2022年高三文科数学一轮复习之平面向量 .pdf

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1、向量复习知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行单位向量：模为1 个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCbuuu ruuu rrr，则a+br=ABBCuu u ruu u r=ACuuu r（1）aaa00； （2）向量加法满足交换律与结合律；ABBCCDPQQRARuuu ruuu ruu u ru uu ru uu ru uu rL，但这时必须“首尾相连 ”

2、 3、向量的减法： 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量向量减法： 向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（）aa； （）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b= a6、平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其名

3、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量ar可表示成axiyjrrr，记作ar=(x,y) 。2平面向量的坐标运算：(1) 若1122,axybxyrr，则1212,abxxyyrr(2) 若2211,yxByxA，则2121,ABxx yyuu u r(3) 若ar=(x,y) ，则ar=(x, y)

4、 (4) 若1122,axybxyrr，则1221/0abx yx yrr(5) 若1122,axybxyrr，则1212a bxxyyrr若abrr，则02121yyxx三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量ar与br，它们的夹角为，则arbr=ar brcos叫做ar与br的数量积（或内积）规定00arr2向量的投影：brcos=|a barrr R，称为向量br在ar方向上的投影投影的绝对值称为射影3 数量积的几何意义：arbr等于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22|a aaarrrr5 乘法公式成立：2222ababababrrrrrr

5、rr；2222abaa bbrrrrrr222aa bbrrrr6 平面向量数量积的运算律：交换律成立：a bb arrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 对实数的结合律成立：aba babRrrrrrr分配律成立：abca cb crrrrr rrcabrrr特别注意：（1）结合律不成立：ab ca bcrrrrrr；（2）消去律不成立a ba crrr r不能得到bcrr（3）a brr=0不能得到ar=0

6、r或br=0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax ybxyrr，则arbr=1212x xy y8向量的夹角：已知两个非零向量ar与br，作OAuu u r=ar, OBuuu r=br,则 AOB=（001800）叫做向量ar与br的夹角cos=cos,a ba bab?rrrrrr=222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量ar与br同方向时，=00，当且仅当ar与br反方向时=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果ar与br的夹角为900则称ar与br垂直，记作arbr10 两个非零向量垂直的充要条件：ab

7、abO02121yyxx平面向量数量积的性质题型一：向量的概念与几何运算例 1出下列命题：若ba，则ba；若 A、B、 C、D 是不共线的 四 点 ， 则DCAB是 四 边 形 为 平 行 四 边 形 的 充 要 条 件 ； 若cbba,，则ca；ba的充要条件是ba且ab；若ab，bc，则ac。其中，正确命题的序号是_ 答案：。例 2 （2011 四川）如图12，正六边形ABCDEF中，BACDEF( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - -

8、 - - - - - - - 图 12 A0 BBEC.ADDCF【解析】BACDEFBAAFBCBFBCCF，所以选 D. 例 3 （20XX届杭二模） 已知非零向量a，b 满足 | a + b| =| ab |=2 33| a| ，则 a + b 与 ab 的夹角为（）A30 B60 C120 D150答案： B 例 4已知,OAa OBb OCc ODd OEeuu u rr uu u rr uu u rr uuu ru r uuu rr，设tR，如果3,2,acbdrrru r()et abrrr，那么t为何值时，,C D E三点在一条直线上？解： 由题设知，23 ,(3)CDdcba

9、 CEectatbuuu ru rrrr uuu rrrrr，,C D E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCDuuu ruuu r，即(3)32tatbkakbrrrr，整理得(33 )(2)tk akt brr. 若,a br r共线，则t可为任意实数；若,a br r不共线，则有33020tktk，解之得，65t. 综上，,a br r共线时，则t可为任意实数；,a br r不共线时，65t. 【小结】：1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

10、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2注意 O 与 O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明AB CD ，需证AB CD ，且 AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证AB AC 即可4 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点题型二：平面向量的坐标运算例 1设a(ksin , 1) ，b(2 cos, 1) (0 1?| |a22a b| |b21? a b12?| |a| |bcos

11、cos 12? 0，23， 所以 p1为真命题， p2为假命题又因为|ab 1?| |a2 2a b| |b21? a b12?| |a| |b cos cos 12? 3，所以 p4为真命题， p3为假命题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -