2022年高中数学所有公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxC A ,xC AxA .2. 德摩根公式C UABC AC B CUABC AC B . 3. 包含关系ABAABBABC BC AAC BC A B R, a n 的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；n 1 个；非空的真子集有 2 n 2 个. 4集合a a2,非空子集有 25. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式f x ax2bxc a0; . 2 顶点式f x a xh 2k a0; 3 零点式f x a xx 1xx 2a06. 闭区间上的二次函数的 最值名师归

2、纳总结 二次函数fxax2bxca0在闭区间p,q上的最值只能在xb处第 1 页,共 16 页2 a及区间的两端点处取得,详细如下：1当a0时,假设xbp ,q,就2 af x minfb,f x maxmaxf p ,f q ；假设xbp,q,2a2af x maxmaxf p ,f q ,f x minminf p ,f q . 2 当 a0 时,假设xbp,q,就f x minminf ,f q ,2a假设xbp,q,就f x maxmaxf p ,f q ,f x minminf p ,f q . 2a7. 定区间上 含参数 的二次不等式 恒成立 的条件依据 1 在给定区间,上含参数的

3、二次不等式f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是f x t , min0xL 2 在给定区间,上含参数的二次不等式f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是f x t , man0xL . 3fxax4bx2c0恒成立的充要条件是a0或a00. b0b24 acc0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 四种命题的相互关系原命题 假设就互 互 否否否命题 假设非就非9.充要条件1充分条件：假设互逆逆命题假设就 互为为互否逆逆否 逆否命题互逆假设非就非pq ,就 p 是 q 充分条件 . 2必要条件：假设 qp ,就 p 是 q 必要

4、条件 . 3充要条件：假设 p q ,且 q p ,就 p 是 q 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然 . 10. 函数的 单调性 1设x 1x 2a ,b,x 1x 2那么0fx在a,b上是增函数；f x 20fx 1fx2x 1x 2f x 1x 1x 2 2x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx 20fx 在a,b上是减函数 . x 1x2设函数yffx0,就f x 为增函数；如x在某个区间内可导,假如果fx 0,就fx为减函数 . 11奇偶 函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原

5、点对称, 那么这个函数是奇函数； 假如一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数名师归纳总结 12. 对于函数yfxxR,fxfafbx恒成立 , 就函数fx的对称轴第 2 页,共 16 页yfxa与yfbx的 图 象 关 于 直 线是 函 数xa2b; 两 个 函 数xa2b对称. x 的图象关于直线x0 即 y 轴 对称. 13. 两个 函数图象的对称性1 函数yf x 与函数y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 函数yf mxa 与函数yf bmx 的图象关于直线xab对称 . 2myfx和yf1 x的图象关于直线 y=x 对称. 3

6、 函数14. 假设将函数 y f x 的图象右移 a、上移 b 个单位,得到函数 y f x a b的图象；假设将曲线 f x , y 0 的图象 右 移 a 、上移 b 个单位,得到 曲 线f x a , y b 0 的图象 . 15. 几个常见的函数方程 1正比例函数f x cx ,f xyf x f ,f1c. 0,a1. 2 指数函数f x x a ,f xy f x f y ,f1a0. 3 对数函数f x log ax,f xy f x f ,f a 1 a4 幂函数f x x ,f xyf x f ,f1. 16有理指数幂的运算性质1 arasarsa0, , r sQ . 2

7、arsarsa0, , r sQ . 3 abrr a bra0,b0,rQ . 注： 假设 a0,p 是一个无理数,就ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用 . 17. 指数式与对数式的互化式logaNbabN a0,a1,N0. 18. 对数的换底公式logaNlogmN a0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. logma推论loga mbnnlogaba, 且a1,m n0, 且m1 ,m19对数的四就运算法就 假设 a0,a 1,M0,N0,就1 log aMNlogaMlogaN ; 2 logM a N n MlogaMlogaN;

8、3 loganlogaM nR . 20. 等差 数列的通项公式ana 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - s nn a 12a nna 1n n1d2d n 2 a 1 1 d n . 2 221. 等比 数列的通项公式a na qn1a 1qnnN*；q其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q11qna q122常见三角不等式1假设x0,2,就 sinxxxtanx . 2. 2 假设x0,2,就1sincosx3 |sinx|x| 1. | cos23.

