2022年高中数学平面向量知识点与典型例题总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学必会基础题型平面对量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量；记作：AB 或 a ；2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ,记作： | AB 或| a ；3. 单位向量 ：长度为 1 的向量；如 e是单位向量,就 | e | 1；4. 零向量 ：长度为 0 的向量；记作： 0 ；【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量；6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量；7. 相反向量 ：长度相等,方向相反的向量；ABBA ；8. 三角形法就

2、：ABBCAC ； ABBCCDDEAE ； ABACCB （指向被减数）9. 平行四边形法就 ：以a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab , ab ；0 时, a 与 反向；10. 共线定理 ：aba/ /b；当0 时, a 与 同向；当11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底；12. 向量的模： 如a , x y ,就|a|2 xy2,a2|a2 |,|ab| ab2013. 数量积与夹角公式：a b|a| |b| cos；cosba bx x 2y y 2|a| | |14. 平行与垂直：a/ / babx y 2x y ；aa b0题型 1. 基本概念判定正误 ：（1

3、）共线向量就是在同一条直线上的向量；（2）如两个向量不相等,就它们的终点不行能是同一点；（3）与已知向量共线的单位向量是唯独的；（4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD ；（5）如 AB CD ,就 A、B、C、D四点构成平行四边形；（6）由于向量就是有向线段,所以数轴是向量；名师归纳总结 （7）如 a 与 b共线,b 与 c共线,就 a 与 c 共线；第 1 页,共 7 页（8）如 mamb ,就 ab；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （9）如 mana ,就 mn ；学习必备欢迎下载（10）如 a 与 b 不共线,就 a 与 b 都

4、不是零向量；（11）如a bb|a| |b ,就a/ /b ；| |ab ,就 ab；（12）如 |a题型 2. 向量的加减运算1. 设 a 表示“ 向东走 8km” , b 表示“ 向北走 6km” , 就 |ab|；2 ；2. 化简 ABMBBOBCOM；、；3. 已知 |OA| 5, |OB| 3, 就|AB 的最大值和最小值分别为4. 已知 AC 为AB 与AD的和向量,且ACa BDb ,就 AB, AD5. 已知点 C在线段 AB上,且AC3AB , 就 ACBC , ABBC ；5题型 3. 向量的数乘运算3 2a3 b1. 运算：（1） 3ab2ab（2） 22a5 b3 2.

5、 已知a1, 4,b 3,8,就3 a1b；2题型 4. 作图法球向量的和已知向量a b ,如下图,请做出向量3 a1b 和2a3b ；22ab题型 5. 依据图形由已知向量求未知向量1. 已知在 ABC中, D 是 BC 的中点,请用向量 AB AC 表示 AD ；2. 在平行四边形 ABCD 中,已知 AC a BD b ,求 AB 和 AD；题型 6. 向量的坐标运算名师归纳总结 1. 已知AB4,5,A2,3,就点 B 的坐标是；第 2 页,共 7 页2. 已知PQ 3, 5,P 3,7,就点 Q 的坐标是；3. 如物体受三个力F 11,2,F 2 2,3,F 3 1, 4, 就合力的

6、坐标为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知a 3,4,b5,2,求 a学习必备欢迎下载b , ab , 3 a2 b ；5. 已知 A 1,2, B 3,2 , 向量 a x 2, x 3 y 2 与 AB 相等,求 ,x y 的值；6. 已知 AB 2,3,BC m n ,CD 1,4,就 DA；7. 已知 O 是坐标原点,A 2, 1, B 4,8,且 AB 3 BC 0,求 OC 的坐标；题型 7. 判定两个向量能否作为一组基底1. 已知 e e 是平面内的一组基底,判定以下每组向量是否能构成一组基底：A. e 1 e 2 和 e 1 e

7、 2 B. 3 e 1 2 e 2 和4 e 2 6 e 1 C. e 1 3 e 2 和 e 2 3 e 1 D. e 2 和 e 2 e 12. 已知 a 3,4,能与 a 构成基底的是（）A.3 4 B. 4 3, C. 3, 4 D. 1, 45 5 5 5 5 5 3题型 8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知 O 是坐标原点,点 A 在其次象限, | OA | 2,xOA 150,求 OA 的坐标；2. 已知 O 是原点,点 A 在第一象限, | OA | 4 3,xOA 60,求 OA 的坐标；题型 9. 求数量积1. 已知 |a| 3,|b| 4,且 a与 b 的夹角为 60

8、,求（ 1） a b ,（2）aab ,1b2ab ,（3）ab ,（4） 2ab a3 b ；22. 已知a6,b 8,10,求（ 1） |a|,|b ,（2） a b ,（3）a2,（4） 2ab a3 b ；题型 10. 求向量的夹角名师归纳总结 1. 已知 |a| 8,|b| 3,a b12,求 a 与 b 的夹角；第 3 页,共 7 页 3,1,b2. 已知a 2 3, 2,求 a 与 b 的夹角；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 已知A 1,0,B 0,1,C2,5学习必备欢迎下载,求 cosBAC ；题型 11. 求向量的模1. 已

