2022年高中数学知识点直线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载线第九章直一、考纲要求1. 懂得有向线段的概念 . 把握有向线段定比分点坐标公式,熟识运用两点间的距离公式和线 段的中点坐标公式 . 2. 懂得直线斜率的概念,把握过两点的直线的斜率的公式,娴熟把握直线方程的点斜式,掌 握直线方程的斜截式、两点式、 截距式以及直线的一般式 . 能够依据条件求出直线的方程 . 3. 把握两条直线平行与垂直的条件 . 能够依据直线的方程判定两条直线的位置关系 . 会求两条 直线的夹角和交点 . 把握点到直线的距离公式 . 二、学问结构1. 有向线段一条有向线段的长度,连同表示它的方向的正负号,叫做有

2、向线段的数量 . 有向线段AB 的数量用 AB表示 . 如有向线段 AB 在数轴上的坐标为Ax1 ,Bx2,就它们的距离它的数量 AB=x2-x1它的长度AB=x2-x1平面上两点间的距离设 P1x 1,y 1,P2x2,y2 是坐标平面上的任意两点,就 P1P2 =x2-x12y2-y12当 P1P2 Ox轴时,P1P2=y 2-y 1；当 P1P2Oy轴时,P1P2 = x2-x 1；点 Px,y到原点 O的距离, OP=x2y2. 三角形的中线长公式如图, AO是 ABC的 BC边上的中线 . 就 AB=2 AO2+OC22+AC22. 线段的定比分点有向直线 l 上的一点 P,把 l

3、上的有向线段 P 1P 2 分成两条有向线段 P1 P 分成两条有向线段 PP ,就 P1 P 和 PP 的数量之比P 1 P =PP 2定比分点公式 如 P1、P2两点坐标为 x,y 1 ,x2,y2, 点 Px,y分有向线段 P 1P 2 成定比 = P 1 P -1 ,PP 2就 P 点坐标1.中点公式x= x 1 x 2, y= y 1 y 2 . 1 1设 P1x1,y1,P2x2,y2 ,就 P1P2 的中点 Px,y 的坐标是3,y 3 ,就x=x12x2, y=y12y2. 2 三角形的重心公式如 ABC的各顶点坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y 2,CxABC的重心 Gx,y

4、 的坐标是名师归纳总结 3. 直线的方程x=x1x2x3, y=y1y2y3. 第 1 页,共 9 页33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线方程的几种形式名称已知条件y方程说明斜截式斜率 k y=kx+bx 不包括 y 轴和平行纵截距 b 于 y 轴的直线点斜式点 P1x1,y1 y-y1=kx-x1 不包括 y 轴和平行斜率 k 于 y 轴的直线两点式点 P1x1,y1 y1=xx 1不 包 括 坐 标 轴 和平 行 于 坐 标 轴 的y1y 2x1x2和 P2x 2,y 2 直线截距式横截距 a x + ay =1 b不包括坐

5、标轴,平行 于 坐 标 轴 和 原纵坐标 b 点的直线一般式Ax+By+C=0 A、B 不同时为 0 两条直线的位置关系 当直线不平行于坐标轴时：位置关系 直 线 方程l 1y=k 1x+b 1 l 1A1x+B1y+C1=0 l 1 与 l 2组成的l2y=k2x+b2l2A2x+B2y+C2=0 方程组平行k1=k2且 b1 b2A 1=B B 2C 1无解A 2C2重合k1=k2且 b1=b2A 1=B 1=C 1有很多多解A 2B2C2相交k1 k2A = A 2B 1有唯独解B2垂直k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 两条直线的交角公式1 直线 l1 到 l2的角直线 l1依逆时

6、针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1 到 l2的角 . 运算公式设直线 l 1,l 2的斜率分别是k 1,k 2,就2即两条直线所成的锐角tg =k2k1k1 k1k2 -1 1k22 两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直角的角,叫 做两条直线所成的角,简称夹角. 这时的运算公式为：tg =kk 11k 1k 24. 点与直线的位置关系 点 Px0,y0 在直线 Ax+By+C=0上的充要条件是 Ax0+By0+C=0. 点到直线的距离公式 点 Px 0,y 0 到直线 Ax+By+C=0的距离是d=Ax 0ABy02C2B据此可推出：1 两平行线间的距离公式名师归纳总结 两平行

