2022年高中数学解题方法之分离变量法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 别离变量法别离变量法是近年来进展较快的思想方法之一 分类争论、方程的根与零点等基本思想方法相联系. 高考数学试题中,求参数的范畴经常与 . 其中与二次函数相关的充分表达数形结合及分类思想方法的题目最为常见 . 与二次函数有关的求解参数的题目 , 相当一部分题目都可以躲开二次函数 , 使用别离变量 , 使得做题的正确率大大提高 . 随着别离变量的广泛使用 ,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法 . 别离变量法：是通过将两个变量构成的不等式 方程 变形到不等号 等号 两端,使两端变量各自相同 , 解决有关不等式恒成立、不等式存在有解和方程有解中参数

2、取值范畴的一种方法 . 两个变量,其中一个范畴已知,另一个范畴未知 .解决问题的关键 : 别离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题 . 别离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循 . 以下定理均为已知 x 的范畴,求 a 的范围：定理 1 不等式 f x g a 恒成立 f x min g a 求解 f x 的最小值；不等式 f x g a 恒成立 f x max g a 求解 f x 的最大值 . 定理 2 不等式 f x g a 存在解 f x max g a 求解 f x 的最大值；不等式 f x g a 存在解 f x min g a 即求解 f x 的最小值 . 定

3、理 3 方程 f x g a 有解 g a 的范畴 f x 的值域求解 f x 的值域 . 解决问题时需要留意： 1确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；2确定是求最大值、最小值仍是值域 . 再现性题组：1、已知当 xR时,不等式a+cos2x4sinx+cos2x maxa5当 xR 时,不等式 a+cos2x3a0,就t22at102at12t5、解：yx2ax10在 0,上恒成立ax1在 0, 上恒成立ax6、解：由于函asinxcosx2sinx4,x44,3,明显函数有最大4值2 ,a2；示范性题组：例 1. 已知函数fxx2ax1,x0,1, 且 |fx| 3恒成立 , 求

4、a 的取值范畴 . 【分析】法一 二次函数: 问题转化为不等式组2 xax133,x0,1恒成立2 xax1f x x2ax1在x0,1上的最大值与最小值以对称轴与定义域端点进行比较分类 , 争论单调性 . 正确率较低 . 法二 别离变量 : 问题转化为42 xa2x2在x0,1上恒成立 除 x 时留意符号 , xx由定理 1 得4x2 xmaxaa2x2min. 求相应函数最值, 正确率较高 . x2xlnx .假设hxfxgx 存在单调递例 2. 已知函数fx1ax20 ,gx2增区间,求 a 的取值范畴 . 名师归纳总结 【分析】问题转化为h x 2 ax2x10在x0上有解 , 即ax

5、22x10在x0上第 2 页,共 6 页x有解 . 解：法一 二次函数 : 此题f010, 分类是只需留意开后和轴, 较为简捷 . 正确率不高 ,缘由在于没有留意特别点, 将问题分为 1 解 ,2 解, 想得过于复杂 . 法二 别离变量: 问题转化为a1x2x在x0上有 存在 解由定理1.2得2a1x2xmin. 求解相应范畴上的最小值, 正确率较高 . 2例 3. 已知 a 是实数, 函数f x 2 2 ax2 x3a 假如函数yf x 在区间 1,1上有零点,求 a 的取值范畴 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【分析】方法一 根的分布 : 这

6、个题目是一个标准的根的分布问题, 解题时需要考虑: 开口方向, 判别式 , 对称轴 , 特别点的函数值 . 解题时需要分为大 3 类, 小 5 类. 同学能够部分得分 , 很难列出全部不等式组 . 2方法二 别离变量 : 问题转化为 2 ax 2 x 3 a 0 在 x 1,1 上恒有解 别离变量得 a 32 2 x , x 1, 2 2, 2 2,1 有解 由定理 1.3 得只需求2 x 1 2 2 2 2函数 g x 32 2 x 在 x 1, 2 2, 2 2,1 上的值域即可 , 2单独2 x 1 2 2 2 2 2考虑 . 此法思维两较小 , 运算量较二次函数略大 , 得分率略有增加

