2022年高中数学圆与直线知识点与各类提高习题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆与直线学问点圆的方程：1标准方程：xa2yb 2r2圆心为 Aa,b,半径为 r4F0 2圆的一般方程：x2y2DxEyF0D2E2DE1D2E24F圆心 -2,-2半径2点与圆的位置关系的判定方法：依据点与圆心的距离d与r在大小关系判定直线与圆的位置关系判定方法1几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判定；d=r 为相切, dr 为相交, d0 为相交,0 为相交,0 为相离或内含；假设两圆相交,两圆方程相减得公共弦所在直线方程；5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系挑选题名师归纳总结 1圆x12y2

2、y321的切线方程中有一个是第 1 页,共 11 页Ax y0Bxy0C x0Dy0 2假设直线ax10与直线xy20相互垂直,那么a 的值等于A1 a,B1C2D2333设直线过点 0,其斜率为 1,且与圆x2y22相切,就 a 的值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 42 222名师归纳总结 4平面的斜线 AB 交于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交于点 C ,就动点 C 的轨迹第 2 页,共 11 页是A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支5参数方程x2cot为参数所表示的曲线是ytanA圆B直线C两条射线D线段6假如直

3、线l1,l 的斜率分别为二次方程x24x10的两个根,那么1l 与2l 的夹角为A3B4C6D87已知M , |y9x 2,y0,N , |yxb ,假设 MN,就 bA 3 2,32B 3 2,32C 3,32D 3,3 28一束光线从点A 1,1动身,经x 轴反射到圆C: x22y321上的最短路径是A4 B5 C 3 21D 2 69假设直线ax2 by20 , a b0始终平分圆x2y24x2y80的周长,就12ab的最小值为A1 B5 C 4 2D 32 210已知平面区域D 由以A3,1、B,52、C1,3为顶点的三角形内部和边界组成.假设在区域 D上有无穷多个点x,y可使目标函数

4、zxmy取得最小值,就mA2B1C1D4 11、设M2000 101,N1020011,P1020009,Q1020019,就 M 与 N、 P 与 Q 的大小关10200111020021102001100102002100系为 A.MN PQB.MN PQC.MN PQD.MN PQ12、已知两圆相交于点A 1,3 和点B m , 1,两圆圆心都在直线l:xyc0上,就mc的值等于 A -1 B2 C3 D0 13、三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.15 B.30 C.36 D.以上都不对14、

5、设 m 0,就直线 2 x y m 1 0 与圆 x 2y 2m 的位置关系为A. 相切 B. 相交 C. 相切或相离 D. 相交或相切15、已知 向量 m 2cos ,2sin , n 3cos ,3sin , 假设 m 与 n 的夹角为 60 , 就直线1 2 2 1l : x cos y sin 0 与圆 C : x cos y sin 的位置关系是 A 相2 2交但不过圆心 B相交过圆心 C 相切 D相离16、已知圆 O : x 3 2 y 5 236 和点 A 2,2, B 1, 2 , 假设点 C 在圆上且 ABC的面积为 5 , 就2满意条件的点 C 的个数是A.1 B.2 C.

6、3 D.4 2 2 2 2 217、假设圆 C 1: x a y b b 1 始终平分圆 C 2: x 1 y 1 4 的周长 , 就实数 a, b 应满意的关系是 A a22a2 b30 Ba22 a2b50 C a 2 2 b 2 218、在平面内 , 与点a 2 bA ,1 2 10 D3 aB 3 1, 2 22 b 2 a 2 b 1 0距离为 2 的直线共有 距离为 1, 与点 A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条填空题名师归纳总结 - - - - - - -1、直线 2xy4=0 上有一点 P,它与两定点A4,1,B3,4的距离之差最大,就P 点坐标是 _ 2、设不等式2

7、x1m x21对一切满意m2的值均成立,就x 的范畴为；3、已知直线l:xy40与圆C:x12y122,就 C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差为；4、直线x211 2tt t为参数被圆x2y24截得的弦长为 _；y125、已知圆M: xcos 2ysin21,直线l:ykx,以下命题成立的有_；对任意实数 k 与,直线 l 和圆 M 相切；对任意实数 k 与,直线 l 和圆 M 有公共点；对任意实数,必存在实数k ,使得直线 l 和圆 M 相切对任意实数 k ,必存在实数,使得直线 l 和圆 M 相切6、点 A3,3发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射,反射光线与圆C x2y2

8、4x4y70相切,就光线 l 所在直线方程为_ _；7、直线 y m x2就弦 MN 的长为与圆x2y2mxny40交于 M 、N 两点,且 M 、N 关于直线xy0对称,；8、过圆x2y24内一点A1 1, 作一弦交圆于B、C两点 , 过点B、C分别作圆的切线PB、PC,两切线交于点 P ,就点 P 的轨迹方程为；第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答题1、设数列 a n 的前 n 项和 S n na n n 1 b , n 1,2, ,a、b 是常数且 b 0；1证明：a n 是等差数列；2证明：以 a n , S n 1 为坐标的点 nP , n

