CUAUC B；C UAUB C AIC B第 2 页,共 28 页得摩根定律：C UAIBC A名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （7）集合的子集个数：2n2如集合 A有n nN*个元素,那么该集合有2 n 个子集； 2 n1 个真子集； 2n1个非空子集；个非空真子集二、四种命题的形式：（1）命题：能判定真假的语句

4、（2）四种命题：假如用和分别表示原命题的条件和结论,用和分别表示和的否定,那么四种命题形式就是：命题如原命题逆命题；如否命题逆否命题表示形式,就如,就,就；如,就逆命题关系原命题逆命题逆否命题否命题否命题关系原命题否命题逆否命题逆命题逆否命题关系原命题逆否命题逆命题否命题同真同假关系（3）充分条件,必要条件,充要条件：说,是如,那么叫做的充分条件,叫做的必要条件；的必要条件,也就是如且,即,那么既是的充分条件,又是的充分必要条件,简称充要条件欲证明条件是结论的充分必要条件,可分两步来证：第一步：证明充分性：条件结论；其次步：证明必要性：结论条件（4）子集与推出关系：设 A、 B 是非空集合,A

5、xx 具有性质,Byy 具有性质,就AB与等价小明是中国人结论：小范畴大范畴；例如：小明是上海人小范畴是大范畴的充分非必要条件；大范畴是小范畴的必要非充分条件名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、不等式一、不等式的性质：不等式的性质1、ab,b0 ,cac；*bd；2、abcacbc；d；1 3、ab,c0acbc4、ab,d0acb11 b；5、abcd0ac6、ab0a7、ab0anbnnN；8、ab0nanbnN* n二、一元一次不等式：一元一次不等式axba0a0b0a0bR0解集xbxbaa三、一元二次不

6、等式：ax2bxc0a0b24 ac0b24ac0b24ac0y的根的判别式0ax2bxcaax2bxc0a0x 1x2,x 1x2x0ax2bxc0a0,x 1Ux2,x0Rx0,Rax2bxc0a0x 1 x2,R2axbxc0a0x 1Ux22x0axbxc0a0x 1x2四、含有肯定值不等式的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）ababab；（2）a 1a 2a na 1a2an五、分式不等式：（1）axb0 axb cxdR0；（2）ax cxb0aaxbcxd0a0Ra0cxdd六、含肯定值的

7、不等式：xaxxaxaa0a0a0aa0a0a00xa0aax0axaaxaxa 或xa 或x七、指数不等式：（1）afxax a1 fx x；（2）afx ax0a1 fx x 八、对数不等式：（1）logafxlogax a11 fx0x ；x （2）logafxlogax 0afx0x fx九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：a2b22 aba、bR,当且仅当ab时取“” 号 ；” 号 ；a2baba、bR,当且仅当ab时取“” 号 ；补充公式：a222 ba2bab121aba3b3c33 abca、b、cR,当且仅当abc时取“” 号 ；abc3abca、b、cR,当且仅当ab

8、c时取“3a 1a2nanna 1a2ann为大于 1 的自然数,a 1,a2,anR,当且仅当a1a2an时取“” 号 ；（2）证明不等式的常用方法：名师归纳总结 比较法；分析法；综合法第 5 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）如 自变量x对应法就f因变量 y ,就 y 就是 x 的函数,记作yfx,xD；函数的 定义域 ； y 的取值范畴函数的 值域x的取值范畴 D求定义域一般需要留意：y1,f x 0；f x ynf x ,f x 0；f x yf x 0,f x 0；ylogaf x ,f

9、 x 0；1ylog fxN ,f x 0且（2）判定是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线,与图像最多只有一个公共点；（3）判定两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法就是否相同二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数yfx,xD“ 定义域 D 关于 0 对称” 成立“ 定义域 D 关于 0 对称” ；“fxfx ” ； “f x fx ”前提条件fxfxf x fx不成立 或者成立成立成立、都不成立奇偶性偶函数奇函数非奇非偶函数奇偶函数关于 y 轴对称关于O0 ,0对称图像性质留意： 定义域包括 0 的奇函数必过原点O 0,0（2）单调性和最值：名师归纳总结 前提条件x0yf

10、x,xxD,ID,任取x x 2区间I第 6 页,共 28 页x 12x 1x2单调增函数fx2或fx 2fx 1fx 1单调减函数x 1x2fx 2或x 1x2fx2fx 1fx 1D最小值yminf任取x,存在x0D f x f x0最大值ymaxfx 0任取xD,存在x0D f x f x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：复合函数的单调性：函数单调性yf在区间 I 上是单调函外函数yf x ZZ内函数yg x ZZ复合函数yf g x ZZ假如函数yf x 在某个区间 I 上是增（减）函数,那么函数x数,区间 I 叫做函数yf x 的单调