7、 . 通过对上述三道题目解答过程中显现的两种做法的比较,不难体会到 ,别离变方法的优越性:思维量小 ,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处 :个别时候 ,别离后产生的函数 ,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说 ,多数时候 ,应优先使用别离变量法；例 4、已知函数f x x33 ax1的导函数为f/ x ,g x f/ ax3. 0,01假设x g/ 60对一切x2恒成立,求实数a的取值范畴；2假设对满意0a1的一切 a 的值,都有g x 0,求实数 x 的取值范畴 . 解：1f/ 3x23 ag x 3 x23 aax3g/ 6 xa即6x2ax60对一切x2恒成立即a6x6

8、对一切x2恒成立x记h x 6x6,就在x2上ah x 恒成立,h/ 66在x2上恒大于xx2h x 6x6在x2上单调递增,h x minh 215a15x2即g x 3 x23 aax3对一切 0a1恒成立假设x3,就g x 3 x23 aax3240不满意x假设x3,就a33x2对一切 0a1恒成立33x210x13x3x3假设x3,就a33x2对一切 0a1恒成立33x2033x23x3x1x1x综上所述：0x13稳固性题组：1、已知函数fxlgxa2,假设对任意x2,恒有fx0,试确定 a 的x取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 -

9、- - - - - - - - 2、已知x,1时,不等式12xaa24x0恒成立,求 a 的取值范畴；3、已知函数f x x32x2x4,g x 2 xax7. 假设对任意的x0,都有f g x ,求实数 a 的取值范畴 . 24a ,其中常数 aR . 4、设函数f x 1x31a x24ax31当a1时,求函数f x 的单调区间；a 的取值范畴；|fBm|2恒成立,2假设x3时,f 0恒成立,求实数5、在ABC中,已知fB 4sinBsin24Bcos2B,且2求实数 m的范畴；6、求使不等式asinxcos , x x4,3恒成立的实数a 的范畴；47、设f x lg12x3a4x,其中

10、aR ,假如x.1时,f x 恒有意义,求 a 的取值范畴；8、设函数是定义在, 上的增函数,假如不等式f1ax2 xf2a 对于任名师归纳总结 意x0,1恒成立,求实数a 的取值范畴；第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 别离变量法稳固训练题答案：名师归纳总结 1、解：依据题意得：xa21在x2,上恒成立,t21,第 5 页,共 6 页x即：ax23x 在x2,上恒成立,设fx2 x3x ,就fxx32924当x2时,fxmax2所以a22、解：令 2xt ,x,1t0,2所以原不等式可化为：a2at要使上式在t0,2上恒成立,只须

11、求出fttt21在t0,2上的最小值即可；f ttt21121112111 , 2t12ttt24ftminf23a2a31a344223、解：f g x 即3x24x1x2ax7ax2x24x8假设x0,就 08 恒成立,aR假设x0,就a2x84,又2x842 2x8412,axxx综上所述：a120得：4、解：1f x221a x4 ax2x2 a ,又a1,由f x,22 ,由f 0得 2x2a ,因此f x 的单调增区间有,2 与2 ,f x 的单调减区间有2, 2 a3 22x3时,f 0恒成立x3时,x221a x4a0恒成立；x3时, x2x2 0恒成立x3时, 2ax 恒成立

12、,2a35、解 :fB4sinBsin24Bcos2B2sinB,10B,sinB01,2fB,13,|fBm|2恒成立,2fBm2,即mfB 2恒成立,m ,13 mfB2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、解：由于函asinxcosx2sinx4,x40,2,令ysinxcosx,名师归纳总结 就由于ysinxcosx的最大值取不到2 ,即 a 取2 也满意条件,所以a2第 6 页,共 6 页7、解：假如x.1时,f x 恒有意义12xa4x0,对x,1恒成立 . a142x2x22xx.1恒成立；令t2x,g t tt2x又x.1就t1,ag t 对t1,恒成立,22又g t 在t1,上为减函数,g maxg13,a3；22448、分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx22a 对于任意x0,1恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解；解：f x 是增函数f1ax2 xf2a 对于任意x0,1恒成立1axx22a 对于任意x0,1恒成立x2ax1a0对于任意x0,1恒成立,令g x 2 xax1a ,x0,1,所以原问题g x min0,g0,a01a,a0又g x minga, 2a0即g x mina2a1, 2a0242,a22,a2易求得a1；- - - - - - -