2022年贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座第三讲充满活力的韦达定理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本第三讲 布满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是由于该定理是由 16 世纪法国最杰出的 数学家韦达发觉的韦达定理简洁的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要表达在：运用韦达定理,求方程中参数的值；运用韦达定理,求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式,争论根的符号特点；利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程帮助解题等韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定懂得题的基本思路韦达定理,布满活力,它与代数、几何中很多学问可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类 问题常用到

2、对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例 1】 已知、是方程x2x10的两个实数根,就代数式222的值为 例m0思路点拨所求代数式为、的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为【例 2】假如 a 、 b 都是质数,且a213 am0,b213 bm0,那么ba的值为 abx213xA123B125 或 2 22C125D123 或 2 222222思路点拨可将两个等式相减, 得到 a 、b 的关系,由于两个等式结构相同,可视 a 、b 为方程的两实根,这样就为根与系数关系的应用制造了条件注：应用韦达定理的代数式的值,一般是关于x 、1x 的对称式,这类问题可通过变形用 2x + 1

3、x 、2x 1x 表 2示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧：1 恰当组合；2 依据根的定义降次；3 构造对称式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【例 3】 已知关于x 的方程：x2m2 xm20x12x22有最小值 .4 1求证：无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根 2如这个方程的两个实根x 、x 满意x2x 12,求 m的值及相应的x 、x 思路点拨对于 2 ,先判定1x 、x 的符号特点,并从分类争论入手【例 4】 设x 、x 是方程2x24mx2 m23 m20的两个实

4、数根,当m为何值时,并求出这个最小值思路点拨利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示,再从配方法入手,应留意本例是在肯定约束条件下 0 进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定懂得题时,须满意判别式 0 这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要留意转化前后问题的等价性名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【例 5】 已知：四边形ABCD中, AB CD,且 AB、CD的长是关于x 的方程x22mxm1270的两个24根1 当 m 2 和 m2 时,四边形

5、ABCD分别是哪种四边形.并说明理由2 如 M、N分别是 AD、BC的中点,线段MN分别交 AC、BD于点 P,Q,PQ1,且 ABBC 的长是关于1 求 rn 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本（2）如 E 是 AB上的一点, CFDE于 F,求 BE为何值时, CEF的面积是3CED的面积的1 ,请说明理由316设 m是不小于1 的实数,使得关于 x 的方程工x22m2xm23m0有两个不相等的实数根x 、1x 26,求 m的值1 如x 12x222 求mx 12mx22的最大

6、值1x11x217如图,已知在ABC中, ACB=90 ,过 C作 CDAB于 D,且 ADm,BD=n,AC 2：BC 2 2：1；又关于名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本x 的方程1x22 n1xm2120两实数根的差的平方小于和192,求整数 m、n 的值418设 a 、 b 、 c 为三个不同的实数,使得方程和x2ax10x2bxc0有一个相同的实数根,并且使方程x2xa0和x2cxb0也有一个相同的实数根,试求abc的值参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页