11、区间 yfx的零点（3）零点：如yfx,xD,cD且fc 0,就xc叫做函数且零点定理 ：yafx ,xa,b 存在x 0 , ；特殊地,当yf x ,x , a b 是单调函数 ,f x 0ff b00f a f b 0,就该函数在区间 , a b 上有且仅有 一个零点, 即存在 唯独x 0 , a b ,使得f x00（4）平移的规律：“ 左加右减,下加上减”函数向左平移 k向右平移 k向上平移 h向下平移 h备注yf x yfxkyfxkyhf xyhfx k, h0（5）对称性：轴对称的两个函数：函数yx 轴xyy 轴xyfxyf x xy yx2mx2nynx对称轴y函数ff xyx

12、ffmyf中心对称的两个函数：y函数对称中心2 ny函数xfxm ,nf2 m轴对称的函数：名师归纳总结 函数f x y 轴x yfxxfmx第 7 页,共 28 页对称轴条件ff x 2m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：f axf bx f x 关于xa2b对称；f axf axf x 关于 xa对称；f x fxf x 关于x0对称,即f x 是偶函数中心对称的函数：函数f bf x yfx对称中心m n , 2nf2mx条件留意：f axcf x 关于点 a2b c 对称；2x f axf bx0f x 关于点 a2b,0对称；f axf

13、 ax2bf x 关于点 , a b 对称；f x fx0f x 关于点 0,0 对称,即f x 是奇函数（6）凹凸性：函数设函数yf x ,xD ,假如对任意x x 2D ,且x 1x ,都有fx 12x 2fx 12fx 2,就称yf x 在 D 上是凹函数；例如：y2 x f x 1f x 2Lf xn,就称函进一步,假如对任意x 1,x 2,Lx nD,都有fx 1x2nLxnn数yf x 在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；fx 12x 2fx 12f x 2,就称设函数yf x ,xD ,假如对任意x x 2D ,且x 1x ,都有函数yf x 在 D 上是凸函

14、数例如：ylgx fx 1fx 2Lf xn,就称函进一步,假如对任意x 1,x 2,Lx nD,都有fx 1x2nLxnn数yf x 在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式第 8 页,共 28 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （7）翻折：y函数翻折后翻折过程f x yfx将yf x 在 y 轴右边的图像不变,并将其翻折到y 轴左边, 并掩盖 yf x 将yf x 在 x轴上边的图像不变,并将其翻折到x 轴下边, 并掩盖 第一步：将yf x 在 y 轴右边的图像不变,并将其翻折到左边,并掩盖 ；yfxyf x 其次步：

15、将 x 轴上边的图像不变,并将其翻折到x 轴下边, 并掩盖 将yf x 在 x轴上边的图像保持不变,并将x轴下边的图像翻折到x 轴上边,不掩盖 （8）周期性：如yfx,xR,T0,任取xR,恒有fxTfx,就称 T 为这个函数的周期fkTkZ,留意：如 T 是yx的周期,那么k0也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个,但不肯定有最小正周期f xaf xb , abf x 是周期函数,且其中一个周期Tab ；（阴影部分下略）f x f xp ,p0T2p；b ；4ab ；1af xaf xb , abT2ab ；f x 1p或f x 1p,p0T2p ；f xf xf x 1f xp 或f

16、 x f xp1,p0T2p；1f xpf xp1f x 1f xp或f x f xp1,p0T4p；1f xp f xp1f x 关于直线 xa , xb , ab 都对称T2ab ；f x 关于两点 , a c , , b c , ab 都成中心对称T2af x 关于点 , a c ,a0成中心对称,且关于直线xb, ab 对称T如f x f xaf x2 Lf xnam（ m 为常数,n* N ）,就f x 是以 n为周期的周期函数；2n如f f xaf x2 Lf xnam（ m 为常数, n 为正偶数）,就f x 是以1 a 为周期的周期函数第 9 页,共 28 页名师归纳总结 -

17、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、 V 函数：定义y形如ya xmh a0的函数,称作 V 函数 h a0分类a xmh a0ya xm图像定义域 R名师归纳总结 值域在 , ,0xm, 第 10 页,共 28 页对称轴向上m h , 向下开口顶点m 上单调递减；m 上单调递增；在 单调性m ,上单调递增m ,上单调递减在 在 留意当m时,该函数为偶函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、分式函数：定义yxa,a0形如yxaa0的函数,称作 分式函数 ,a0x分类（耐克函数 ）yxaxx图像定义域,0U0,值

