2022年高三数学知识点汇编.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学学问点汇编1. 留意区分集合中元素的形式. 如： x ylg x 函数的定义域；y ylg x 函数的值域；x y , |ylg x 函数图象上的点集. 2. 集合的性质：任何一个集合 A是它本身的子集 , 记为 A A . 空集是任何集合的子集 , 记为 A . 空集是任何非空集合的真子集；留意 : 当 A B , 在争论的时候不要遗忘了 A 的情形如：A x | ax 2 2 x 1 0 , 假如 A R , 求 a 的取值 . 答：a 0 含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n ；真子集 非空子集 个数为 2 n 1；非空真子集

2、个数为n2 2 . 3. 补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题；如： 已知函数 f x 4 x 2 2 p 2 x 2 p 2p 1 在区间 1,1 上至少存在一个实数 c ,使 f c 0 , 求实数 p 的取值范畴 . 答： 3, 324. 原命题 : p q ；逆命题 : q p ；否命题 : p q ；逆否命题 : q p ；互为逆否的两个命题是等价的 . 如：“sin sin” 是“” 的 条件 . 答：充分非必要条件 5. 假设 p q 且 q p , 就 p是 q 的充分非必要条件 或 q 是 p 的必要非充分条件 . 6. 留意命题 p q 的 否认 与它的 否命题

3、 的区分 : 命题 p q 的 否认 是 p q ； 否命题 是p q . 命题“p 或 q ” 的否认是“p 且 q ” ；“p 且 q ” 的否认是“p或 q”. 如：“ 假设 a 和 b 都是偶数, 就 a b 是偶数” 的否命题是“ 假设 a 和 b 不都是偶数 , 就 a b是奇数” 否认是“ 假设 a 和 b 都是偶数 , 就 a b 是奇数”. 7. 常见结论的否认形式原结论 否认 原结论 否认是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 n 个 至多有 n 1 个小于 不小于 至多有 n 个 至少有 n 1 个对全部 x , 成立 存

4、在某 x, 不成立 p 或 q p 且 q对任何 x , 不成立 存在某 x, 成立 p 且 q p 或 q1. 映射 f : A B 是： “ 一对一或多对一” 的对应；集合 A中的元素必有象且 A中不同元素在 B 中可以有相同的象；集合 B中的元素不肯定有原象 即象集 B . 一一映射 f : A B ： “ 一对一” 的对应； A 中不同元素的象必不同 , B 中元素都有原象 . 2. 函数 f : A B A和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点 , 但与 y 轴垂线的公共点可能没有 , 也可能有任意个 . 3. 函数的三要素：定义域 , 值域 ,

5、对应法就 . 争论函数的问题肯定要留意定义域优先的原就 . 4. 求定义域 : 使函数解析式有意义 如 : 分母 0 ; 偶次根式被开方数非负 ; 对数真数 0 , 底数0 且 1；零指数幂的底数 0 ；实际问题有意义； 5. 求值域常用方法 : 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴 . 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域；- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式法单调性法；数形结合： 依据函数的几何意义, 利用数形结合的方法来求值域；判

6、别式法慎用 ：导数法 一般适用于高次多项式函数 . 6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法 已知所求函数的类型 ； 代换 配凑 法；方程的思想 -对已知等式进行赋值,从而得到关于 f x 及另外一个函数的方程组；7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的 像法等；, 确定奇偶性方法有定义法、图f 假 设f x 是 偶 函 数 , 那 么f x fxf|x|； 定 义 域 含 零 的 奇 函 数 必 过 原 点00 ；判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f x fx 0或fx1 0；f x 留意： 假设判定较为复杂解析式函数的奇偶性,先化简再判定；既奇又偶的函数有

7、很多个 如f x 0定义域关于原点对称即可. 奇函数在对称的单调区间内有相同单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法 用于小题 等. 复合函数单调性由“ 同增异减” 判定 8. 函数图象的几种常见变换. 提示：求单调区间时留意定义域平移变换：左右平移- “ 左加右减”留意是针对x 而言；上下平移 - “ 上加下减” 留意是针对f x 而言 . 翻折变换：f x |f x |；f f|x|. 对称变换：证明函数图像的对称性 , 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上 . 证明图像 C 与 C 的对称性 , 即证 C 上任意点

8、关于对称中心 轴 的对称点仍在 C 上, 反之亦然 . 函数 y f x 与 y f x 的图像关于直线 x 0 y 轴 对称；函数 y f x 与函数y f x 的图像关于直线 y 0 x 轴 对称； 假 设 函 数 y f x 对 x R 时 ,f a x f a x 或 f x f 2 a x 恒 成 立 , 就y f x 图像关于直线 x a 对称；9. 函数的周期性：假设 y f x 是偶函数 , 其图像又关于直线 x a对称 , 就 f x 的周期为 2| a ；假设 y f x 奇函数 , 其图像又关于直线 x a 对称 , 就 f x 的周期为 4 | a ；10. 对数： l

