2022年高中排列组合知识点汇总及典型例题4.docx

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1、一基本原理 1加法原理：做一件事有2乘法原理：做一件事分精选学习资料 - - - - - - - - - n 类方法,就完成这件事的方法数等于各类方法数相加；n 步完成,就完成这件事的方法数等于各步方法数相乘；注：做一件事时,元素或位置答应重复使用,求方法数经常用基本原理求解；二排列：从n个不同元素中,任取m （m n）个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为Am n.1. 公式： 1.Amnn1n2nm1nn .nm2.规定： 0.11n.nn1.,n1n.n1.2 nn.n11n.n1n.n.n1.n ；3 nn1.nn1 1n1n11

2、.1n11.1.n1.n. Cn ；三组合：从n 个不同元素中任取m（mn）个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 1. 公式：Cm nAmn n1 .nm1n.m.规定：C01nAm mmnm n.2 组合数性质：Cm nCn nm,Cm nCm n1Cm n1,C0 nC1 nCn n2n；注：CrCr1Cr2LCr1CrCr1Cr1Cr2LCr1CrCr1Cr2LCr1CrCr1rrrnnr1rrnnr2rnnn1如Cm1Cm2就m =m2 或m +m2nnn四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题）有序仍是无序分步仍是分类；2解排列

3、、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的全部情形去掉；这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法；（2）分类处理：当问题总体不好解决时,常分成如干类,再由分类计数原理得出结论；留意：分类不重复不遗漏；即：每两类的交集为空集,所 有各类的并集为全集；（3）分步处理： 与分类处理类似, 某些问题总体不好解决时,经常分成如干步, 再由分步计数原懂得决；在处理排列组合问题时,经常既要分类,又要分步；其原就是先分类,后分步；（4）两种途径：元素分析法；位置分析法；3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将全部满意题设条件的排列与组合逐一列举出来；

4、 2、特别元素优先考虑、特别位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“ 捆绑” 起来,看作一“ 大” 元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列；（4）、全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特别位置时可采纳插空法 邻接元素在已排好的元素之间及两端的间隙之间插入；（5）、次序肯定,除法处理；先排后除或先定后插. 即先支配好没有限制条件的元素,然后再将不相解法一： 对于某几个元素按肯定的次序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数；即先全排,再除以定序元素的全排列；解法二：在总

5、位置中选出定序元素的位置不参与排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,如定序元素要求从左到右或从右到左排列,就只有1 种排法；如不要求,就有2 种排法；（6）“ 小团体” 排列问题采纳先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“ 小团体” 时,可先将“ 小团体” 看作一个元素与其余元素排列,最终再进行“ 小团体” 内部的排列；（7）分排问题用“ 直排法” 把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理；（8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特点：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特点：末位数是奇数；能被 3 整除的数的特点：各位数字之和是

6、3 的倍数；能被 9 整除的数的特点： 各位数字之和是 9 的倍数能被 4 整除的数的特点： 末两位是 4 的倍数； 能被 5 整除的数的特点： 末位数是 0 或 5；能被 25 整除的数的特点：末两位数是 25, 50, 75；能被 6 整除的数的特点：各位数字之和是 3 的倍数的偶数；4组合应用题：（1） . “ 至少” “ 至多” 问题用间接排除法或分类法 : （2）“ 含” 与“ 不含”用间接排除法或分类法 : 3分组问题：匀称分组：分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘；即除法处理；非匀称分组：分步取,得组合数相乘；即组合处理；混合分组：分步取,得组合数相乘,再除以匀称分组的组数的阶

7、乘；4安排问题：定额安排：（指定到详细位置）即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘；随机安排：（不指定到详细位置）即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,留意平均分堆除以匀称分组组数的阶乘；5隔板法：不行辨论的球即相同元素分组问题种不同的例 1. 电视台连续播放6 个广告, 其中含 4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告,要求首尾必需播放公益广告,就共有播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必需播放公益广告的有A22种；中间 4 个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A 2 2A4 4 48. 从而应填 48例 3.6 人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端

8、,共有多少种排法？解一：间接法：即6 A 65 A 55 A 54 A 47202 12024504第 1 页,共 7 页解二：（ 1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. 名师归纳总结 - - - - - - -1 甲排在最右端时 , 有5 A 种排法； 2 精选学习资料 1 A 种排法,乙有1 A 种排法,其他人有4 A 种排法,- - - - - - - - - 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时,就甲有5 A +1 A 41 A 44 A =504 种排法共有1 A 41 A 44 A 种排法,分类相加得共有例. 有 4 个男生, 3 个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到

9、右,女生从矮到高排列,有多少种排法？分析一：先在7 个位置上任取4 个位置排男生,有A4 7种排法 . 剩余的 3 个位置排女生,因要求“ 从矮到高” ,只有1 种排法,故共有A4 71=840种. 1. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,就不同的取法共有3 3 3解析 1：逆向摸索,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有 C 9 C 4 C 5 70 种 , 选. C2 1 1 2解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情形：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 C