7、直线Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 间的距离为第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备C 1欢迎下载. d=C2A2B25. 直线关于点的对称直线关于点的对称直线肯定是一条与已知直线平行的直线,由中点坐标公式可得直线 Ax+By+C=0关于点 Px0,y0的对称直线方程是A2x 0-x+B2y 0-y+C=0 即 Ax+By-2Ax 0+2By0+C=0. “ 直线关于直线” 对称1 几种特别位置的对称已知曲线fx,y=0,就它：；关于 x 轴对称的曲线是fx,-y=0关于 y 轴对称的曲线是f-x,y=0；关于

8、原点对称的曲线是f-x,-y=0；关于直线y=x 对称的曲线fy,x=0；关于直线线y=-x 对称的曲线f-y,-x=0关于直线x=a 对称的曲线是f2a-x,y=0；关于直线y=b 对称的曲线是fx,2b-y=0 三、学问点、才能点提示 一 有向线段、两点间距离、线段的定比分点例 1 在 ABC中, A4,1 ,B7,5 ,C-4 ,7 ,求 BAC平分线的长 . 解：由两点距离公式求得AB =5, AC =10,设角平分线交 BC于 Dx,y ,由角平分线 性质得 = BD = AB= 1 ,从而求得 D 10 ,17 ,故可得AD = 10 2 . DC AC 2 3 3 3 二 直线方

9、程,直线的斜率,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,直线方程的一 般形式例 2 始终线过点 P-3 ,4 且在两坐标轴上的截距相等,求此直线方程 . 解：设截距 a=b 且均不为零,故可设所求直线方程为 x + y =1. 由 P 在直线上,解得a aa=1,所求直线方程为 x+y-1=0. 但仍有一种情形,即 a=b=0 ,直线过原点时也合题意,此时直线方程为 4x+3y=0. 故在使用截距式时必需检验截距为零是 否适合,以防漏解 . 三 两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角,两条直线的交点,点到直线的距离说明 这部分内容近年高考在填空、挑选及解答题中都常考查到 .使用公式求 l

10、 1 到 l2 的角时,应留意 k 1、k 2 的次序 .过两直线交点的直线系方程中不 包括直线 l2. 例 3光线由点 -1 ,4 射出, 遇直线 2x+3y-6=0 被反射, 已知反射光线过点3 ,62 . 13求反射光线所在直线方程. 解：设-1 ,4 点关于已知直线对称点为x , y. 就点 -1 , 4 与点 x , y 的连线段被已知直线垂直平分,故可得名师归纳总结 2yx4=3 x 2=-29 13第 3 页,共 9 页x11解得=28 13+3y24-6=0 y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载,再由两点式可得所求直

11、线方程为 13x-26y+85=0. 四 综合例题赏析例 4 假如 A C 0 且 BC0,那么直线 Ax+By+C=0不 通过 A. 第一象限 B. 其次象限C.第三象限 D. 第四象限解：AC0,BC 0 A 0,B 0,C 0,Ax+By+C=0可化 y=-A x-BC . B. BC0 C 0-B直线和 y 轴正半轴有交点C 0,B. AC0,即 A 和 C异号, BC0 即 B 和 C异号,A 和 B 同号A 0 B-A 0,B从而直线Ax+By+C=0过第一、二、四象限,不过第三象限应选 C. 例 5和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 A.3x+4y-5=0

12、B.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 解：如曲线 c 的方程 fx,y=0,曲线 c 和 c 关于 x 轴对称,就曲线 c 的方程是 fx ,-y=0. 3x-4-y+5=0 即 3x+4y+5=0 为所求 . 应选 B. 名师归纳总结 例 6直线 bx+ay=aba 0,b0的倾斜角是 0 ,-6第 4 页,共 9 页A.arctg-b B.arctg-aa bC. -arctg b D.a解：直线的倾角范畴是 -arctgab0, . 由 a0,b0 知 a 0,故原方程可化为y=-b x+b. a设此直线的倾角为 ,就 tg =-b . a由 a0

13、且 b 0b 0 a-b 0,aa, . 2 = -arctg b ,a应选 C. 例 7如三点 P1, P2 在一条直线上,点P1 和点 P2在直角坐标系中的坐标分别为和3 ,0 ,且P 1P=-1 , 就点 P的坐标是 _. 2PP 2解：如 P1x 1,y1 ,P2x 2,y2和 Px ,y 三点在一条直线上,且 =P 1PPP 2x=x1x2,y=y1y2,11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,得由题设知, x =0, y1=6,x2=3,y2=0, =1 ,代入上面公式 20 1 3 3x= 2 = 2 =-3, 1 1 1

