2022年高三第一轮复习圆锥曲线的方程及性质.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆的方程及性质1. 椭圆的概念在平面内到两定点 F1、F2的距离的和等于常数 大于 |F 1F2| 的点的轨迹 或集合 叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距集合 P M|MF 1| |MF2| 2a ,|F 1F2| 2c,其中 a0,c 0 1 当 2a|F1F2| 时动点的轨迹是椭圆；2 当 2a|F1F2| 时动点的轨迹是线段 F1F2；3 当 2ab0 a 2b 21ab0 图 形范 围axa , bybbxb , aya对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点A1 a,0 ,A2a,0 A10, a ,A20,a 顶点

2、B10, b ,B20,b B1 b,0 ,B2b,0 轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 性 焦距 |F 1F2| 2c 质 c离心率 ea 0,1 a,b,c 的关系 c 2a 2b 2ab0,ac0 1. 椭圆焦点位置与 x 2,y 2系数间的关系：2 2x y给出椭圆方程 mn1 时,椭圆的焦点在 x 轴上 . mn0；椭圆的焦点在 y 轴上 . 0mn. 2. 求椭圆方程的方法1 定义法：依据椭圆定义,确定 a 2、b 2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程2 待定系数法：依据椭圆焦点是在 x 轴仍是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后依据条件确定关

3、于 a、b、c 的方程组,解出 a 2、 b 2,从而写出椭圆的标准方程3 不能确定焦点的位置时,可进行分类争论或把椭圆的方程设为mx 2ny 21 m0,n0,m n. 3. 求椭圆的离心率,其法有三：一是通过已知条件列方程组,解出 a,c 的值；二是由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率4. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤1 作判定：依据条件判定椭圆的焦点在x 轴上,仍是在y 轴上,仍是两个坐标轴都有可能；. ac,第 1 页,共 30 页2 设方程：依据上述判定设方程2 x 2ay2x2y221a

4、b0 或221ab0 ；bba3 找关系：依据已知条件,建立关于a、 b、c 或 m、n 的方程组；4 得方程：解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 留意：用待定系数法求椭圆的方程时,要“ 先定型,再定量”5. 椭圆上任意一点M到焦点 F 的全部距离中, 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为最小距离为ac. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考点一椭圆的定义长轴在 x 轴上, 离心率为3 2,且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12,例 1已知椭圆 G的中心在坐标原点,就椭圆 G的方程为 _2 2x y c 3

5、解析：设椭圆方程为a 2b 21ab0 ,依据椭圆定义 2a12,即 a 6,又 a2,得 c3 3,2 2x y故 b 2a 2c 23627 9,故所求椭圆方程为 3691. 2x1. 已知 ABC的顶点 B,C在椭圆 3y 21 上,顶点 A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC边上,就ABC的周长是 A2 3 B6 C 4 3 D 12 1. 解析 由椭圆的定义知：|BA| |BF| |CA| |CF| 2a,周长为 4a 4 3F 是椭圆的另外一个焦点 2. 设 F1,F2为定点, |F 1F2| 6,动点 M满意 |MF1| |MF2| 6,就动点 M的轨迹是 A. 椭圆

6、B. 直线 C.圆 D.线段2. 解|MF1| |MF2| 6,|F 1F2| 6, |MF1| |MF2| |F 1F2| ,点 M的轨迹是线段 F1F2. 2 2x y3. 假如方程 a 2a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆,就实数 a 的取值范畴是 A.3 , B. , 2 C.3 , , 2 D.3, 6, 2 a 2a6,a2 a3 0,3. 解由于椭圆的焦点在 x 轴上,所以 即 解得 a3 或 6a0,a6.2 2x y4. 已知方程 |m| 12 m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m的取值范畴是 3A.m2 B.1m2 C.m1 或 1m2 D.m1 或 1m1或m0,m0

7、,即1m 2或 m|m|1. m3 2.考点二 焦点三角形2 2例 2. 已知 F1、F2 是椭圆 C：x2y21a b0 的两个焦点, P 为椭圆 C上的一点,且 PF1 PF2 . 如 PF1F2 的面积为 9,a b就 b_. 解析 由题意知 |PF1| |PF2| 2a,PF1 PF2 , |PF 1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 24c 2,|PF 1| |PF 2| 22|PF 1|PF 2| 4c 2, 2|PF 1|PF 2| 4a 24c 24b 2. |PF 1|PF 2| 2b 2,1 1S PF1F22|PF 1|PF 2| 2 2b 2b 29. b3. 椭圆上