9、 同角三角函数的基本关系式sin22 cos1, tan =sin, tancot1. cos24. 正弦、余弦的 诱导公式奇变偶不变符号看象限25. 和角与差角公式sinsincoscossin; 所 在 象 限 由 点 , a b 的 象 限 决coscoscossinsin; atanbcostantan1tantan b 2 sin 辅 助 角sin=a2定, tanb .2112sin2. a26. 二倍角公式sin 2sincos. cos2cos2sin22costan 212 tan2. tan. 27. 三角函数的 周期公式名师归纳总结 函数ysinx,xR 及函数ycosx

10、, xRA, ,为常数,第 4 页,共 16 页且 A 0, 0 的周期T2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数ytanx,xk2,kZ A, ,为常数,且A 0, 0的周期 T . 28. 正弦定理aAbBcC2R. R是外接圆的半径sinsinsin29. 余弦定理a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB ; 2 c22ab2abcosC . 30. 面积定理1S1aha1bh b1 2ch h a、h b、h c分别表示 a、b、c 边上的高 . 222S1absin11casinB . CbcsinA22231. 三角形内角

11、和定理在 ABC中,有ABCCABb; C2A2B2C22AB . 232. 向量的数量积的运算律：1 a b= b a 交换律 ; 2 a b= a b=a b= a 3 a+b c= a c +b c.33. 平面对量基本定理 假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一 向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组 基底 34. a 与 b 的数量积 或内积 a b=| a| b|cos 数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积名师归

12、纳总结 35. 平面对量的坐标运算,就 a+b= x 1x 2,y 1y2. y . 第 5 页,共 16 页1 设 a=x y 1, b=x2,y22 设 a=x y 1, b=x2,y2,就 a-b=x 1x2,y 1y2. 3 设 A x y 1,Bx 2,y2, 就ABOBOAx 2x y 24 设 a= , ,R ,就a=x,y . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,就 ab=x x 2y y2. 36. 两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 2y y 22 y 2 a=x y 1, b=

13、x 2,y2. 2 y 12 x 237. 平面 两点间的距离公式dA B=|AB|AB ABAx y 1,B x 2,y 2. x 2x 12y 2y 1238. 向量的 平行与垂直,且 b0,就. 设 a=x y 1, b=x2,y2a| bb= a x y 2x y 10. aba0a b=0x x2y y 2039. 线段的 定比分点公式设P x 1,y 1,P 2x 2,y2,P x y 是线段PP 的分点 ,是实数,且PP 1PP ,就 2xx 1x 2OPOP 1OP 21yy 1y 21 , 就 ABC的重1OPtOP 11t OP t11. 40. 三角形的 重心坐标公式 A

14、BC三个顶点的坐标分别为Ax ,y 11 、Bx ,y 、Cx ,y 33心的坐标是Gx 1x 2x 3,y 1y2y 3. 33O 为ABC 的重心OAOBOC0. 41. 点的平移公式名师归纳总结 xxhxx hOPOP PP . x F 上的对应点为 P x,y,第 6 页,共 16 页yykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px,y 在平移后图形且 PP 的坐标为 , h k . h yk . 42. “ 按向量平移” 的几个结论1点P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点P- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 函数yf x 的图象

15、C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式为yf xhk . 3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 假设 C 的解析式 y f x , 就C 的函数解析式为 y f x h k . 4 曲线 C : f x y , 0 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 就 C 的方程为 f x h y k 0 . 5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 43. 常用不等式：1a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2a b R a b ab 当且仅当