14、2 2y= 6 12 0 61 1 12 2P 点坐标是 -3 ,-12. 12 ,例 8通过点 0 ,2 且倾斜角为15 的直线方程是 A.y=3 -2x+2 B.y=2 -1x+2 C.y=2-3 x+2 D.y=3 -1 x+2 2解：直线通过点 0 ,2. 直线在y 轴上的截距b=2. 直线的倾角为15 ,直线的斜率k=tg15 =1cos3011323 .2sin302把 k=2-3 ,b=2 代入直线的斜截式方程y=kx+b,得 y=2-3 x+2 . 应选 C. 例 9 直线 3x-2y=6 在 y 轴上的截距是 A. 3 B.-2 C. -3 D.32解：3x-2y=6 y=-

15、x + y =1,2 3又直线的截距为 x y ,1a bb=-3 ,即在 y 轴上的截距为 -3. 应选 C. 名师归纳总结 l 2例 10假如直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0平行,那么系数a= l 1 第 5 页,共 9 页A.-3 B.-6 C.- 3 D. 22 3解 ： l 1:A 1x+B1y+C1=0 , l 2:A 2x+B2y+C2=0 , 且A2 0 , B2 0 , C2 0 , 就 有A 1B 1C1A2B2C2由题设有a22a6. 312应选 B. 例 11假如直线 y=ax+2 与直线 y=3x-b 关于直线 y=x 对称,那么 A.a= 1 ,b

16、=6 B.a=3C.a=3 ,b=-2 D.a=31 ,b=-6 3,b=6 解：如 C1的方程是 fx,y=0,C2和 C1 关于直线y=x 对称,就 C2的方程是 fy,x=0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x=ay+2,即 y=1 x-a2 . a直线 y=ax+2 关于直线 y=x 对称的直线的方程是由题设 y=1x2和 y=3x-b 是同一条直线,aa123b, 解得a1a3b6a应选 A. 例 12 假如直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y-2=0 相互垂直,那么 a 的值等于 A.1 B.-1 C. -2 D.-

17、2 3 3 解：两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,相互垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0 由题设得a1+21=0,从而 a=-2. 应选 D. 例 13点 P2,5 关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是 m22 n ,25 在 y=-x 上,A.5 ,2 B.2,-5C.-5 ,-2 D.-2,-5解：设 P2,5 和 Qm,n 关于直线 y=-x 对称,就 PQ中点 R且 KPQ-1=-1. m22n50解得m52n51 ,1n2m2对称点Q的坐标是 -5 , -2. 应选 C. 例 14原点关于直线8x+6y=25 的对称点坐标是 A.2 ,2

18、 B.3C.3 ,4 D.425 25,8 6,3解：设 m,n 为所求,就8m206n2025n4 31m解得 m=4,n=3 应选 D. 名师归纳总结 例 15点0 ,5 到直线 y=2x 的距离是 第 6 页,共 9 页A5 B 25C3 D 252解： y=2x2x-y=0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d=220155.学习必备欢迎下载212应选 B 例 16以 A1,3 、B-5 ,1 为端点的线段垂直平分线的方程是 A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0 C.2x+y+2=0 D.3x+y+8=0 解：设 Px ,y 为线段 AB

19、的中垂线上的点,就 PA = PB即x12y3 2x5 2y12,化简得 3x+y+4=0. 应选 B. 例 17在直角坐标系xoy 中,过点 P-3 ,4 的直线 1 与直线 OP的夹角为 45 ,求 1 的方程 .解：设 1 的斜率为 k, kOP =-4 ,34 4tg45 = k 3 = k3 = 3 k 4 , 1 k 4 1 4k 3 4 k3 3得 3 k 4 = 1,解出 k=-1 , 73 4 k 71 的方程为 y-4=-1 x+3 或 y-4=7x+3. 7即 1 的方程为 x+7y-25=0 或 7x-y+25=0. 例 18 点0 ,1 到直线 x+y=2 的距离是

20、. 解： d= 0 1 1 2 21 21 2 2四、才能训练 一 挑选题1. 数轴上有一有向线段,起点A 的坐标为 -m,终点 B 的坐标为n,那么此有向线段的数量 可表示为 A. AB =n-m B.AB=n+mC. AB =n+m D.AB=n-m2. 已知点 M3,4 ,N12 ,7 ,P 在直线 MN上,且PM=1 ,就点 P 的坐标是 3 MNA.6 ,5 B.9,6C.0 ,3 D.0,3 或 6 ,53. 直线 x+3 y-1=0 的倾斜角是 A.6 B.-32 C.3 4. 方程5 D.6x-1 +y=1 确定的曲线与x 轴围成的图形的面积是A. 1 B.1 C.2 D.42