8、一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“ 焦点三角形” ,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF 1| |PF 2| ；通过整体代入可求其面积等名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2x y 1. 已知 F1、F2是椭圆 100641 的两个焦点, P是椭圆上任一点,如F1PF23,求 F1PF2 的面积1. 解 设|PF1| m, |PF2| n. 依据椭圆定义有 m n20,又 c100 646,在F1PF2中,由余弦定理得 m 2n 22mncos 3 12 2, m 2n 2mn144, m

9、n 2 3mn144,256 1 1 256 3 64 3mn3, S F1PF22|PF 1|PF 2|sin F1PF22323 . 2 2x y2. 已知 F1,F2为椭圆 100b 210bb0 的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 3,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,如AF1B 的周长为 4 3,就 C的方程为 2 2 2 2 2 2 2x y x x y x yA. 321 B 3y 21 C. 1281 D 1241 34. 已知椭圆 G的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2,且 G上一点到 G的两个焦点的距离之和为 12,就椭圆G的方程为 _5. 已知椭

10、圆的焦点是F1 1,0 ,F21,0 ,P 是椭圆上的一点,如|F1F2| 是|PF1| 和|PF2| 的等差中项,就该椭圆的方程是_6. 求满意以下条件的椭圆的标准方程：1 焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M3,2 ； 2a c13 5,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 2 2 2 2x y y x由于焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 1691441 或 169144 1. 7. 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为 3 和 1,就椭圆的标准方程为_2 2x y 91. 解1 如椭圆的焦点在 x 轴上 , 设方程

11、为 a 2b 21a b0, 椭圆过点 A3,0,a 21,a 3, 2a3 2b,2b1,方程为x 9y 21. 2 2 2y x 0 9如椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 a 2b 21a b0 ,椭圆过点 A3,0 ,a 2b 21, b3,2 2 2 2 2y x x y x又 2a3 2b, a9,方程为 8191. 综上所述,椭圆方程为 9y 21 或 8191. 2 23 3 2 x y2 由 FMN为正三角形,就 c |OF| 2 |MN| 23b1. b3.a 2b 2c 24. 故椭圆方程为 431. 12. 解由长轴长为 18 知 a9,两个焦点将长轴长三等分,2c3

12、2a 6, c3, b 2a 2c 272,应选 C. 2 2c 3 x y3. 解依据条件可知 a3,且 4a4 3, a3, c1,b2,椭圆的方程为 321. x 2y 2 2a12,a6,4. 解设椭圆 G的标准方程为 a 2b 21 ab0 ,半焦距为 c,就 ca2,3c3 3.2 2x yb 2a 2c 236279,椭圆 G的方程为 369 1. 名师归纳总结 第 4 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 解由题意得2|F1F2| |PF1| |PF2| , 4c2a, c1, a2. b2a2c23,故椭圆方程为2

13、x42 y 31. 2226. 解 1 由焦距是 4 可得 c2,且焦点坐标为 0 ,2 ,0,2 由椭圆的定义知, 2a3 2222328,所以 a4,所以 b2a2c216412. 又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为2 y162 x 121. 2 由题意知, 2a26,即 a13,又a c13 5,所以 c5,所以 b 2a 2c213252144,7. 解由题意可得ac3,a2,故 b2a 2c23,所以椭圆方程为2 x 42 y 31. ac 1.c1.考点四 : 求椭圆离心率2 2例 4. 椭圆x a 2yb 2 1ab0 的两顶点为 Aa,0 ,B0, b ,且左焦点为 F,

14、 FAB是以角 B 为直角的直角三角形,就椭圆的离心率 e 为 31 51 15 31A. 2 B. 2 C. 4 D. 415解析：选 B 依据已知 a 2b 2a 2a c 2,即 c 2aca 20,即 e 2e10,解得 e2,故所求的椭圆的51离心率为 2 . 2 21. 椭圆x 2y 21ab0 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2. 如|AF 1| ,|F 1F2| ,|F 1B| 成等比数列,就a b此椭圆的离心率为 _2 2x y2. 椭圆 a 2b 21ab0 的半焦距为 c,如直线 y2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c,就椭圆的离心率为 3 2A.