16、ab 时取“=” 号 23a 3b 3c 33 abc a 0, b 0, c 0.4柯西不等式： a 2b 2 c 2d 2 ac bd , , , , 2a b c d R .5a b a b a b .44. 最值定理 积定和最小 已知 x, y 都是正数,就有1假设积 xy 是定值 p ,就当 x y 时和 x y 有最小值 2 p；2假设和 x y 是定值 s ,就当 x y 时积 xy 有最大值 1 s . 4推广 已知 x, y R,就有 x y 2 x y 2 2 xy1假设积 xy 是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | x y | 最大；当 | x y | 最小时

17、 , | x y | 最小. 2假设和 | x y | 是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | xy 最小；当 | x y | 最小时 , | xy 最大 . 45. 指数不等式与对数不等式1 当a1时, g x ; 0. af x ag x f x f x logaf x logag x g x 02 当 0a1 时, f x g x af ag x f g x ; 0f x logaf x logag x g x 0f x g x 46.斜率公式名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - ky2y 1P x 1

18、,y 1、P x2,y 2. x 2x 147.直线的五种方程yy 1k xx 1 直线 l 过点P x 1,y 1,且斜率为 k 1点斜式2斜截式ykxbb 为直线 l 在 y 轴上的截距 . ,y2 x 1x . yy 1xx 1y 1y P x 1,y 1、P 2x 23两点式y2y 1x2x 14 截距式xy1 a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0a Axb By5一般式C0其中 A 、B 不同时为 0.48.两条直线的平行和垂直假设l1:yk xb ,l2:yk xb 221 1|l2k 1k2,b 1b; 1l2k k21. 49. 1l 到2l 的倒角公式1tank2k 1.

19、1k k1k xb ,k k 1:yk xb ,l2:y50两种常用直线系方程 1平 行 直 线 系 方 程 ： 与 直 线AxByC0平 行 的 直 线 系 方 程 是0 A 0,B 0 垂直的直线系AxBy00 , 是参变量 2垂直直线系方程：与直线AxByC方程是BxAy0, 是参变量51.点到直线的距离名师归纳总结 d|Ax 0By02C|点P x 0,y0,直线 l ：AxByC0. 第 8 页,共 16 页2 AB52.AxByC0或0所表示的平面区域设直线l:AxByC0,就AxByC0或0 所表示的平面区域是：1假设B0,当 B 与 AxByC 同号时,表示直线 l 的上方的区

20、域；当 B 与AxByC 异号时,表示直线 l 的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 .2假设B0,当 A 与 AxByC 同号时,表示直线 l 的右方的区域；当 A 与AxByC 异号时,表示直线 l 的左方的区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 53. 圆的四种方程xa2yb22 r . 1圆的标准方程2圆的一般方程x2y2DxEyF0D2y2E204 F 0. 3圆的参数方程xarcos. ybrsinyy 1y 圆的直径的端点是4圆的直径式方程xx 1xx 2A x y 1、B x2,y 2.

21、54. 直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆xa2yb2ar2的位置关系有三种 : dr相离0; dr相切0; dr相交0. 其中dAaBbC. A2B2xcos sin. 55. 椭圆x2y21 ab0的参数方程是22ybab椭圆x2e y21 ab0焦半径公式a2b2PF 1a2,PF2e a2x. xcc椭圆的的内外部1点P x 0,y 0在椭圆2 xy2的内部x2y21. 21 ab000a2ba2b22点P x 0,y 0在椭圆2 xy2的外部x2y21. 21 ab000a2ba2b2 56. 双曲线x2y21 a0,b220的焦半径公式abPF 1| e xa2 |,PF2|

22、a2x |. cc双曲线的内外部名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 点P x 0,y 0在双曲线2 xy21 a0,b0的内部x2 0y2 01. 2 a2 xb2a2b22 点P x 0,y 0在双曲线y21 a0,b0的外部x2y21. 00a2b2a2b2双曲线的方程与渐近线方程的关系 1假设双曲线方程为x2y21渐近线方程 ：x2y220ybx. a2b2a2b2ax2y2. 2假设渐近线方程为y2b x x y0 双曲线可设为a a b21 有公共渐近线,可设为 x2 ya ba2b2 3 假设双曲线与

