2022年高三数学不等式的性质不等式证明的几种常见方法..docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高优秀学习资料欢迎下载三数学- 不等式复习【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 法和放缩法等；【教学目标】比较法、综合法、分析法、换元不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件；比较法是证明不 等式的最基本的方法,它思维清楚,可操作性强,适用范畴广泛,在不等式证明中经常采纳；比较法通常分两类：第一、作差与零比较,作差后常需要把多项式因式分解,再由各因式的符号来确定差与零的大小；其次、作商与1 比较,但要留意除式的符号,作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1 进行大小比较；a ,b ,cR综合法经常用到如下公式：（1

2、）a2b22aba,b R 2a2baba ,bR 3ba2a.b0 ab4a22b2a2b2a,bR 5abc3abc3利用综合法证明不等式经常需要进行敏捷的恒等变形, 制造条件去运用公式；对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式,我们可以采纳分析法,执果索 因,从要证明的结论动身,去追逆它要成立的条件,得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式,从而说明所证不等式成立；另外,换元法、放缩法等对较复杂的不等式的 证明也很有帮忙；【学问讲解】例1、 设 12a0, 试比较 A=1+a 2与 B=11a的大小；解： A-B=1a211a1a21aaa31 =a3a2aaa2a11aa1aR,a

3、2a10恒成立 . 由条件知 0a1, a-10, A-B0 2即 Ab 时,0a1,a-b0 且 a 1,mn0, 求证 :am1an1. aman分析：这类不等式明显不解直接用综合法来证明,因此仍考虑用比较法,而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式,因此常采纳作差与证明：am1an1aman0 比较的方法； =amananamaman 1a1n*amanm1 0 当 0an0,am0 m a 12 0 当 a1 时, mn0,a0, * 式0 ma n 1amn当 a0 且 a 1 时.*式恒正 , 即am1an1. aman例 4、设 a.b.c R +, 求证 :2 a2bab3

4、 abc3 abc3分析：初看上去好像与基本不等式有关,但如直接运用基本不等式,仅能得到所证不等式两端均非负,仍旧不能证到原不等式成立；如留意到把两端括号去掉,就显现了相同项 a+b,因此可以考虑用比较法来证明；名师归纳总结 证明一、3 abc3abc2a2bab33abc第 2 页,共 8 页3 =c2ab3 3abc cabab3 3abca.b.c R +, cabab33cababc2ab3 3abc0, 即所证不等式成立. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载证明二、3 a b c 3 abc 2 a bab 3 2 =

5、c 2 ab 3 3 abc , 令 6 ab x , 3 c y , a.b.c R +, x,y R +c 2 ab 3 3 abc y 33 x 2 y 2 x 3 y 3 x 33 x 33 x 2 y =y 2+xy+x 2y-x+3x 2x-y=y-xx 2+xy-2x 2 =y-xy-xy+2x=y-x 2y+2x 0 并且仅当 x=y 即 c 2=ab 时“ =” 成立；2 a bab 3 a b c 3 abc . 2 3说明 : 证法一运用了基本不等式 , 关键是对 c 2 ab 3 3 abc 进行恒等变形 , 制造条件运用基本不等式 ; 证法二采纳了换元法 , 关键是如

6、何假设变量才解使差式化简；例 5、当 n2 时,求证： log nn-1 .log nn+12. log nn-10.log nn+10 2log nn-1 .logn+12 时,log n-1nlog nn+1, 此结论应记住 , 它对我们今后的学习也是很有帮忙的 , 由它可以得到一连串不等式:log 2324log 2425log 2526lup 2627 ；例 6、设 a.b.c R +, 求证 : a b c 1 1 1 9 . a b b c c a 2分析 : 假如把因式 a+b+c 乘到括号内 , 就所证不等式左边较复杂 , 很难看出用什么方法去证明 , 如我们留意分析该不等式左

7、边的特点, 它与三个变元的均值不等式的左边很类名师归纳总结 似, 再联想到结论 : 当 x.y.z R +时,xcyz111 z 9 就不难得到证明白. 第 3 页,共 8 页xy证明 : a.b.c R + a1bb1133a1cab bcca 而 2a+b+c= a+b+b+c+c+a3 3ab bc ca - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 a b c 1 1 1 9 a b b c c a即 a b c 1 1 1 9 . a b b c c a 2说明 : 把握了此类不等式的证明方法后 , 与此类似的不等式 , 如 1

8、 0 如 a.b.c R + 且a+b+c=1 求证 : 1 1 19 2 0如 a.b.c R +, a b b c c a 2就 c a b3 等等就不难证明白 . a b b c c a 2例 7、已知： a1 2+a2 2+ +an 2=1,x 1 2+x2 2+ +xn 2=1,n N求证 :a 1x1+a2x 2+ +anx n1 证明 : a1 2+x1 22a1x 1 , a 2 2+x2 22a2x2 an 2+xn 22anx n, 相加得 , a 1 2+a2 2+ an 2+x 1 2+x2 2+ +xn 2 2a 1x1+ +anxn 即 a1x 1+a2x2+ +a