15、 2 B. 31 C. 2 D. 21 2 2x y 13. 如焦点在 y 轴上的椭圆 m21 的离心率为 2,就 m的值为 3 8A1 B 2 C. 3 D 32 2x y4. 椭圆 1681 的离心率为 1 1 3 2A.3 B. 2C. 3 D. 25. 椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,就它的离心率 e 为 1 1 1 2A. B. C. D.2 3 4 216. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 3,长轴长为 12,就椭圆方程为 2 2 2 2 2 2A. x 144 y 1281 或 x 128 y 1441 B. x 6 y 41 2 2 2 2 2 2 2 2x y x

16、y x y x yC. 36321 或 32361 D. 461 或 641 名师归纳总结 第 5 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 已知 P 是以 F1, F2 为焦点的椭圆2 x2ay 2b 21ab0 上的一点,如 PF11 2,就此椭圆的离心率为PF20,tan PF1F2_8. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,如 F1PF2 为等腰直角三角形,就椭圆的离心率为 2 21A. 2 B. 2 C.2 2 D. 21 c 51. 解析：依题意得 |F1F2| 2|AF 1| |BF

17、1| ,即 4c 2 a c a c a 2c 2,整理得 5c 2a 2,得 ea5 . 2 2c 4c 22. 解析：选 D 依题意直线 y2x 与椭圆的一个交点坐标为 c,2c,所以 a 2b 2 1,又 b 2a 2c 2,消去 b 整理得 a2ac c 2 0,所以 e 22e10,解得 e12. 又 e0,1 ,所以 e21. c 1 2m 1 33. 解由题意得 a 22,b 2 m, c 22m,又 a2,22, m2. 4. 解析：选 D a 216,b 28, c 28, ec a2 . 2c 15. 解由题意,得 a 2c, ea2. c 16. 解由条件知 a6,ea3

18、, c2, b 2a 2c 232,应选 C. |PF 2| 17. 解PF1PF20, PF1PF2,在 Rt PF1F2 中, tan PF1F2|PF1|2,设 |PF 2| x,就 |PF 1| 2x,由椭圆的定义2a 20 c 5|PF1| |PF2| 2a, x3, |PF 1| 2|PF2| 2|F 1F2| 2, x 24x 24c 2,9 a 24c 2, ea3 . 2 2 4 2 28. F1 c,0 , Pc, yP 代入椭圆方程得 ca 2yb P21, y Pba 2, |PF1| b a|F 1F2| ,即 b a2c,a 2c 2又 b 2a 2c 2,a2c,

19、 e 22e10,又 0e0” 是“ 方程mx 2ny21 的曲线是椭圆” 的 第 6 页,共 30 页A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知椭圆：2 x 10m2 y m21 的焦距为 4,就 m等于 A.4 B.8 C.4或 8 D.以上均不对3. 椭圆2 xm2 y41 的焦距是 2,就 m的值是 A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知 F1,F2是椭圆2 x162 y 91 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B 两点,

20、在AF1B 中,如有两边之和是10,就第三边的长度为 A.6 B.5 C.4 D.3 5. 椭圆 x 2my 21 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,就 m的值为 1 1A. 4 B. 2 C.2 D.4 2 2x y6. 如椭圆 16m 2 1 过点 2, 3 ,就其焦距为 A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 2 2x y7. 设 F1、F2分别是椭圆 2516 1 的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是 F1P 的中点, |OM|3,就 P 点到椭圆左焦点的距离为 _8. 椭圆 C1：2 x 252 y 91 和椭圆 C2：2 x 9k2 y 25k1 0kb0 的左、右两

21、个焦点,如椭圆 C上的点 A1 ,2 到 F1、F2 两点的距离之和为4,就椭圆 C的方程是 _,焦点坐标是 _1. 解：选 B 由于当 m0,n0,n0,mn0. 10m0,2. 解：选 C 由 得 2m0,3. 解 2c2,c1,故有 m4 1 或 4 m1, m5 或 m3,应选 C. 4. 解：选 A 依据椭圆定义,知AF1B 的周长为 4a16,故所求的第三边的长度为 16106. 1 1 15. 解：选 A 由题意知 a 2m,b 21,且 a2b,就 m4,得 m4. 6. 解：选 C 把点 2,3 的坐标代入椭圆方程得 m 24,所以 c 216412,所以 c2 3,故焦距为

22、 2c4 3. 17. 解：由题意知 |OM|2|PF 2| 3,就 |PF 2| 6. 故|PF 1| 2 5 64. 8. 解依题意知椭圆 C2的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1：焦距 2 259 8,对于椭圆 C2：焦距 2 25k9kx062x,x02x6,x 2y 2x 20 y 208,应选 B. 9. 解设 Mx,y ,就y 00y02y.点 P 在椭圆 841 上,84 1. 2y,x 02x 6,x 20 y 20 2x6 22y 2x3 2把y 02y 代入 841,得 84 1,即 2 y 2 1 为所求2 2x y 310. 解. 由|AF 1| |AF 2| 2a4