23、x2y2220 ,ab焦点在 x 轴上,0 ,焦点在 y 轴上 . 57. 抛物线y22px的焦半径公式抛物线y22px p0焦半径CFx0p. 2过焦点弦长CDx1px2px1x2p. 2258. 直线与圆锥曲线相交的 弦长公式AB1k2x 2x 12|x 1x 2| 1tan2|y 1y 2| 1cot2ax2bxc0,弦端点 Ax 1,y 1,Bx2,y2,由方程yxkxb消去 y 得到F ,y 00,为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率 . 59证明 直线与直线的平行 的摸索途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5

24、转化为面面平行 . 证明 直线与平面的平行 的摸索途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行 . 证明 平面与平面平行 的摸索途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 直线与直线的垂直 的摸索途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的斜线垂直. 证明 直线与平面垂直 的摸索途径1转化为该直线与平面内任始终线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的

25、一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 证明 平面与平面的垂直 的摸索途径1转化为判定二面角是直二面角；2转化为线面垂直 . 60. 平面对量加法的平行四边形法就向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 . 61.共线 向量定理对空间任意两个向量 a、bb 0 ,a b 存在实数 使 a= bP、 、B 三点共线 AP | AB AP t AB OP 1 t OA tOB . AB | CD AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 AB tCD 且 A

26、B、CD 不共线 . 62. 共面 向量定理向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,x y , 使 p ax by 推 论 : 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 存 在 有 序 实 数 对 ,x y , 使MP xMA yMB, 或 对 空 间 任 一 定 点 O , 有 序 实 数 对 ,x y , 使OP OM xMA yMB . 63. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C,满意 OP xOA yOB zOC x y z k ,就当 k 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C四点共面；当 k 1 时,假设 O 平面 ABC,就

27、 P、A、B、C四点共面；假设 O 平面 ABC,就P、A、B、C四点不共面A、 、 、D 四点共面 AD 与 AB 、 AC 共面 AD xAB yACOD 1 x y OA xOB yOC O 平面 ABC. 64. 空间向量基本定理假如三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 序实数组 x,y,z,使 pxaybzcp,存在一个唯独的有名师归纳总结 推论设 O、A、B、C 是不共面的四点,就对空间任一点P,都存在唯独的第 11 页,共 16 页三个有序实数 x,y,z,使 OPxOAyOBzOC . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 65

28、. 向量的直角坐标运算b b b 3就设 aa a 2,a 3,b1 aba 1b a2b 2,a3b 3；z 1. 2 aba 1b a2b a3b 3；3 aa 1,a2,a3 R；4 a ba b 1 1a b 2a b ；设 A x 1,y z 1,Bx 2,y2,z2,就ABOBOA = x 2x y2y z 266空间的线线平行或垂直设ax y z ,bx 2,y 2,z 2,就0. 2 b 22 b 3,此即三维柯西不等式 . x 1x2a| bab b0y 1y 2；z 1z 2aba b0x x2y y 2z z 267. 夹角公式. 设 aa a 2,a 3,bb b b

29、3,就cosa,b=2 a 1a b 1 1a b 22 b 1a b 32 a 22 a 32 b 22 b 3推论a b 1 1a b 2a b 322 a 1a2a2 32 b 1268异面直线 所成角cos| cosa b|,a b分别表示异面直线a b , 的方=|a b|x x 2y y2z z 2|a| |b2 x 12 y 1z 12x22y 22z 22其中 090 为异面直线 a b , 所成角,向向量69.直线 AB 与平面所成角名师归纳总结 arcsin|AB m|m 为平面的法向量 . 第 12 页,共 16 页AB|m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 70.二面角l的平面角arccos|m n|或arccos|m n m , n 为平面,的法向量