2022年高中数学通用模型解题方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、 y；注明定义域）如：求函数f x x1xx0x0的反函数2x0（答：f1 x1xx1）14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称（难怪点（ x,y）和点（ y,x）关于直线y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称；储存了原先函

2、数的单调性、奇函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如15 （ 04. 上 海 春 季 高 考 ） 已 知 函 数fxlog4 3 x2, 就 方 程f1 x 4的 解x_.1 呵呵； 已知反函数的y,不就是原函数的x 吗？那对于这一类题目,其实方法特殊简洁,代进去阿, 答案是不是已经出来了呢？（也可能是告知你反函数的x 值,那方法也一样,呵呵；自己想想,不懂再问我. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,

3、设任意得x1,x2,找出 fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求f x 1f x 2的正负号或者f x 1与 1 的关系x 1x 2f x 22 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性； （特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载函数 fx 与 fxcc 是常数

4、是同向变化的函数 fx 与 cfxc是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的；当c0 时,它们是反向变化的；假如函数f1x ,f2x 同向变化,就函数f1xf2x 和它们同向变化； （函数相加）假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化；如果负值函数 f12 与 f2x 同向变化, 就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）函数 fx 与 f 1 x在 fx 的同号区间里反向变化； 如 函 数 u x , x , 与 函 数 y Fu , u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的；如函数 u x,x , 与函数 yFu

5、,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 如函数 yfx 是严格单调的, 就其反函数们的增减性相同；yF x 是递减的；（同增异减）xf1y 也是严格单调的, 而且,它fg ylog 1gx 2xfgx fx+gx fx*gx 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减如：求x2的单调区间2（设uux2u2 x,由u20 就0x2且log 1,x11,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）16. 如何利用导数判定函数的单调性？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资

6、料 - - - - - - - - - 在区间a,b内,如总有f优秀学习资料欢迎下载 0 就f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如fx0 呢？a 的最大如：已知a0,函数f x x3ax 在1,0上是单调增函数,就值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fx3x2a3xaxa331,即a3就xa或xa33由已知f x 在 1,上为增函数,就a3a 的最大值为3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fxf x 总成立f x 为偶函数函数图

7、象关于y轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；名师归纳总结 求（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f000；f x 42x1,第 3 页,共 13 页如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x10（f x 为奇函数,xR,又0R,f 即a20a20,a1）201x,1 时,又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当xf x 在1,1上的解析式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （令x1,0,就x优秀学习资料欢迎下载x10,1,fx42x又f x 为奇函数

8、,f x 2x42x12x）x14xx1,0 又f 0,f x 4x11x0x2x0,14x判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇 （偶）函数, 其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数. . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性 . 这种方法可以做如下变形fx+f-x =0 fx-f-x=0 奇函数 偶函数偶函数奇函数fx f-x1 fx f-x1 三、复合函数奇偶性fg gx fgx fx+gx fx*gx 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非

9、偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期； ）名师归纳总结 如：如f xaf x ,就第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （答：f x 是周期函数,优秀学习资料欢迎下载T2 a 为f x 的一个周期）我们在做题的时候, 常常会遇到这样的情形：告知你 fx+fx+t=0, 我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导：fxtfxt00fxfx2 ,fxfx2 同时可能也会遇到这种样子：fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+

10、x. 其实这都是说同样一个意思：函数 fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到；比如,fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称；又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x f x f 2 a x f 2 a x f 2 b x f x f 2 b x 令 t 2 a x , 就 2 b x t 2 b 2 , a f t f t 2 b 2 即 f x f x 2 b 2 所以 函数 f x 以 2 | b a | 为周期 因不知道 a b 的大小关系为保守起见

11、 我加了一个肯定值如：19. 你把握常用的图象变换了吗？名师归纳总结 f x 与 fx的图象关于y 轴 对称联想点（ x,y） ,-x,y 第 5 页,共 13 页f x 与f x 的图象关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y f x 与fx 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y）,-x,-y f x 与f1 的图象关于直线yx对称联想点（ x,y）,y,x f x 与f 2ax的图象关于直线xa对称联想点（ x,y）,2a-x,y f x 与f2 ax的图象关于 点a,0 对称联想点（ x,y）,2a-x,0 将yf x 图象左移a a0 个单位yf xa 右移个单位yf xa a

12、a0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上移b b0 个单位y优秀学习资料b欢迎下载f xa 下移b b0 个单位yf xa b（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧；对于这种题目,其实根本不用这么麻烦；你要判定函数 y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标；了；）留意如下“ 翻折” 变换：看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹fx |fx 把 轴下方的图像翻到上面 | xfx f |x 把 轴右方的图像翻到上面 | y如：f x log 2x1作出ylog2

13、x1及ylog2x1的图象y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O Oa,bx x=a 名师归纳总结 （ ）一次函数：yykxkb k00k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 b 第 6 页,共 13 页（2）反比例函数：k推广为ybxkak0是中心Oa,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载的双曲线；（ ）二次函数yax2bxc a0a x2b24 acb 2图象为抛物线2 a4 a顶点坐标为b,4acab2,对称轴xb2a42a开口方向：a0,向上,函数ymin4 aca