9、ogablogann b a0,a1,b0,nR；对数恒等式alogaNN a0,a1,N0； log aM NlogaMlogaN;logaMlogaMlogaN;logaMnnlogaM ；NloganM1logaM ；1, b0,b1；n对数换底公式logaNlogbNa0,alogba 以上M0,N0,a0,a1, b0,b1, c0,c1, ,2,a n0 11.af x 恒成立af x 最大值, af x 恒成立af x 最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：别离参数法 最值法 ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值

10、,求最值问题用“ 两看 法” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax2bxc a0；顶点式：- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x a xh2k a0； 零点式：f x a xx 1xx 2a0. 15. 一元二次方程实根分布 : 先画图再争论 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号 ; 16. 函数 y ax b a 0, b 0：增区间为 , b, b, , 减区间为 , b,0,0 , b . x a a a a如：函数 f x

11、 ax 1在区间 2, 上为增函数 , 实数 a 的取值范畴是 _ 答： , 1 . x 2 2S n 11. 由 S 求 a , a n * 留意验证 1a 是否包含在后面 a 的公式中 , 假设不S n S n 1 n 2, n N 符合要单独列出 . 如：数列 a n 满意 a 1 4, S n S n 1 53 a n 1,求 a 答：a n 43 4 nn 1 1 n 2 . 2. 等差数列 1 定义：a n a n 1 d n 2 a n 成等差数列 2 通项公式：an a 1 n 1 d An B 推广：a n a m n m d 3 前 n 项和公式：S n a 1 a nn

12、na 1 n n 1 d An 2 Bn2 2等差数列 a n a n a n 1 d d 为常数 2 a n a n 1 a n 1 n 2, n N *2 d da n an b a d b a 1 d S n An Bn A , B a 1 ；2 23. 等差数列的性质： a n a m n m d , d a m a n；m n m n l k a m a n a l a 反之不肯定成立 ；当 m n 2 p 时 , 有 a m a n 2 a ；等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列” 即 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 仍是等差数列；首项为正 或

13、为负 的递减 或递增 的等差数列前n 项和的最大 或最小 问题 , 转化为解不等式an100 或a n100. 也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析. qq1ana n4. 等比数列 1 定义：a n1q n,2an,0q0 a n成等比数列an 2通项公式：ana 1qn1 3前 n 项和S na 1 1qnna 1q1a 1an1q1q等比数列anan1q q0a2an1 an1n2,nN*a na qn1. a nn5. 等比数列的性质 假设 a n、 b n是等比数列,就ka n、 a b n等也是等比数列；Snna1qn1a1anq q1na1 qq11a1 q1a11qa1

14、nq1q1qq1- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - mnlka ana a 反之不肯定成立 ； 等比数列中 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 注：各项均不为 0 仍是等比数列 . 7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式 . 已知 S 即 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作差法：a n S 1 , n 1. S n S n 1 , n 2f 1, n 1已知 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作商法：a n f n , n 2 .f

15、 n 1假设 a n 1 a n f n 求 a 用迭加法 . 已知 a n 1f n , 求 a 用迭乘法 . a n8. 数列求和的方法：公式法：等差数列 , 等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；1 1 1 1分裂通项法 . 公式：1 2 3 n n n 1；常见裂项公式；2 n n 1 n n 19. “ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 . 但在求解过程中,务必“ 卡手指”,细心运算“ 年限”.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄 单利 本利和运算模型：假设每期存入本金 p元 , 每 期 利 率 为 r , 就 n 期 后

16、本 利 和 为：n n 1S n p 1 r p 1 2 p 1 nr p n r 等差数列问题 ；复利问题：按揭贷2款的分期等额仍款 复利 模型：假设贷款 向银行借款 p 元, 采纳分期等额仍款方式 , 从借款日算起 , 一期 如一年 后为第一次仍款日 , 如此下去 , 分 n r 按复利,那么每期等额仍款 x 元应满意：n n 1 n 2p 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x 等比数列问题 . 1. 终边与 终边相同 2 k k Z ；终边与 终边共线 k k Z ；终边与 终边关于 x 轴对称 k k Z ；终边与 终边关于 y 轴对称 2 k k Z ；终边与 终边关于原点

17、对称2 k k Z ；终边与 终边关于角 终边对称 2 2 k k Z . 2. 弧长公式：l | | r ；扇形面积公式：S 扇形 12 lr 12| | r 2； 1弧度 1rad 57.3 . 3. 三角函数符号 “ 正号” 规律记忆口诀： “ 一全二正弦 , 三切四余弦”.4. 对于诱导公式 , 可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括； 留意：公式中始终视 为锐角5. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换 . 如： ； 2 ； 2 ；2；2 等；“ 1” 的变换：1 sin x cos x tan x cot x 2sin30 tan45

