2022年高中数学必修+选修全部知识点精华归纳讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专题一：推理与证明学问结构推推理合情推理归纳推理演绎推理类比推理理与证明直接证明比较法证综合法明间接证明分析法反证法数学归纳法1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 称为归纳推理 简称归纳 . 简言之 , 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理；归纳推理的一般步骤：通过观看个别情形发觉某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求,可有可无）. 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理称为类比推理（简称类比）

2、.简言之, 类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以准确表述的相像特点；用一类对象的已知特点去估计另一类对象的特点,从而得出一个猜想；检验猜想；3、合情推理 归纳推理和类比推理都是依据已有的事实,经过观看、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理 . . 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“ 合乎情理” 的推理 4、演绎推理 从一般性的原理动身,推出某个特殊情形下的结论,这种推理称为演绎推理简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理 .演绎推理的一般模式“ 三段论” ,包括 大前提 - 已知的一般原理；小前提 - 所讨论的特殊情形；结

3、论 - 据一般原理,对特殊情形做出的判定名师归纳总结 用集合的观点来懂得：如集合M中的全部元素都具有性质P,S是M的一个子集 ,那么第 1 页,共 15 页S 中全部元素也都具有性质P. a SM - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载从推理所得的结论来看,合情推理的结论不肯定正确,有待进一步证明；演绎推理在前 提和推理形式都正确的前提下,得到的结论肯定正确 . 5、直接证明与间接证明 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最终推 导出所要证明的结论成立 . 框图表示：要点： 顺推证法；由因导果 .分析法

4、： 从要证明的结论动身,逐步查找使它成立的充分条件,直至最终,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止 . 框图表示：要点： 逆推证法；执果索因 .反证法：一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最终得出冲突,因此说明假设错误,从而证明白原命题成立.的证明方法 . 它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤：1 （反设）假设命题的结论不成立；2 （推理）依据假设进行推理 , 直到导出冲突为止；3 （归谬）断言假设不成立；4 （结论）确定原命题的结论成立 . 6、数学归纳法数学归纳法是 证明关于正整数 n 的命题 的一种方法 . 用数学归纳法

5、证明命题的步骤 ; *（ 1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n 0 n 0 N 时命题成立；*（ 2）（归纳递推）假设 n k k n 0 , k N 时命题成立,推证当 n k 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以确定命题对从 n 开头的全部正整数 n 都成立 . 用数学归纳法可以证明很多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、 数列通项公式、几何中的运算问题等 . 专题二：数系的扩充与复数1、复数的概念虚数单位 i ；复数的代数形式 z a bi , a b R ；复数的实部、虚部,虚数与纯虚数 . 2、复数的分类复数zabia bR0,bb00实数b0纯虚数aa

6、虚数b0非纯虚数0,3、相关公式名师归纳总结 abicdiab ,且cd第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - abi0ab0学习必备欢迎下载zabia2b2. zabiz,z指两复数实部相同,虚部互为相反数（互为共轭复数）4、复数运算复数加减法：a bi c di a c b d i；复数的乘法：a bi c di ac bd bc ad i ；a bi a bi c di复数的除法：c di c di c diac bd2 bc2 ad i ac2 bd2 bc2 ad i 2c d c d c d（类似于无理数除法的 分母有理化

7、 虚数除法的 分母实数化 ）5、常见的运算规律1z1iz;4n2zz2 , a zz2 ;2zR0,3n1,3 n2,3 n313z zz2z2a2b2;4zz ;5zz6i4ni i21,i4n3i i4n41;ii;81ii,1ii,1i27 111i1i223 i是 1 的立方虚根,就19设26、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系,其中x 轴叫做复平面的实轴,y 轴叫做复平面的虚轴 . 复数zabi一一对应复平面内的点 （a,b复数一一对应平面对量OZzabi专题三：排列组合与二项式定理1、基本计数原理名师归纳总结 分类加法计数原理： 分类相加 第 3 页,共 15 页做一件

8、事情,完成它有n 类方法,在第一类方法中有m 种不同的方法,在其次类方法中有m 种不同的方法 在第n 类方法中有m 种不同的方法 . 那么完成这件事情共有Nm 1m 2m n种不同的方法 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分步乘法计数原理： 分步相乘 学习必备欢迎下载做一件事情, 完成它需要 n 个步骤, 做第一个步骤有 m 种不同的方法, 做其次个步骤有 1 m 2种不同的方法 做第 n 个步骤有 m 种不同的方法 . 那么完成这件事情共有N m 1 m 2 m n 种不同的方法 . 2、排列与组合排列定义：一般地,从 n 个不同的元素中任取 m

9、 m n 个元素,依据肯定的次序排成一列,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列 . 组合定义：一般地,从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中任取 m个元素的一个组合 . 排列数：从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素的全部排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数,记作 A n m. 组合数：从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素的全部组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的组合数,记作 C n m. 排列数公式：A n mnn1n2. nm1m A nnn！.；1mA n n.n,

10、规定.0组合数公式： C n m n n 1 n 2 n m 1 或 C n m n！；m . m . n m . C n m C n n m,规定 C n 01 . 排列与组合的区分：排列有次序,组合无次序 . m m m排列与组合的联系：A n C n A m,即排列就是先组合再全排列 . mC n m A nm n n 1 n m 1 n . m n 排列与组合的两个性质性质A m m m 1 2 1 m . n m .m m m 1 m m m 1排列 A n 1 A n mA n；组合 C n 1 C n C n .解排列组合问题的方法名师归纳总结 特殊元素、特殊位置优先法（ 元素优

11、先法 ：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其第 4 页,共 15 页他元素； 位置优先法 ：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置）. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载间接法 （对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的全部情形去掉）.相邻问题捆绑法（把相邻的如干个特殊元素“ 捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“ 一般元素” 全排列,最终再“ 松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻 相间 问题插空法 （某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采纳插空法,即先支配好没有限制元条件的元素,之间） .有序问题组

12、合法 . 选取问题先选后排法 . 至多至少问题间接法 . 相同元素分组可采纳隔板法 . 然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素分组问题 ：要留意区分是平均分组仍是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以n！. 3、二项式定理二项绽开公式：abnTrC a n 0nrC a n 1nr1 bC a n 2n2 b2N,nC a n rn rbrn C bnnN.1Canrb0rn,rN. 主要用途是求指定的二项绽开式的通项公式：n项. 项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系数 . 如在 ax b n的绽开式中, 第

13、r 1 项的二项式系数为 C ,第 rr 1 项的系数为 C a r n rb ；r而 x 1 n的绽开式中的系数等于二项式系数；二项式系数肯定为正,而项的系数不肯定x为正 . n n 0 n 1 n 1 2 n 2 n 0 1 x 的绽开式：1 x C n x C n x C n x C n x,如令 x 1,就有n n 0 1 2 n1 1 2 C n C n C n C n . 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和 . 即0 2 1 3 n 1C n C n C n C n 2二项式系数的性质：（1）对称性 ：与首末两端“ 等距离” 的两个二项式系数相等,即CmCnm；r nnn

14、（2）增减性与最大值：当rn21时,二项式系数Cr n的值逐步增大, 当rn21时 ,C的值逐步减小,且在中间取得最大值；当n 为偶数时,中间一项（第n 1 项）的二项式系 2数Cn取得最大值. 当 n 为奇数时,中间两项（第n21和n211 项）的二项式系数2 nn1n1Cn2Cn2相等并同时取最大值. 系数最大项的求法名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设第 r 项的系数学习必备欢迎下载rA最大,由不等式组A rA rA r1A r1可确定 r . 赋值法如axbna 0a xa x2.a xn,就设f x ax

15、b . n有：f 1;a 0f0;f1;a 0a 1a2.a na 0a 1a2a3. 1na na 0a2a4a 6.f1f 1;2a 1a 3a5a 7.f1f 1.2专题四：随机变量及其分布学问结构1、基本概念互斥大事：不行能同时发生的两个大事 . 假如大事 A、 、C,其中任何两个都是互斥大事,就说大事 A、 、C 彼此互斥 . 当 A、B 是互斥大事时,那么大事 A B 发生（即 A、B 中有一个发生）的概率,等于大事 A、B 分别发生的概率的和,即P A B P A P B对立大事：其中必有一个发生的两个互斥大事 . 大事 A 的对立大事通常记着 A . 对立大事的概率和等于 1.

16、 P A 1 P A . 特殊提示： “ 互斥大事” 与“ 对立大事” 都是就两个大事而言的,互斥大事是不行能同名师归纳总结 时发生的两个大事,而对立大事是其中必有一个发生的互斥大事,因此,对立大事必定是互第 6 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载斥大事,但互斥大事不肯定是对立大事 条件 . ,也就是说“ 互斥” 是“ 对立” 的必要但不充分的相互独立大事：大事A（或B）是否发生对大事B（或A）发生的概率没有影响,（即其中一个大事是否发生对另一个大事发生的概率没有影响 大事 . ）. 这样的两个大事叫做相互独立当 A、

17、B 是相互独立大事时,那么大事 A B 发生（即 A、B 同时发生）的概率,等于大事 A、B 分别发生的概率的积 . 即P A B P A P B . 如 A、B 两大事相互独立,就 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的 . 独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为 n 次独立重复试验. 独立重复试验的概率公式假如在 1 次试验中某大事发生的概率是 发生 k 次的概率p ,那么在 n 次独立重复试验中这个试验恰好P nkk C pk 1 pnkk0 , 1 2 , .B 发生的概率,叫条件概率： 对任意大事A 和大事 B,在已知大事A 发生的条件下大事做条件

18、概率 .记作 PB|A ,读作 A 发生的条件下B 发生的概率 . 公式：P B AP AB,P A0.P A2、离散型随机变量随机变量：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母 X Y , , 等表示 . 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的值,可以按肯定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 . 连续型随机变量 : 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 . 离散型随机变量与连续型随机变量的区分与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按

19、肯定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不行以一一列出 . 如 X 是随机变量,Y aX b a b 是常数）就 Y 也是随机变量 并且不转变其属性 （离散型、连续型）. 3、离散型随机变量的分布列概率分布（分布列）名师归纳总结 设离散型随机变量X可能取的不同值为x x , ,1 2ix , ,nx ,第 7 页,共 15 页X 的每一个值ix （i1,2,n ）的概率P Xx ip ,就称表Xx1x2ixxnippnPp1p2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为随机变量 X 的概率分布,简称学习必备欢迎下载X 的分布列 . 性质：ip0,i1,2,.

20、 ;inp i1.1两点分布假如随机变量X 的分布列为pP X1为胜利概率 . X0 1 P1pp就称 X 听从 两点分布 ,并称二项分布假如在一次试验中某大事发生的概率是 生 k 次的概率是P Xkk C pk1pn k.p,那么在 n 次独立重复试验中这个大事恰好发其中k0,1,2,.,n ,q1p ,于是得到随机变量X的概率分布如下：n0X0 1 k1 1C p qn1k kC p qnkn nC p qP0 0C p qn我们称这样的随机变量X 听从 二项分布 ,记作XBn ,p,并称 p 为胜利概率 . 判定一个随机变量是否听从二项分布,关键有三点：对立性： 即一次试验中大事发生与否

21、二者必居其一；重复性： 即试验是独立重复地进行了 n 次; 等概率性： 在每次试验中大事发生的概率均相等 . 注： 二项分布的模型是有放回抽样；p k n , , . 二项分布中的参数是超几何分布一般地 , 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取n 件, 其中恰有 X 件次品数 , 就大事Xk 发生的概率为P Xkk C Cn k k0,1,2,m, 于是得到随机变量XNMCn N的概率分布如下：其中N MN n M NN*X0 1 mmminM n ,nP0 C Cn N01 nC C N1m n mC C N MMMCn NCn Nn C N. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分

22、布列, 且称随机变量X 听从 超几何分布 .注: 超几何分布的模型是不放回抽样；名师归纳总结 超几何分布中的参数是M,N n 其意义分别是第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 总体中的个体总数、学习必备欢迎下载N中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值一般地,如离散型随机变量X 的分布列为Xx1x2ixxnPp1p2ippn就称E X x p 1 x p 2 x p i x p 为离散型随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望） .它反映了离散型随机变量取值的平均水平 . 性质： E aX b a

23、E X b .如 X 听从两点分布,就 E X p .如 X B n , p,就 E X np .离散型随机变量的方差一般地,如离散型随机变量X的分布列为Xx1x2ixxnPp1p2ippn就称n2D X x i E X p为离散型随机变量 X 的方差, 并称其算术平方根 D X 为随i 1机变量 X 的标准差 .它反映了离散型随机变量取值的稳固与波动,集中与离散的程度 . D X 越小, X 的稳固性越高,波动越小,取值越集中；D X 越大, X 的稳固性越差,波动越大,取值越分散 .性质：D aXb 2 a D X.D X1p1P.如 X 听从两点分布,就npP.如XBn ,p,就D X专

24、题五：矩阵与变换重要学问要点五种特殊变换名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.旋转变换cos a学习必备x欢迎下载aysinas i n axcossinac o s ayxsinaycosa2.反射变换关于 X 轴对称101xxxB2xxAAB2yy0yy关于 Y 轴对称010xx1yy关于 Y=X 对称01xx3.伸缩变换10yy纵轴伸缩10xx0kyky横轴伸缩k0xkx01yy横纵均伸缩k 10xk 1x4.投影变换0k 2yk2y关于 X 轴正投影0 01x0y0关于 Y 轴正投影0 00x01yyB2A

25、Bx关于 AX+BY=0投影A2B2A2B22 AB22B5.切变变换ABA2xyAB22 AB2A2B2A2B22 ABA2x1kxky沿 X 轴平行方向移ky 个单位01yy10x沿 Y 轴平行方向移kx 个单位k1ykxy有关矩阵的乘法名师归纳总结 1 矩阵 A=ab与 a =x相乘第 10 页,共 15 页cdy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Aaabx=axby学习必备欢迎下载cdycxdyA aaabAbx=abax=axAby2=baxby=AacdycdycxdycxdyA bAaA 12b1aA复合变换A BaABa如向量 a 先经