10、 C 4 C C 4 70 台, 选 C . 2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参与辩论竞赛（ 1）假如 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法；（ 2）假如男生中的甲与女生中的乙必需在内,有 种选法；（ 3）假如男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法；（ 4）假如 4 人中必需既有男生又有女生,有种选法分析：此题考查利用种数公式解答与组合相关的问题 . 由于选出的人没有位置的差异,所以是组合问题 . 2 2 2 2解：（ 1）先从男生中选 2 人,有 C 5 种选法,再从女生中选 2 人,有 C 4 种选法,所以共有 C C 4 =60（种）；（ 2）除去甲、

11、乙之外,其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意挑选,所以共有 C C 27 2=21（种）；4 4（3）在 9 人选 4 人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数：C 9 C 7 =91（种）；直接法,就可分为 3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙,得到符合条件的方法数 C C 17 3C C 17 3C C 27 2C 7 3C 7 3C 7 2=91（种） . （4）在 9 人选 4 人的选法中,把只有男生和只有女生的情形排除掉,得到选法总数 C 9 4C 5 4C 4 4=120（种） . 直接法：分别根据含男生 1、2、3 人分类,得到符合条件的选法为 C C 14 3

12、C C 24 2C C =120（种） . 3 116 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,就不同的乘车方法数为 A40 B50 C60 D70 3C 6 解析 先分组再排列, 一组 2 人一组 4 人有 C 615 种不同的分法；两组各 3 人共有A 2 10 种不同的分法, 所以乘车方法数为 25 250,应选B. 2有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,就恰有两个空座位相邻的不同坐法有 A36 种 B48 种 C 72 种 D96 种 解析 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共 A 3A 472 种排法,应选 C. 3只用 1,

13、2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必需同时使用,且同一数字不能相邻显现,这样的四位数有 A6 个 B9 个 C 18 个 D36 个 解析 留意题中条件的要求,一是三个数字必需全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有 C 3 3 种 选法,即 1231,1232,1233 ,而每种挑选有 A 2 C 3 6 种 排法,所以共有 3 6 18 种 情形,即这样的四位数有 18 个4男女同学共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生有 A2 人或 3 人 B 3 人或 4 人 C3 人 D4 人 解析 设男生有 n 人,就女生有

14、8 n 人,由题意可得 C nC 8n30,解得 n5 或 n6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,如规定从二楼到三楼用 8 步走完,就方法有 A45 种 B36 种 C 28 种 D25 种 解析 由于 10 8 的余数为 2,故可以确定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的有 2 步,那么共有 828 种走法6某公司聘请来 8 名员工,平均安排给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,就不同的安排方案共有 A24 种 B36 种 C 38 种

15、 D108 种 解析 此题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 2 种方法,其次步将 3 名电脑编程人员分成两组,一组1 人另一组 2 人,共有 C 3种分法,然后再分到两部门去共有部门各 4 人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有2C 3A 2种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一组 1 人另一组 2 人即可,由于是每个1C 3种方法,由分步乘法计数原理共有 2C 3A 2C 336 种 7已知集合 A 5 ,B 1,2 ,C1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,就确定的不同点的个数为 A33 B 34 C 35 D

16、 36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 1 的有 C 2A 312 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 1 个 1 的有 C 2A 3 A 318 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2 个 1 的有 C 3 3 个故共有符合条件的点的个数为12 18 333 个,应选 A. 8由 1、2、 3、 4、5、6 组成没有重复数字且1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 A72 B 96 C108 D144 解析 分两类：如1 与 3 相邻,有 A 2C 3A 2A 3 72 个 ,如 1 与 3 不相邻有 A 3A 3 36 个 故共有 72 36 108 个9假

17、如在一周内 周一至周日 支配三所学校的同学参观某展览馆,每天最多只支配一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的支配方法有 A50 种 B60 种 C 120 种 D210 种 解析 先支配甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种： 1,2 、2,3 、3,4 、4,5 、5,6 、6,7 ,甲任选一种为 C 6,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地支配其余两所学校参观,支配方法有 A 5种,根据分步乘法计数原理可知共有不同的支配方法 C 6 A 5 120 种,应选C. 10支配 7 位工作人员在5 月 1 日到 5 月 7 日值班, 每人值班一天,

18、其中甲、 乙二人都不能支配在5 月 1 日和 2 日,不同的支配方法共有_种 用数字作答 解析 先支配甲、乙两人在后5 天值班,有A 520 种 排法,其余5 人再进行排列,有A 5120 种 排法,所以共有20 120 2400 种 支配名师归纳总结 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方法11今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 _种不同的排法 用数字作答 4 2 3 解析 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C 9C 5C 3 1260 种 排法12将

19、 6 位理想者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的安排方案有 _种 用数字作答 2C 6C 4 4 解析 先将 6 名理想者分为 4 组,共有 A 2种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去,共有 A 4种分法,故全部安排C 6C方案有：A 22A 4 1 080 种13要在如下列图的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有 _种不同的种法 用数字作答 解析 5 有 4 种种法, 1 有 3 种种法, 4 有 2 种种法如1、 3 同色, 2 有 2 种种法,如 1、 3 不同色, 2 有 1 种种法,