14、b4a0,向下,ymax4acab24根的关系：xb2ax 1x 2b,x 1x 2c,|x 1x 2|a|aa二次函数的几种表达形式：f x 2 axbxc 一般式轴f x a xm 2n 顶点式,（m, ）为顶点f x a xx 1xx 2x x 2 是方程的2 个根）f x a xx 1xx 2h 函数经过点（x h x 1 2, 应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0 时,两根x1、x2为二次函数y2 axbxc 的图象与x的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；区间在对称轴左边（nb）fm

15、a xfm ,fm i nfn 2a区间在对称轴右边（mb）fm axfn ,fm i nfm2a区间在对称轴2边 （nbm）2afm i n4acb2f ,m a xm a x f n , 4 a也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论a0 的情形）求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载0如：二次方程ax2bxc0 的两根都大于kbk2af k 0y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf

16、 k 00在区间（m, ）内有 n2根mbn02af m 0f n 0在区间（m, ）内有 1根f m f n （ ）指数函数：yx aa0,a1（ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！ ）y 0a1 y=log axa1 1 O 1 x 0a0 且 a 1）- f（x y） f（x）f（y）；f（x ） f（x） f（ y）y5. 三角函数型的抽象函数f x f y f（x） tgx-f（x y）1 f x f y f x f y 1f（x） cotx-f（xy）f x f y 例 1 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） f（x）f（y）,且当

17、 x0 时,fx0,f1 2 求 fx在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数 f（x）在 R 上是增函数（留意到 f（x2） f（x2x1） x1f（x2x1） f（x1）；再依据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） 2f（x） f（y）,且当 x0 时,fx2,f3 5,求不等式 f（a 22a2）0,xN； f（a b） f（a）f（b）,a、bN； f（2） 4.同时成立？如存在,求出 理由 . f（x）的解析式,如不存在,说明分析：先猜出f（x） 2x；再用数学归纳法证明. 例 6 设 f（x）是定义在（ 0,）上的单调增函数,满意f（3

18、） 1,求：（1）f（1）；（2）如 f（x） f（x8） 2,求 x 的取值范畴 . 分析：（1）利用 31 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式 . f（ x y） f（x） f（y）,例 7 设函数 y f（x）的反函数是 y g（x）.假如 f（ab） f（a） f（b）,那么 g（ab） g（a）g（b）是否正确,试说明理由 . 分析：设 f（a） m,f（b） n,就 g（m） a,g（n） b,进而 mn f（a） f（b）f（ab） f g（m）g（n） . 例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称,且满意以下三个条件：x1、x2 是定义域中的数时,有f（x1x2）fx

19、 1fx21；fx2fx 1f（a） 1（a0,a 是定义域中的一个数） ；当 0x2a 时, f（x） 0. 试问：（1）f（ x）的奇偶性如何？说明理由；. （2）在（ 0,4a）上, f（x）的单调性如何？说明理由分析：（ 1）利用 f （ x1x2） f （ x1x2）,判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（ 0,2a）上是增函数,再证明其在（2a,4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题,虽然不行用特殊模型代替求解,但可用特殊模型懂得题意 .有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟识的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽

20、象函数问题 . 例 9 已知函数 f（x）（x 0）满意 f（xy） f（ x） f（y）,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）优秀学习资料欢迎下载求证： f（1） f（ 1） 0；（2）求证： f（x）为偶函数；（3）如 f（x）在（ 0,）上是增函数,解不等式 f（x） f（x1 ） 0. 2分析：函数模型为：f（x） loga|x|（a0）（1）先令 xy1,再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数,就 f（x） f（|x|）. 例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满意

21、f（0） 0,f（xy） f（ x）f（y）,且当x0 时, f（ x） 1,求证：（1）当 x0 时, 0f（x） 1；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 分析：（1）先令 xy0 得 f（0） 1,再令 y x；（3）受指数函数单调性的启示：fx,由 f（xy） f（x）f（y）可得 f（x y）fy进而由 x1x2,有fx 1f（x1x2） 1. fx 2练习题：1.已知： f（xy） f（x） f（y）对任意实数x、y 都成立,就（）（A） f（0） 0 （B）f（ 0） 1 （C）f（0） 0 或 1 （D）以上都不对2. 如对任意实数x、y 总有 f（xy） f（x） f（y）

22、,就以下各式中错误选项（A） f（1） 0 （B） f（1 ）xf（x）（C）f（x ） f（x） f（y）y（D）f（xn） nf（x）（n N）3.已知函数 f（x）对一切实数x、y 满意： f（0） 0,f（xy） f（x）f（y）,且当 x名师归纳总结 0 时, f（x） 1,就当 x0 时, f（x）的取值范畴是（）第 12 页,共 13 页（A）（1,）（B）（, 1）（C）（0,1）（D）（ 1,）4.函数 f（ x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2）fx 1fx 2,就 f（x）为（）1fx 1fx 2（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C

23、）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（ x）对任意实数x、y 满意 f（xy） f（xy） 2f（ x） f（y）,就函数 f（x）是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3C 4A 5B 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（lR,S扇1lR1R2）和三角形的面积公式很相像,22可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法 R 1 弧度名师归纳总结 O R 第 13 页,共 13 页- - - - - - -