26、过矩阵 A 再经过矩阵B 变换后BAaAB CA BCABBA（矩阵相乘没有交换律）A kAlAkl如 AC=AB 但CB（没有消去律）k A lAkl如E2AAE2AE 为单位矩阵应把握的重要题型：已知曲线fx经过矩阵变换后得曲线f x 逆矩阵（五种特殊变换,除了投影变换外其他都有逆矩阵）已知矩阵 A=ab求逆矩阵A1cd如detAAab=adbc0就cddbA 有逆矩阵A1=AAcaAAAA1E210为单位矩阵E200为零矩阵00100用逆矩阵求二元一次方程组名师归纳总结 已知axbyeA=a1b为二元一次方程组的系数矩阵第 11 页,共 15 页cxdyfcd这二元一次方程组可写成abx

27、=ecdyfAe=x yf- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知axby0学习必备欢迎下载cxdy0（其中a,b,c,d是不全为 0 的常数） 就此二元一次方程组有非0 解的充要条件是ab=0 cd特点值与特点向量已知 A=aba =e求特点值、特点向量和Ana2的一个cdf令fcabd=0 解出1或2当1当2（1a）xby0（2a）xby0cx1dy0cx2dy0x 1x21y 12y 21x 1是 A 属于1的一个2x2是 A 属于y 1y2特点向量特点向量设ak 11k22得k 1k 2Ana=k1n1k2n212专题六：坐标系与参数方程1、平面

28、直角坐标系中的伸缩变换设点Px,y是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:xx,0,的作用yy,0 .下,点Px,y对应到点Px,y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ,简称 伸缩变换 ；2、极坐标系的概念在平面内取一个定点 O ,叫做 极点 ；自极点 O 引一条射线 Ox 叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 ,这样就建立了一个 极坐标系 ；M , O x图 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记为 数对学习必备欢迎下载点 M 的极坐标： 设 M 是平面内

29、一点, 极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径 ,；以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 xOM 叫做点 M 的极角 ,记为；有序 , 叫做 点 M 的极坐标 ,记为 M , . 注：极坐标,与,2 kkZ表示同一个点；极点O的坐标为0,R. 与表示如0 , 就0 , 规定点,与点,关于极点对称,即,表示同一点；假如规定0,02,那么除极点外, 平面内的点可用唯独的极坐标（即一一对应的关系） ；同时,极坐标,表示的点也是唯独确定的；极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数、对应惟一点 P, ,但平面内任一个点 P的极坐标不惟一一个

30、点可以有很多个坐标,这些坐标又有规律可循的,P, （极点除外）的全部坐标为 ,2 k 或（, k 1）, k Z 极点的极径为 0,而极角任意取如对、的取值范畴加以限制 就除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了,如限定 0,0 2 或 0,M等M Maa O xO x O a x图3图1 图22a cosa 2 a cosM O x Ma M a a , aO x O x图4 图5 图62a sin 2a sin 2a cos 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中, 点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、极坐标与直角坐标的互化名师归纳总结 设 M

31、 是平面内任意一点,它的直角坐标是 , x y ,极坐标是 , ,从图中可以得出：M第 13 页,共 15 页yxcos ,ysin2x2y2,t nyx0.Nxx4、简洁曲线的极坐标方程圆的极坐标方程a ；（如图 1）y以极点为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是以 ,0a0为圆心,xcoOx 2y 220 Hs siytanyxxn（直极互化图）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 为半径的圆的极坐标方程是学习必备欢迎下载2acos；（如图 2）以 , a 0 为圆心,2a 为半径的圆的极坐标方程是2asin；（如图 4）直线的极坐标方程过极点的直线

32、的极坐标方程是0和0 . （如图 1）过点Aa0,a0,且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cosa. 化为直角坐标方程为 xa . （如图 2）a . 化为直角坐标方程为过点A a ,2且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sinya . （如图 4）5、参数方程的概念在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数x f t ,并且对于 t 的每一个答应值,由这个方程所确定的点 M x , y 都在这条曲线上,y g t ,那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程 ,联系变数 x, y 的变数 t 叫做 参变数 ,简称 参数 ；相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做 一般方程 ；7、常见曲线的参数方程名师归纳总结 （1）圆xa2yb2r2的参数方程为xarcos（为参数）；. 第 14 页,共 15 页ybrsin（2）椭圆x2y21 ab0的参数方程为xacos（为参数）；22ybsinab椭圆y2x21 ab0的参数方程为xbcos（为参数）；22yasinab（3）双曲线x2y21 ab0的参数方程xas e c（为参数）；2b2ybt a na双曲线y22 x1 ab0的参数方程xbc o t（为参数）；2b2yac sca（4）抛物线y22px 参数方程x2pt2t 为参数,t1）