9、知 |a| 3,|b| 4,且 a与 b 的夹角为 60 ,求（ 1） |ab ,（2） | 2 a13b ；2,6,bb ；2. 已知a 8,10,求（ 1） |a|,|b ,（5） |ab ,（6）|a23. 已知 |a| 1 |,b|2, | 3 a2 b| 3,求 | 3ab ；题型 12. 求单位向量【与 a 平行的单位向量：e|a|】a1. 与a12,5平行的单位向量是；b ？（ 2） ab ？2. 与m1 1, 2平行的单位向量是；题型 13. 向量的平行与垂直1. 已知a6,2,b 3,m ,当 m 为何值时,（1）a/ /2. 已知a1,2,b 3,2,（1） k 为何值时,

10、向量 kab 与a3 b 垂直？（2） k 为何值时,向量 kab 与a3 b 平行？abc ；a c ,且 bc ,求证：3. 已知 a 是非零向量, a b题型 14. 三点共线问题名师归纳总结 1. 已知A 0,2,B2, 2,C3,4,求证：A B C 三点共线；第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 设AB2 2a5 ,BC2a学习必备a欢迎下载D三点共线；8 , b CD3b ,求证： A、 、3. 已知ABa2 , b BC5a6 , b CD7a2b,就肯定共线的三点是；4. 已知A 1, 3,B8, 1,如点C2

11、a1,a2在直线 AB 上,求 a 的值；tOBOC成5. 已知四个点的坐标O0,0,A 3, 4, 1,2,C1,1,是否存在常数 t ,使 OA立？题型 15. 判定多边形的外形1. 如AB3e,CD5e,且 |AD| |BC , 就四边形的外形是；2. 已知A 1,0,B 4,3,C2, 4,D0,2,证明四边形 ABCD 是梯形；3. 已知A 2,1,B6,3,C0,5,求证：ABC 是直角三角形；4. 在平面直角坐标系内,OA 1,8,OB 4,1,OC1,3, 求证：ABC 是等腰直角三角形；题型 16. 平面对量的综合应用名师归纳总结 1. 已知a1,0,b2,1,当 k 为何值

12、时,向量 kab 与a3 b 平行？第 5 页,共 7 页2. 已知a 3,5,且 ab , |b|2,求 b 的坐标；3. 已知 a 与 同向,b1,2,就a b10,求 a 的坐标；3. 已知a1,2,b3,1,c5,4,就 cab ；4. 已知a5,10,b 3, 4,c5,0,请将用向量a b 表示向量 c ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 已知am ,3,b2,1学习必备欢迎下载,（1）如 a 与 b 的夹角为钝角,求 m 的范畴；（2）如 a 与 b 的夹角为锐角,求 m 的范畴；6. 已知a6,2,b 3,m ,当 m 为何值时,

13、（1） a 与 b 的夹角为钝角？（ 2） a 与 b 的夹角为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为A 1,2,B3,4,D2,1,且AB/ /DC ,AB2 CD ,求点 C 的坐标；8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为A 2,1, 1,3, 3, 4,求第四个顶点 D的坐标；9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成 30 角,求水流速度与船的实际速度；10. 已知ABC 三个顶点的坐标分别为A 3,4,B0,0,C c ,0,（1）如AB AC0,求 c 的值；（2）如c5,求 sin A 的值；【备用】1. 已知

14、| a | 3,| b | 4,| a b | 5,求 | a b 和向量 a b的夹角；2. 已知 x a b ,y 2 a b ,且 | a | | b | 1, a b ,求 x y 的夹角的余弦；1. 已知 a 1,3, b 2, 1,就 3 a 2 2 a 5 65 ；4. 已知两向量 a 3, 4, b 2, 1,求当 a xb 与 a b 垂直时的 x 的值；5. 已知两向量 a 1,3, b 2, , a 与 的夹角 为锐角,求 的范畴；变式： 如 a , 2, b 3,5, a 与 的夹角 为钝角,求 的取值范畴；挑选、填空题的特别方法：1. 特例法名师归纳总结 - - -

15、- - - -例：全品 P27：4；由于 M,N在 AB,AC上的任意位置都成立, 所以取特别情形, 即 M,N与 B,C重合时,可以得到mn1,mn2；第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 代入验证法名师归纳总结 例：已知向量a1,1,b1, 1,c 1, 2,就 c（ D ）CM第 7 页,共 7 页A.1a3b B.1a3b C.3a1b D.3a1b22222222变式： 已知a1,2,b 1,3,c 1,2,请用a b 表示 c ；解： 设 cxayb ,就 1,2x1,2y 1,3即： 1,2 ,2 y ,3 xy,2x3 1xy 且22x3y,即：xy1 且2x3y2解得：x4,y9,c4a9b55553. 排除法例：已知 M是ABC 的重心,就以下向量与AB 共线的是（ D A. AMMBBC B.3AMAC C.ABBCAC D.AMBM解：观看前三个选项都不与AB 共线,所以选 D；- - - - - - -