2022年高中数学---椭圆知识点小结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高二数学下学期椭圆学问点1、椭圆的第肯定义 ：平面内一个动点 P 到两个定点 F 、F 的距离之和等于常数 PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距 . 留意： 如PF1PF2F 1F2,就动点 P 的轨迹为线段F 1F 2；如PF 1PF2F 1F 2,就动点 P 的轨迹无图形 . 2、椭圆的标准方程1）当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程：x2y21ab0 ,其中c2a2b2；22ab2）当焦点在2y 轴上时,椭圆的标准方程：y a2x21ab0 ,其中2

2、2c2a2b2；b3、椭圆：x2y1ab0 的简洁几何性质a2b22 2（1）对称性： 对于椭圆标准方程 x2 y2 1 a b 0 ：是以 x 轴、 y 轴a b为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心；（2）范畴： 椭圆上全部的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意xa,yb；（3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点；椭圆x2y21ab0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A 1a , 0 ,A 2a , 0 ,；a2b2B 1,0b ,B 2,0b ； 线段A 1A 2,B 1B2分别叫做椭圆的长

3、轴和短轴,A 1A 22 a,B 1B 22 ba 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；e表示,记作e2 cc；由于（4）离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用2 aaac0,所以 e的取值范畴是0e1 ； e越接近 1,就 c就越接近 a ,从而ba2c2越小,因此椭圆越扁；反之,e越接近于 0,c就越接近 0,从而 b 越接近于a,这时椭圆就越接近于圆；当且仅当ab时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a；留意：椭圆x2y21的图像中线段的几何特点（如下图）：a2b2PF 1PF22 aPF 1PF2e；PM1PM2PM1PM22 a2；c- 1 - 名师

4、归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、椭圆的令一个定义：与到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形；即上图中有PF1PF2ePM1PM2y2x21ab0的区分和联系5： 椭圆x2y21a2b2a2b2一标准（焦点在 x 轴）0（焦点在 y 轴）x2y21 aby2x21 ab0 方程a2b2a2b2第肯定义：平面内与两个定点F ,F 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫焦点,两定点间距离焦距；定义MMF 1MF22a2aF 1F 2yyMF 2MF 1OF2xOxF

5、1其次定义： 平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线；yy范围xMM2bxxF 2MaxF 1FMF 1ayby顶点坐标F c 1 ,0 a,00,b0 ,ab,0对 称 轴x轴,y轴；长轴长为2a,短轴长为2 bc对称中心原点O0,0F 20,F 2c ,0F 10, 焦点坐标焦点在长轴上,ca2b2；焦距：F F 22c2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 离 心 率ec 0e1 ,e2c2a2ab2,aa2e越大

6、椭圆越扁, e 越小椭圆越圆；xa2y1a2cc准线方程2a2准线垂直于长轴,且在椭圆外；两准线间的距离：c顶点到准顶点A （A ）到准线1l （2l）的距离为a2ac线的距离顶点A （A ）到准线2l（1l ）的距离为a2ac焦点到准焦点F （F ）到准线1l （2l）的距离为a2cc线的距离焦点F （F ）到准线2l（1l ）的距离为a2cc椭圆上到最大距离为： ac焦点的最最小距离为： ac大（小）距相关应用题：远日距离ac离近日距离 ac椭圆x2y21与直线 ykxb的位置关系：a2b2利用导数直线和椭利用x22 y1转化为一元二次方程用判别式确定；2a2 b圆的位置ykxb相交弦 A

7、B 的弦长AB1k2 x 1x 224x x 2通径：ABy2y 1过椭圆上x 0xy 0y1利用导数y yx x一点的切a2b2a2b2aey 0,线焦半径PF 1aex 0,PF 2aex 0PF 1PF 2aey 0椭圆1.点 P 处的切线PT 平分 PF 1F2在点 P 处的 外角 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.|PT 平分 PF 1F 2在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除3.去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.

8、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.如P x 0 0,y 0在椭圆x2y21上,就过0P 的椭圆的切线方程是x xy y1. a2b2a2b26.如P x 0,y 0在椭圆x2y21外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直a2b2线方程是x xy y1. 7.a2b2椭圆x2y21ab0的左右焦点分别为F 1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF 2,就椭圆a2b28.的焦点角形的面积为SF PF 12b2 tan2.椭圆x2y21（ ab0）的焦半径公式：a2b29.MF 1|aex ,|MF 2|aex F 1c ,0, F c

9、 2 ,0M x 0,y 0. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交10.相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,就MF NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和 A1Q 交于点 N,就 MF NF. 11.AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,Mx0y 0为 AB 的中点,就k OMkABb2,a2b2a2即K ABb2x 0；12.a2y0x2y21内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x x 02ay y 02b2 x 0

10、2a2 y 02b. 如P x 0,y 0在椭圆a22b13.如P x 0,y 0在椭圆x2y21内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x xy y. a2b2a2b2a2b2推 导1.椭圆x2y21（a bo）的两个顶点为A 1a ,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、a2b2P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是x2y21. 2.a2b2B,C过椭圆x2y21a 0, b0上任一点A x 0,y 0任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于a2b2两点,就直线BC 有定向且kBC2 b x 0（常数） . 2 a y 04 名师归纳总结 - - - - - - -第

11、 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.如 P 为椭圆x2y21（ab 0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , PF F 2, a22 b4.5.6.7.8.9.10.11.12.PF F 1,就actan2cot2. ac设椭圆x2y21（ab 0）的两个焦点为F 1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在a2b2 PF 1F 2中,记F PF 2, PF F 2,F F P,就有sinsinsince. a如椭圆x2y21（a b0）的左、 右焦点分别为F 1、F2,左准线为L,就当 0e21时,a2b2可在椭圆上求一点P,使得 PF

12、1 是 P 到对应准线距离d 与 PF 2 的比例中项 . P 为 椭 圆x2y21（ a b 0） 上 任 一 点 ,F1,F 2为 二 焦 点 , A为 椭 圆 内 一 定 点 , 就a22 b2a|AF 2| |PA|PF 1| 2a|AF 1|,当且仅当A F 2,P 三点共线时,等号成立. 椭 圆xax02yby021与 直 线AxByC0有 公 共 点 的 充 要 条 件 是222 A a22 2B bAx 0By0C2. 已知椭圆x2y21（ab0）,O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点,且OPOQ .（ 1）a2b2|12 |12 |11;（2）|OP|2+|OQ|2 的最

13、大值为2 4a b2;（ 3）SOPQ的最小值是a2 2a b2. OPOQa2b2a2b22b过椭圆x2y21（ab 0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平a2b2分线交 x 轴于 P,就| |PF|e. MN|2已知椭圆x2y21（ a b0） ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相a2b2交于点P x 0,0, 就a2ab2x 0a2ab2. 设 P 点是椭圆x2y21（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F PF 2,a2b2就 1|PF 1|PF2|122 b.2 SPF F 1 2b2 tan2. cos设 A、B

14、 是椭圆x2y21（ a b 0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB, a2b2PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有1|PA|2 ab2| cos|.2 2 a2 c co2 s5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13.tantan12 e .3 SPAB22 a b2cot. E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭b2a2已知椭圆x2y21（ a b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点a2b214.圆相交于A、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BCx 轴,就直线AC 经过线段EF 的中

15、点 . 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . （注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页