18、 2 22 2 26. 帮助角公式：a sin x b cos x a 2b 2sin x 其中 tan b；a7. 降幂公式 sin2 1 cos 2；cos 2 1 cos2；2 28. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 180 , 一般用正、余弦定理实施边角互化；- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正弦定理：aAbBcC2R ；sinsinsin余弦定理：a2b2c22 bccos ,cosAb2c2a2bc2a21；0, ；2 bc2b

19、c1 面积公式：S ab210. ABC 中, 易得： AsinCCabc；4R, tanBC . B sinAsinBC, cosAcos BC , tanAsinAcosB2C ,cosAsinB2C . 220,2；二面角和两向量的夹角abABsinAsinB11. 角的范畴： 异面直线所成角0,2；直线与平面所成角直线的倾斜角0, ；1l 与2l 的夹角0,2.12. - 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 设ax y 1,bx 2,y2. 1 a / b x y 2 x y 1 0； 2 a

20、b a b 0 x x 2 y y 2 0 . 2. 平面对量基本定理： 假如 1e 和 2e 是同一平面内的两个不共线的向量 , 那么对该平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 1、2, 使 a 1 e 1 2 e . 23. 设 a x y 1 , b x 2 , y 2 , 就 a b | a b | | cos x x 2 y y ；其几何意义是 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积；a 在 b 的方向上的投影 | a |cos a b| b | x xx 22 2 y yy 2 2 2 . AB4. 三点 A、 B 、 C 共线 AB 与 AC 共线；与

21、AB 共线的单位向量 . | AB |5. 平面对量数量积性质：设 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 , 就 cos| a a b| | x 1 2 x xy 21 2 y yx 2 2 2y 2 2；留意 :a b 为锐角a b0,a b 不同向；a b 为钝角a b0,a b 不反向 . x x 2y y ；6.平面对量数量积的坐标表示：假设ax 1 ,y 1,bx 2,y 2, 就a b|AB|x 1x 22y 1y22；假设a , x y , 就a2a a2 x2 y . 7.1P , P,P 三点共线存在实数、使得OPOP 1OP 且 21. 8.PG1 3PAPB

22、PCGAGBGC0G 为ABC 的重心；9. PA PBPB PCPA PCP 为ABC 的垂心；|BC PA|CA PB|AB PC0P 为ABC 的内心；|AB|AC |0所在直线过ABC 内心 . ABAC1. 把握课本上的几个不等式性质,留意使用条件,另外需要特殊留意：假设ab0, ba , 就1 a1. 即不等式两边同号时, 不等式两边取倒数, 不等号方向要改b变. 假如对不等式两边同时乘以一个代数式, 要留意它的正负号, 假如正负号未定, 要留意分类争论 . 2. 把握几类不等式 一元一次、二次、肯定值不等式、简洁的指数、对数不等式 的解法 , 特殊留意用分类争论的思想解含参数的不

23、等式；勿忘数轴标根法 , 零点分区间法 . 2 23. 把握重要不等式 ,1 假设 a ,b 0 , 就 a b a b ab 2 当且仅当 a b 时取等2 2 1 1a b号 使用条件：“ 一正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等；2 22 公式留意变形如：a b a b 2, ab a b 2；2 2 2 4. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：A B 0 A B . 留意：假设两个正数作差比较有困 难, 可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因 . 基本步骤：要证需证 , 只需证 ；反证法：正难就反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 .

24、 放缩法的方法有： 添加或舍去一些项 , 如：a 21 | a ；n n 1 n . 将分子或分母放大 或缩小 换元法： 换元的目的就是削减不等式中变量 , 以使问题化难为易 , 化繁为简 , 常用的换元有三角换元、代数换元 . 如：知 x 2y 2a , 可设 2- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - xacos ,yasin；知x2y21, 可设xrcos,yrsin 0r1 ；知x2y21,a2b22 2x y可 设 x a cos , y b sin； 已 知 2 2 1 , 可 设 x a sec

25、, y b tan . 最 值 法 , 如 ：a ba f x 最大值, 就 a f x 恒成立 . a f x 最小值 , 就 a f x 恒成立 . k1. 直线的倾斜角 的范畴是 0, ）；2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系 k tan 如右图 ：O23. 直线方程五种形式： 点斜式 ：已知直线过点 x 0 , y 0 斜率为 k ,就直线方程为 y y 0 k x x 0 , 它不包括垂直于 x 轴的直线 . 斜截式 ：已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,就直线方程为 y kx b , 它不包括垂直于 x 轴的直线 . 两点式 ：已知直线经过 P x y 1 、P x 2