9、nxn1. 例 8、如 a3, 求证：a a 1 a 2 a 3证法一：如证原不等式成立,只要证 a a 3 a 1 a 2 成立,要证此不等式成立, 只要证 a 2-3aa 2-3a+2, 即证 0b0, 求证：a8b2a2babab2a8 babab 2,只要证证明：如证原不等式成立,只要证：a4b 2ab2a4 b明ab2ab2ab2,只要证0ababab,只要2a2b2a2b证名师归纳总结 aab1aab,只要证aab2abb只要证第 4 页,共 8 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1b2a1即证优秀学习资料a欢迎下载1a成立,ab0

10、的此式明显b a1即证b aabbb成立 , 又以上各步均可逆, 原不等式成立. fbab；b2b2ab,只例 10、如fx 1x2ab ,就fa证法一、要证1a21b2ab只要证1a2a21要证1ab1b21即证：1a21b2aba21a2a2a,1b2b2b, * 式成立 , 1a21b2abab原不等式成立证法二、如图,设 A（1,a ）,B1,b,就OA1a2,OB1b2,ABab,X 由于三角形两边之差的肯定值小于第三边,Y A1,a 即OAOBBA,O 1 1a21b2ab即f af b abB1,b 说明 : 证法一是运用分析法证明的, 在对1a21b2变形时采纳了分子有理化的手

11、段 , 这种变形方法有着较广泛的运用, 证法二是构造了一个三角形, 其三边恰好分别是1a2、12 b 和ab,然后借助于三角形本身的关系来证明,这种通过构造图形的方法,往往可以化难为易,化繁为简,表达了数学中的数形结合的思想,要引起我们高三复习时留意；【每周一练】（一）挑选题：名师归纳总结 1 、假如 0af1-a 第 5 页,共 8 页A、 loga1+a1 B、（1-a ）nan,n N C、当 fx=2xD、cos1+a -1bc, 就以下不等式成立的是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载A、 abac B、ab bc C

12、、1 1 1 D、a-bcb1-c a b c 3 、已知 x,a,b R,就以下不等式 : x 2+32x, a 5+b 5a 3b 2+a 2b 3, a 2+b 22a-b-1, a b 2 中恒成立的是 b aA、仅和 B、仅和 C、仅和 D、全部 4 、如 0a1,0b1, 就 a+b,2 ab ,a 2+b 2,2ab 中最大的是（）A、 a 2+b 2 B、a+b C、2 ab D、2ab 5 、设 x,x+2,x+4 是一个钝角三角形的三条边,就 x 的取值范畴是（）A、 3x6 B、2x2 D、0x6 6 、xR,就 x 2 是 x 1 1 的（）A、必要条件 B、充分条件

13、C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 7 、设 0 2a1,M=1-a 2,N=1+a 2,P= 1, Q 1 那么（）1 a 1 aA、 QPMN B、 MNQP C、 QMNP D 、 MQP1,ma1a,na2a1, 那么 m与 n 的关系是 10 、ab11的充要条件是ab4 3连接起来为 11 、用不等号把6 72,72,log23383 12 、设a,1b,1就abab与 2 的大小关系是 13 、2 且1 是1 且1的条件； 14 、当 0x1 时 , y x2 15 、如 p,q R +且 a=p 3+q 3,b=p12x的取值范畴是2q+pq 2就 a,b 的大小关系是名师

14、归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载三、证明题 16 、求证： 3a2+b 2+c 2 a+b+c2. 的大小,并证明你的结论；1 17 、设 a0 且 a 1,t0, 试比较 1log a与2 18 、如 a1,b 1 求证： a 2+b 2ab+a+b-1 logat21 19 、已知 x,y,z R求证 :x2y2+y2z2+z2x22cyzx+y+z 20 、设 ab0, 求证：aa1bb3. 21、如 a+b=1, 求证：a1b12 22abc11 22、 a,b,c R求证：a2b2c2a

15、bc33 23、已知 a,b,c为不相等的正数,且abc=1 求证：abc 24、如 a+b+c=1,且 a,b,c均为非负实数,求证：abc3 25、设fx x2x13 ,xa1求证：fx fa 2a1【每周一练答案】（一）挑选题： 1 、C 2、 D 3、C 4、B 5、B 6、A 7、 C 8、D （二）填空题： 9 、mn 10a、a.b0 11、log24726211,3338 147、3 12 、abb2 13、必要不充分条件2 15 、 ab （三）证明题名师归纳总结 16、比较法（略）tlogat21,0a1 时1logatlogat21第 7 页,共 8 页 17、a1时1loga22 18、略 19、略 20b、略、a12b1a1211 212222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22、略；c11优秀学习资料1欢迎下载11111111 23、111 c1 2abbcacab2bca2ababc 24 、分析法名师归纳总结 25 、fx fa 1xax2a1 1x2a12 a1第 8 页,共 8 页 =xa2axaa1a1- - - - - - -