21、5. 过点 2 ,3 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 A.x+y=5 B.3x-2y=0 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C.x+y=5 或 3x-2y=0 D.4x-y=5 6. 过点 1 ,2 倾斜角 的正弦值是4 的直线的方程是 5 ,就 k 为A.4x-3y+2=0 B.4x+3y-6=0 C.3x-4y+6=0 D.y=4 x-1+2 37. 假如直线 Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角,且在y 轴上的截距大于零,就 A.AB0, AC0 B.AB0,AC0 C.AB0, AC0 D

22、.AB0,AC0 8. 以下各点中,不与P4 ,3 、Q-1 , 6 两点共线的点是 A.5 ,6 B.2,-3C.3t ,t+3 这里 t Z D.t+3,3t 这里 t Z9. 两条不重合的直线mx+y-n=0 和 x+my+1=0相互平行的充要条件是 A.m=1,n=1 B.m=-1,n=-1 C.m=1,n -1, 或 m=-1,n 1D.m 1,n 1 10. 点a , b 关于直线 x+y=1 对称的点的坐标是 A.1-a ,1-b B.1-b,1-aC.-a ,-b D.-b,-a11. 已知 0 2,且点 1 ,cos 到直线 xsin +ycos =1 的距离等于14等于 A

23、. B. C. D. 56 4 3 1212. 已知直线 l1x-2y-6=0 ,l23x-y+4=0 以下说法中错误选项 A.l1与 l 2的夹角是 45 B.l1 到 l 2的角是 45C.l2到 l 1的夹角是 45 D.l2 到 l 1的角是 135 13.l1x+3y-7=0 ,l 2kx-y-2=0与 x 轴、 y 轴正方向所围成的四边形有外接圆,就 A.-3 B.3 C.-6 D.614. 已知 P-2 ,-2 ,Q0,-1 ,取一点 R2,m使 PR + RQ 最小,就 m为 A. 1 B.0 2C.-1 D.-43 15. 设点 A-1 ,2 ,B2 ,-2 ,C0, 3 ,

24、且 Ma,b 是线段 AB上的一点 a 0 ,就直线 MC的斜率的取值范畴是 A. -5 ,1 B.-1 ,52 2C. -5 ,0 0 ,1 D.- ,-5 1, +2 2 二16. 两条平行直线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-8=0 间的距离是 .17. 直线 x+5=0 与直线 x+2y-5=0 的夹角是 .18. 直线 y=-x+b 和 5x+3y-31=0 的交点在第一象限,那么b 的范畴是 .19. 已知点 P是直线 l 上一点,将直线 l 绕点 P沿逆时针方向旋转角 0 90 ,所得直 线的方程是 x-y-2=0 ,如将它连续为转 90 - ,所得直线的方程 2x+y-1=

25、0 ,就直线l 的方程为 . 三 解答题名师归纳总结 20. 正方形中心为G-1 ,0 ,一边所在直线的斜率为3,且此正方形的面积为14.4 ,求第 8 页,共 9 页这正方形各边所在直线的方程. 21. 已知在ABC的边上运动的点D、E、F 在 t=0 时分别从 A、B、C动身,各以肯定的速- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载度向 B、 C、 A前进,在 t=1 时分别达到 B、C、A,试证明在运动过程中,DEF的重心是一个定点 .22. 一条光线从点 M5,3 射出,被直线 l x+y=1 反射,入射光线到直线 l 的角为 ,已知

26、tg =2,求入射光线与反射光线所在直线的方程 . 23. 用解析法证明三角形内角平分线性质定理 . 24. 过点 P2, 1 作直线 l 交 x,y 轴的正向于 A,B 的点,求1 当 AOB的面积最小值时,直线 l 的方程 . 2 PA PB 为最小时,直线 l 的方程 . 25. 当 n 时,求证：方程 x 2tg 2 +cos 2 -2xytg +y 2sin 2 =0 表示过原点的两直2线,且其斜率之差 的肯定值为 2. 才能训练参考答案 一 1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.D 二16. 14 53； 17.-arctg 1 ； 18. 31b53 2 2 5 三20.3x-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;2131 ；19. 略 5,证略： 22. 入射光线： y -3x+12=0,名师归纳总结 反射光线： 3y-x+10=0;23.证略； 24.1x+2y-4=0,2x+y-3=0；25. 证略 .第 9 页,共 9 页- - - - - - -