20、有 4 3 2 1 21 1 72 种14. 将标号为 1, 2,3,4,5, 6 的 6 张卡片放入3 个不同的信封中如每个信封放2 张,其中标号为1,2 的卡片放入同一信封,就不同的方法共有（A） 12 种（B）18 种（C） 36 种（D）54 种种方法,共有种,【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封,每个信封两个有应选 B. 15. 某单位支配7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天1 人,每人值班1 天,如 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,就不同的支配方案共有A. 504种 B. 960

21、种 C. 1008种 D. 11081 A 33 A 3种解析：分两类：甲乙排1、 2 号或 6、7 号 共有2A21 A 4A4种方法24种方法甲乙排中间 , 丙排 7 号或不排 7 号,共有42 A 24 A 41 A 3故共有 1008 种不同的排法排列组合 二项式定理1,分类计数原理 名师归纳总结 - - - - - - -完成一件事有几类方法,各类方法相互独立每类方法又有多种不同的方法 第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法2,排列排列定义：从n

22、个不同元素中,任取m（mn）个元素（被取出的元素各不相同）,按照肯定的次序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列；排列数定义；从n 个不同元素中,任取m（mn）个元素的全部排列的个数m A n公式A=nn.规定 0！ =1 m .3,组合组合定义从 n 个不同元素中,任取m（mn）个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中,任取m1m（mn）个元素的全部组合个数CmnC=n.m .m n性质C=Cn mCm1CmCnnnn排列组合题型总结一直接法1 .特别元素法例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试

23、求满意以下条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位,数字 6 不在千位；分析：（1）个位和千位有5 个数字可供挑选A ,其余 2 位有四个可供挑选 5 22 A ,由乘法原理：A 5 22 A =240 2特别位置法（ 2）当 1 在千位时余下三位有3 A =60 , 1 不在千位时,千位有 51 A 种选法,个位有1 A 种,余下的有2 A ,共有1 A 4A12 A =192所以总4名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -共有 192+60=252 精选学习资料 A 6 42A 5 3A 4 2=252 - - - - - - -

24、 - - 二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采纳间接法；如上例中（2）可用间接法Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数？Eg 分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数C323-A 3 3个,其中 0 在百位的有C2222 A 个,这是不54合题意的；故共可组成不同的三位数C323A 3 3C2 422A =432 25三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必需全排在一起 有多少种排法（捆绑法）（2） 女生必需全分开（插空法 须排的元素必需相邻）（3） 两端不能排女生（4）

25、两端不能全排女生（5） 假如三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法；例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,暂时插入两个唱歌节目,且保持原节目次序,有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有 A 19 A 10 1=100 中插入方法；三 捆绑法 当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法；2 31四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,如使每个盒子不空,就不同的放法有 种（C 4A 3）,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的同学参观,但每天只能支配一所

26、学校,其中有一所学校人数较多,要支配连续参观 2 天,其余只参1 19 1观一天,就植物园 30 天内不同的支配方法有 （C 29 A 28（留意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 29其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列）四 阁板法 名额安排或相同物品的安排问题,相宜采阁板用法例 5 某校预备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的同学组成,每班至少一人,名额安排方案共 种 ；分析：此例的实质是 12 个名额安排给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额

27、7的安排方式,故有 C 11 种五 平均分推问题eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发？（1） 平均分成三堆,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） 平均分给甲乙丙三人（3） 一堆一本,一堆两本,一对三本（4） 甲得一本,乙得两本,丙得三本（一种分组对应一种方案）（5） 一人的一本,一人的两本,一人的三本分析： 1,分出三堆书（ a1,a2）,a3,a4,（a5,a6）由次序不同可以有3 A =6 种,而这 6 种分法只算一种分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有C2C2 4C2=15 种623

28、A 32,六本不同的书,平均分成三堆有就有 x3 A种2 2C C C22x 种,平均分给甲乙丙三人五3,1 2C C C35,3 A 31 2C C C333合并单元格解决染色问题Eg 如图 1,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有种（以数字作答） ；分析：颜色相同的区域可能是2、 3、4、54 个元素的全排列数 A 4 4下面分情形争论: 当 2、 4 颜色相同且3、 5 颜色不同时,将2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于（）当2、4 颜色不同且2,4 类似同理可得 A 4 4种着色法3、 5 颜色

29、相同时,与情形（）当2、4 与 3、 5分别同色时,将2、4； 3、5 分别合并,这样仅有三个单元格2,43,5从 4 种颜色中选3 种来着色这三个单元格,计有C33 A 3种方法4由加法原理知：不同着色方法共有24 A 4C33 A 3=48+24=72（种）4练习 1（天津卷（文） ）将 3 种作物种植1 2 3 4 5 在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共 种（以数字作答）（72 ）2某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分（如图 3）,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法

30、有 种（以数字作答） （120 ）5B6 1 4A D2 3 CE图 3 图 4 3如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,就符合这种要名师归纳总结 第 6 页,共 7 页- - - - - - -求的不同着色种数 （ 540 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 种4如图 5：四个区域坐定4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必需穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是种（ 84 ）4A123CBDE图 5 图 6 5将一四棱锥 图 6 的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如只有五种颜色可供使用,就不同的染色方法共（420 ）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页