18、域在 , 2aU2a,0, yx,0 , 0,R上单调递增；渐近线xa , a,上单调递增；单调性aa 上单调递减在 在,0, 0,五、曼哈顿距离：在平面上,Mx 1,y 1,N x 2,y2,就称dx 1x 2y 1y 为 MN 的曼哈顿距离六、某类带有肯定值的函数：1、对于函数 yxxm ,在 xm 时取最小值；第 11 页,共 28 页2、对于函数 yxmxn , mn ,在xm n 时取最小值；3、对于函数 yxmxnxp , mnp ,在 xn时取最小值；4、对于函数 yxmxnxpxq , mnpq,在x , n p 时取最小值；5、推广到yx 1xx 2Lxx 2n,x 1x2L

19、x2n,在xx n,xn1时取最小值；yxx 1xx 2Lxx 2n1,x 1x 2Lx 2n1,在xx 时取最小值摸索：对于函数yx12x3x2,在 x _时取最小值名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如yxaaR的函数称作幂函数,定义域因a 而异上的图像分三类,如下列图（2）当a01,时,幂函数yxaaR在区间0,（3）作幂函数yxaa1,0 的草图,可分两步：名师归纳总结 依据 a 的大小,作出该函数在区间0 ,上的图像；第 12 页,共 28 页依据该函数的定义域及其奇

20、偶性,补全该函数在,0上的图像（4）判定幂函数yxaaR的 a 的大小比较：方法一：yxaaR与直线xm m1的交点越靠上, a 越大；方法二：yxaaR与直线xm 0m1的交点越靠下, a 越大（5）关于形如yaxbc0 的变形幂函数的作图：cxd作渐近线（用虚线） ：xd、ya；cc选取特殊点：任取该函数图像上一点,建议取0,b；d画出大致图像：结合渐近线和特殊点,判定图像的方位（右上左下、左上右下）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （二）指数 & 指数函数1、指数运算法就：axayaxy；x a yaxy；abxaxbx； axx a b,其中a

21、 ,b0,x、yRb2、指数函数图像及其性质：/ yaxa1 yax0a1 图像定义域 R值域0,在 , 上单调递减；奇偶性非奇非偶函数渐近线x 轴单调性在 , 上单调递增；指数函数yax的函数值恒大于零；指数函数yax的图像经过点0 1,；性质3、判定指数函数当x0时,y1；当x0时,0y1；第 13 页,共 28 页当时,当x0时,0y1x0y1yx a 中参数 a 的大小：方法一：yx a 与直线xm m0的交点越靠上, a 越大；方法二：yx a 与直线xm m0的交点越靠下, a 越大名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （三）反函

22、数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数 y f x ,设它的定义域为 D ,值域为 A,假如对于 A 中任意一个值 y ,在 D 中总有唯一确定的 x值与它对应,且满意 y f x ,这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y f x 的反函数,记作x f 1 y 在习惯上,自变量常用 x表示,而函数用 y 表示,所以把它改写为 y f 1 x A 2、求反函数的步骤： （“ 解”“ 换”“ 求” ）将 y f x 看作方程,解出 x f y ；将 x 、 y 互换,得到 y f 1 x ；标出反函数的定义域（原函数的值域） 3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应4、反函数的性质：原

23、函数yfx过点m ,n,就反函数yyf1 x 过点n,m ；原函数yf1 x关于yfx与反函数x对称,且单调性相同；奇函数的反函数必为奇函数5、原函数与反函数的关系：名师归纳总结 / 函数yfxyf1 x 第 14 页,共 28 页D定义域A值域AD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （四）对数 & 对数函数1、指数与对数的关系：abNabN底数指数幂logaNb对数真数2、对数的运算法就：log a10,logaa1,alogaNN；常用对数lgNlog10N,自然对数lnNlogeN；logaMNlogaMlogaN,logaMlogaMlogaN,

24、logaMnnlogaM；blogNaNlogaN1bclogab,alogNba,loganbmmlogbN,logablogab,logaclogablogbn3、对数函数图像及其性质：/ ylogaxa1ylogax 0a1 图像定义域0,名师归纳总结 值域R,上单调递减；第 15 页,共 28 页奇偶性非奇非偶函数渐近线y 轴单调性在0,上单调递增；在0性质对数函数ylogax的图像在 y 轴的右方；x1时,y0；对数函数ylogax的图像经过点0,1；当x1时,y0；当当0x1时,y0当0x1时,y0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、判定对数函数ylogax x0中参数 a 的大小：名师归纳总结 方法一：ylogax x0