9、1,2, 落在同始终线上,并求直线方程；n3设 a 1, b 1, C 是以 , r r 为圆心, r 为半径的圆 r 0,求使得点 P1、P2、P3 都落在圆 C2外时, r 的取值范畴；2、求与圆 x 2y 2 5 外切于点 P 1 2, ,且半径为 2 5 的圆的方程y 3、如图,已知圆心坐标为M31,的圆 M 与 x 轴及直线D N x y3 均相切,切点分别为A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、x 轴及直线y3 均相切,切点分别为C 、 D ；1求圆 M 和圆 N 的方程；B C 2过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 NM 截得的弦的长度；O A 4、假如实数 x

10、、 y 满意x22y23,求y x的最大值、 2yx 的最小值；5、已知圆C: x2 1y2225,直线l: 2m1xm1y7m40, mR ；名师归纳总结 1证明：不管m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；l 的方程 . 第 4 页,共 11 页2求直线被圆 C 截得的弦长最小时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、已知 O 为原点, 定点Q4,0,点 P 是圆x2y24上一动点；P R 1求线段 PQ 中点的轨迹方程；2设POQ 的平分线交 PQ 于 R ,求 R 点的轨迹方程；7、如下图,过圆O:xO Q 2y24与 y 轴正半轴的交点A作圆的

11、切线 l , M为 l 上任意一点,再过M作圆的另一切线,切点为Q,当点 M在直线 l 上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程；8、已知圆M:x2y221, Q 是 x 轴上的动点, QA ,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点,y 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程；M P B A 名师归纳总结 O . Q x 1C圆心为 1,3 ,半径为1,故此圆必与y 轴 x=0相切,选C. 2D由A A 2B B20可解得3C直线和圆相切的条件应用,xya0 ,2a,a2,选 C; 24A 过点 A 且垂直于直线AB 的平面与平面的交线就是点C 的轨迹,故是一条直线5C原方程x2|y| 2第 5

12、页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6A 由夹角公式和韦达定理求得2 2 27C数形结合法,留意 y 9 x , y 0 等价于 x y 9 y 08A 先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C ,问题转化为求点 A 到圆 C 上的点的最短路径,即| AC | 1 49D已知直线过已知圆的圆心2,1,即 a b 1所以1 2 1 2 a b 3 b 2 a3 2 2a b a b a b10C由 A ,1 3、B ,5 2、C 1,3 的坐标位置知,ABC 所在的区域在第一象限,故 x 0, y 0 .由z x my 得 y 1x z,

13、它表示斜率为 1. m m m1假设 m 0,就要使 z x my 取得最小值, 必需使z 最小,此时需 1 k AC 1 3,即 m 1；m m 3 12假设 m 0,就要使 z x my 取得最小值, 必需使 z 最小,此时需 1k BC 1 2,即 m 2,m m 3 5与 m 0 冲突 .综上可知, m 1. 2001 2000 2002 200111 解：设点 A 1, 1、点 B 10 ,10 、点 C 10 ,10 ,就 M、N 分别表示直线 AB、AC 1的斜率, BC 的方程为 y x ,点 A 在直线的下方,K AB K AC,即 MN；10同理,得 P Q ；答案选 B；

14、认真体会题中 4 个代数式的特点和“ 数形结合” 的好处12 解：由题设得：点 A, B 关于直线 x y c 0 对称 , k AB 4 1 1 m 5；m 1 k l线段 AB 的中点 3,1 在直线 x y c 0 上,c 2 m c 3,答案选 C；13 解：设三角形的另外两边长为 x,y,就0 x 110 y 11；留意“=” 号,等于 11 的边可以多于一条；x y 11点 , x y 应在如右图所示区域内：当 x=1 时, y=11；当 x=2 时, y=10,11；当 x=3 时, y=9,10,11；当x=4 时, y=8,9,10,11；当 x=5 时, y=7,8,9,1

15、0,11；以上共有15 个, x,y 对调又有 15 个；名师归纳总结 再加 6,6,7,7,8,8,9,9,10,10、11, 11,共 36 个,答案选C；第 6 页,共 11 页14 解：圆心 0,0 到直线的距离为d12m,圆半径 rm ；dr12mm1 2m2 10,直线与圆的位置关系是相切或相离,答案选C；15 解：|m n|6coscos2 3sinsincoscos6001,m| |n2圆心Ccos,sin到直线 l 的距离d|cos1|12r,22直线与圆相离,答案选D；复习向量点乘积和夹角余弦的运算及三角函数公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