26、, y 2 两点 , 就直线方程为 y y 1 x x 1, 它不包括垂直于坐标轴的直y 2 y 1 x 2 x 1线. 截距式 ：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a b , 就直线方程为 x y 1 , 它不包括垂直a b于坐标轴的直线和过原点的直线 . 一般式 ：任何直线均可写成 Ax By C 0 A B 不同时为 0 的形式 . 提示 ：直线方程的各种形式都有局限性 式呢？ 直线在坐标轴上的截距可正、或直线过原点；直线两截距互为相反数. 如点斜式不适用于斜率不存在的直线, 仍有截距可负、 也可为 0 . 直线两截距相等直线的斜率为1直线的斜率为 1或直线过原点；直线两截距肯定值

27、相等直线的斜率为1或直线过原点. 截距不是距离, 截距相等时不要忘了过原点的特殊情形 . 4. 直线 l 1 : A x B y C 1 0 与直线 l 2 : A x B y C 2 0 的位置关系：平行 A B 2 A B 1 0 斜率 且 B C 2 B C 1 0 在 y 轴上截距 ；相交 A B 2 A B 1 0；3 重合 A B 2 A B 1 0 且 B C 2 B C 1 0 . 5. 直线系方程：过两直线 1l ：A x B y C 1 0 , 2l ：A x B y C 2 0 . 交点的直线系方程可设为 A x B y C 1 A x B y C 2 0；与直线 l :

28、 Ax By C 0 平行的直线系方程可 设 为 Ax By m 0 m c ； 与 直 线 l : Ax By C 0 垂 直 的 直 线 系 方 程 可 设 为Bx Ay n 0 . 6. 夹角公式：1l 与 2l 的夹角是指不大于直角的角 , 0, 且 tan | k 2 k 1| k k 2 1 . 2 1 k k 1 27. 点 P x 0 , y 0 到直线 Ax By C 0 的距离公式 d Ax 02 By 02 C；A BC 1 C 2两条平行线 Ax By C 1 0 与 Ax By C 2 0 的距离是 d 2 2 . A B8. 设三角形 ABC 三顶点 A x y 1

29、 , B x 2 , y 2 , C x 3 , y 3 , 就重心 G x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3；3 32 2 29. 圆的标准方程： x a y b r . 圆的一般方程：x 2y 2Dx Ey F 0 D 2E 24 F 0 . 特 别 提 醒 ： 只 有 当 D 2E 24 F 0 时 , 方 程 x 2y 2Dx Ey F 0 才 表 示 圆 心 为 D, E , 半径为 1D 2E 24 F 的圆 二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示2 2 2圆 A C 0 , 且 B 0, D 2 E 2 4 AF 0 . - 7 - 名师归

30、纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10.点和圆的位置关系的判定通常用几何法 运算圆心到直线距离. 点P x 0,y 0及圆的方程2 2 2 2 2 2 x a y b r . x 0 a y 0 b r 点 P 在圆外； x 0 a 2 y 0 b 2r 2点 P 在圆内； x 0 a 2 y 0 b 2r 2点 P 在圆上 . 11. 直线与圆的位置关系 , 通常转化为圆心距与半径的关系 , 或者利用垂径定理 , 构造直角三角形解决弦长问题 . d r 相离 d r 相切 d r 相交12. d , 两 圆 的 半 径

31、 分 别 为 r R ： d R r 两 圆 相 离 ； d R r 两 圆 相 外 切 ；| R r | d R r 两圆相交；d | R r | 两圆相内切；d | R r | 两圆内含；d 0两圆同心 . 13. 过圆C ：x22y2D xE yF 10,C ：x2y2D xFE y0.F20交点的圆 相交弦 系方程为x2yD xE yF 1x22 yD xE y21 时为两圆相交弦所在直线方程 . 14. 解决直线与圆的关系问题时 , 要充分发挥圆的 平面几何性质的作用 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形 , 切线长定理、割线定理、弦切角定理等等 . 一 、椭圆定义：假设F1,F2

32、是两定点, P为动点,且PF 1PF 22 aF 1F2 a 为常数就 P 点的轨迹是椭圆；定义：假设F1 为定点, l 为定直线,动点P到 F1 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e0e1,就动点P的轨迹是双曲线；二图形：三性质方程：x2y21a0 ,b0y2x21a0,b0 a2b2a2b2定义域：xxa 或xa ；值域为 R；实轴长 = a,虚轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程：xa22AF 1aBF2ca,AF 2BF1caccba2c留意：1图中线段的几何特点：顶点到准线的距离：aa2或a2；焦点到准线的距离：a2或cccc两准线间的距离=2a2y2x1渐近线方程：x2y20yxc2假设双曲线方程为x a222b2abayy20双曲线可设为x2假设渐近线方程为ybxaaba2b2- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设双曲线与x2y21有公共渐近线,可设为x