23、得 a2. 原方程化为：4b 21,将 A1 ,2 代入方程得 b 23. 名师归纳总结 第 7 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆方程为：2 x42 y 3 1,焦点坐标为 1,0 考点 6 直线与椭圆的位置关系AxByC0,争论直线与椭圆的位置关系,一般通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组 对解的个数进b 2x 2a 2y 2a 2b 2,行争论,有两组不同实数解 0时,直线与椭圆相交；有两组相同的实数解 0 时,直线与椭圆相切；无实数解 b0 过点 0,4,离心率为 5.1 求椭圆 C的方程； 2 求过点 3,0 且斜率为

24、5的直线被 C所截线段的中点坐标2 2x y5.P1,1 为椭圆 42 1 内肯定点,经过 P 引一弦,使此弦在 P 点被平分,求此弦所在的直线方程2 2x y6. 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 541 的右焦点 F1,与椭圆相交于 A,B 两点,就弦 AB的长为 _2 2 2 2x y a 1 2 32 31. 解由于点 P在椭圆 231 的外部,所以 23 1,解得 a 3或 a 3,应选 B. 2 21 x 0 y 02. 解设 Px0,y0 , a 25,b 24, c1, S PF1F22|F 1F2| |y 0| |y 0| 1, y 0 1,54 1, x 02 2 2 215

25、 x 1 y 1 x 2 y 22 . 应选 D.3. 解析 设弦两端点 Ax1,y1 , Bx2,y2 ,就 1641,1641,两式相减并把 x1x24,y1y1y2 1 1y2 2 代入得,x 1x22,所求直线方程为 y12x 2 ,即 x2y 40. 16 c 3 a 2b 9 16 9 24. 解析 1 将点 0,4 代入椭圆 C的方程,得 b 2 1, b4,又 ea5,就 a 225, 1a 225, a 5,2 2椭圆 C的方程为x 25 y 161. 4 4 42 过点 3,0 且斜率为 5的直线方程为 y5x 3 ,设直线与椭圆 C的交点为 Ax 1,y 1 ,Bx 2,

26、y2 ,将直线方程 y5x2 2x x3 x 1 x23 代入椭圆方程得 25251,即 x 23x80,由韦达定理得 x1x23,所以线段 AB中点的横坐标为23 4 3 6 3 62,纵坐标为 5 23 5,即所截线段的中点坐标为 2,5 名师归纳总结 第 8 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 解析 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为 y1kx 1 ,弦的两端点为 Ax1,y1 ,Bx2,y1k x1,y2 ,由 x42y21.2 消去 y 得, 2k 21x 24kk 1x 2k 22k1 0, x 1x 2

27、4k2k k121,又4k k1 1 1x1 x2 2,2k 212,得 k2故弦所在直线方程为 y12x 1 ,即 x 2y3 0解法二：由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k,且设弦的两端点坐标为 x1,y1 、x2,y2 ,2 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2 x 1x 2 x 1x 2 y1y2 y1y2就 421,42 1,两式相减得 420, x1x 22,y1y22,x1x2 y1y2 1 12y 1y 2 0, kx1x22此弦所在直线方程为 y12x 1 ,即 x2y30 方法规律总结 1 中点弦问题常用“ 点差法” 求解,即 Px 0,y 0 是弦 AB的中点

28、, Ax 1,y 1 、Bx 2,y 2 在椭圆上,y2y1将 A、B 坐标代入椭圆方程两式相减,然后结合 x 1x22x 0,y 1y 22y0,及 x2x1k 求解2 留意“ 设而不求,整体代换” 方法的应用2 2x y6. 解法一：直线 l 过椭圆 541 的右焦点 F11,0 ,又直线的斜率为 2,直线 l 的方程为 y2x 1 ,2xy20,即 2xy20由方程组 x52y41,2 得交点 A0 , 2 ,B 53,43 5 4 125 5 5|AB| xAxB 2yAyB 203 223 293双曲线方程及性质1. 双曲线的定义满意以下三个条件的点的轨迹是双曲线1 在平面内； 2 动点到两定点的距离的差的肯定值为肯定值；3 这肯定值肯定要小于两定点的距离只有当 2a|F 1F2| ,就轨迹不存在2. 双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程x2y2y2x2221a0 ,b0 221a0 ,b0 abab名师归纳总结 性质范畴xa 或 x a,yRy a 或 ya, xR第 9 页,共 30 页对称性对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点顶点