16、 - - - 16 解: 由题设得：AB5,SABC5,点 C 到直线 AB 的距离d1, 2直线 AB 的方程为4x3y20, 与直线 AB 平行且距离为1 的直线为l1: 4x3y302l: 4x3y70得：圆心O3,5到直线1l 的的距离d16r , 到直线2l 的距离为d24r , ,圆 O 与直线1l 相切；与直线2l 相交 , 满意条件的点 C 的个数是 3,答案选 C 17 解：公共弦所在的直线l 方程为：x2 1y2 1 -4 - xa2yb2 -b2-1 =0即：2 1ax2 1bya210,圆C 始终平分圆C 的周长,圆C 的圆心1, 1 在直线 l 上, 2 1a2 1b

17、a210,即a22a2b50,答案选 B；18 解：直线 l 与点A,12距离为 1,所以直线 l 是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线,同理直线 l 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线,即两圆的公切线,AB 5 3,两圆相交,公切线有 2 条,答案选 B；想一下,假如两圆相切或相离,各有几条公切线？B 填空题 1 解： A 关于 l 的对称点 A , AB 与直线 l 的交点即为所求的 P 点；得 P5,6；想一想,为什么,AB与直线 l 的交点即为所求的 P 点？C A假如 A、B两点在直线的同一边,情形又如何？B22 解：原不等式变换为2 x 1 m 1 2 0,P A 设：f

18、m x 1 m 1 2 x , 2 m 2,按题意得：f 2 0, f 2 0；即：22 xx 22 22 xx 1 30 0 72 1x 32 1；P3 解： 圆心 C 1,1 到直线的距离 =1 1 42 2 r 2,直线与圆相离,1 1C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差 = r = 2 2；4 解：直线方程消去参数 t 得：x y 1 0,圆心到直线的距离 d 1 2,弦长的一半为2 22 2 2 2 14,得弦长为 14 ；2 25 解：圆心坐标为 M cos ,sink cossin 1k 2sin（ ）d1k 21k 2 sin 1 r,所以命题成立；认真体会命题的区分；

19、名师归纳总结 6 解：光线 l 所在的直线与圆C 关于 x 轴对称的圆 C 相切；圆心 C 坐标为2, 2 ,半径r1,第 7 页,共 11 页直线过点 A3,3,设 l 的方程为：y3k x3,即：kxy3 k30圆心 C 到直线 l 的距离d2k223 k31,12k225K120k12,y30；解得：k4或k3,得直线 l 的方程： 4x3y30或 3x434y0上n7 解：由直线ymx 与直线xy0垂直m2,由圆心在直线x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆方程为x12y126,圆心为1,1 ,圆心到直线的距离d1 102,1 1名师归纳总结

20、 - - - - - - -弦 MN 的长 =2r2d22 6248 解：设P x 0 ,y 0, 依据题设条件,线段BC 为点 P 对应圆上的切点弦,直线 BC 的方程为x 0xy 0y4,A点在 BC 上,x 0y04, 即 P 的轨迹方程为：xy4；留意把握切点弦的证明方法；1、设数列a n的前 n 项和S nnan n1 b , n1,2,a、b 是常数且b0；1证明：a n是等差数列；2证明：以a n,S n1为坐标的点nP , n1,2,落在同始终线上,并求直线方程；n3设 a 1, b 1, C 是以 , r r 为圆心, r 为半径的圆 2外时, r 的取值范畴；r0,求使得点

21、P1、P2、P3 都落在圆 C1 解：1证明：由题设得a 1S 1a ；当 n 2 时,a nS nS n1nan n1 bn1 an1 n2ba2 n1 b,a na n1a2 n1 ba2 n2 b2 b；所以a n是以 a 为首项, 2b 为公差的等差数列；证毕；2证明：b0,对于 n2,kP P n 1S n1S 11nan n1 ban1 b1n1a 2 na na 1a1 ba2 n1 b2以an,S n1为坐标的点nP , n1,2,落在过点P a a1,斜率为1 的同始终线上,2n此直线方程为：ya11xa,即x2ya20；23解：当a1,b1时,得P 11,0、P 22,1、

22、P 33,1,都落在圆C 外的条件是22r12r2r2r2 10r12r12r2r25r17024r32r12r2r28r010由不等式,得r 1 由不等式,得r5 22 或 r5 2+2由不等式,得r46 或 r4+6再留意到 r0,15 22 46 =5 + 22 4+6使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时, r 的取值范畴是 0,11,5 22 4+6 ,+ ；2、求与圆x2y25外切于点P1 2,且半径为25的圆的方程第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 解一：设所求圆的圆心为xCa,b,就 a2 1 b2 22 52a3,b2（ ）b6a1

23、所求圆的方程为3 2y6220；注：由于两圆心及切点共线得1式解二：设所求圆的圆心为Ca,b,由条件知OP1OC 1,21 , ,显得更简洁明快,33a63,所求圆的方程为x3 2y6 220；y b认真体会解法2,利用向量表示两个圆心的位置关系,同时表达了共线关系和长度关系值得借鉴；名师归纳总结 - - - - - - -3、如图,已知圆心坐标为M31,的圆 M 与 x 轴及直线D y3 均相切,切点分别为A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、N x 轴及直线y3 均相切,切点分别为C 、 D ；1求圆 M 和圆 N 的方程；B x 2过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N

24、M 截得的弦的长度；M 的半径,就 M 在 C 3 解：1由于圆 M 与 BOA的两边相切,故BOA的角平分线上,同理,N 也在即 O、M、N 三点共线,且 OMN 为M 到 OA及 OB 的距离均为圆 BOA的角平分线上,BOA 的角平分线,M 的坐标为M31,M 到 x 轴的距离为1,即：圆 M 的半径为 1,圆 M 的方程为x32y1 21；设圆 N 的半径为 r ,由RtOAMRtOCN,得：OM:ONMA:NC, 即32r1r3,OC33,圆 N 的方程为：x332y3 29；rA 点的 MN 的平行线被圆N 截得的弦长,2由对称性可知,所求弦长等于过此弦所在直线方程为y3 x 33

25、,即x3y30,圆心 N 到该直线的距离d333333,就弦长 =2r2d233132注：也可求得 B 点坐标3,3,得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程x3y30,再依据圆心 N 到22直线 l 的距离等于3 ,求得答案 233 ；仍可以直接求A 点或 B 点到直线的距离,进而求得弦长4、假如实数 x、 y 满意x22y23,求y x的最大值、 2yx 的最小值；4 解：1问题可转化为求圆xy2 2 y2 y 3 上点到原点的连线的斜率 k 的最大值；xkx ,由图形性质知当直线斜率取最值时,直线与圆相切；设过原点的直线方程为得：2 k03,k3,xmax3k21y2,x y满意x22y

26、23,x23 cosy3sin2xy42 3 cos3 sin415 sin第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2xymin415；留意学习把握解2中利用圆的参数方程将关于x,y 的二元函数转化为关于角的一元函数,从而便利求解的技巧；5、已知圆C: x2 1y2225,直线l: 2m1xm1y7m40, mR ；1证明：不管m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；mR2求直线被圆 C 截得的弦长最小时 5 解：1解法 1： l 的方程 x yl 的方程 . y70, 4m 2x2 xyy70,x3,即 l 恒过定点A 3,1x40,y1,圆心坐标为C1,2

27、,半径r5,AC5r ,点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点；解法 2：圆心到直线 l 的距离d5| 3m61|2,d2554 m3 22m0m2mm26 md55r,所以直线 l 恒与圆 C 相交于两点；32弦长最小时,lAC ,kAC12 1,lk 2,1 20,得 l 的方程为 2 xy2m123 4m 51 0；4代入 2m1 xm1y7m留意把握以下几点： 1动直线斜率不定,可能经过某定点；2直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内, 此结论可推广到圆锥曲线； 3过圆内一点, 最长的弦为直径, 最短的弦为垂直于直径的弦；6、已知 O 为原点,定点Q4,0,点 P

28、是圆x2y24上一动点；1求线段 PQ 中点的轨迹方程；2设POQ 的平分线交 PQ 于 R ,求 R 点的轨迹方程；x22y21；Q 6 解：1设 PQ 中点M x y ,就P2x4,2y ,代入圆的方程得2设R x y ,其中y0,P m n ,由PROP21P R ,RQOQ42O m3 x4,代入圆方程x2y24并化简得：2n3y2x42y216y0；当 y=0 时,即 P 在 x 轴上时,39POQ 的平分线无意义；1此题的解法称作相关点转移法求轨迹,其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系； 2处理“ 角平分线” 问题,一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质,转化为比例关系

29、利用夹角相等；名师归纳总结 7、如下图,过圆O:x2y24与 y 轴正半轴的交点A作圆的切线 l , M为 l 上任意一点,再过M作圆的另一切线,切点为Q,当点 M在直线 l 上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程；7 解：设Q x y 1,AM边上的高为 QB,MQ边上的高为AC ,连接 OQ,MQOQ,当kOQ0时,kMQk1x 1,A0,2,kACy 1,OQy 1x 1第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lAC:y2y 1xx 1x2x 1lQB:xx 1y 1y名师归纳总结 Q x y2在x2y24上,x2y224, 第 11 页,共 11 页当kOQ0时,垂心为点B,也满意方程,而点M与点 N重合时,不能使A,M,Q构成三角形；MAQ 的垂心的轨迹方程为：x2y224x0；8、已知圆M:x2y221, Q 是 x 轴上的动点, QA , QB 分别切圆 M 于 A,B 两点,求动弦 AB 的中点 P