2022年高中数学圆锥曲线结论 .pdf

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1、圆锥曲线二级推论1/ 14椭圆1. 点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角. 2. PT 平分PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.

2、 7. 椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8. 椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P

3、和 A1Q交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦， M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。双曲线1. 点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点P 处的内角. 2. PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.（内切： P在右支；外切： P在左支）5. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a名师资料总结

4、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论2/ 140,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6. 若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7. 双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，

5、则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8. 双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式： (1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MFNF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q 交于点M，A2P 和

6、A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的对偶性质- 椭圆1. 椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa

7、,2( ,0)Aa， 与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2. 过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3. 若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点, 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4. 设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

8、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论3/ 14为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5. 若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时， 可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 6. P为椭圆22221xyab（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112

9、| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7. 椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8. 已知椭圆22221xyab（ab0） ，O为坐标原点，P、 Q 为椭圆上两动点，且OPOQ. 1)22221111|OPOQab; 2) |OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab; 3)OPQS的最小值是2222a bab. 9. 过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于P，则|2PFeMN. 10.

10、已知椭圆22221xyab（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11. 设 P 点是椭圆22221xyab（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则1)2122|1cosbPFPF. 2)122tan2PF FSb. 12. 设 A、B 是椭圆22221xyab（ ab0）的长轴两端点， P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa b

11、Sba. 13. 已知椭圆22221xyab（ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、 B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论4/ 1414. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应

12、准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e( 离心率 ). （注: 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17. 椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- 双曲线1. 双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2

13、. 过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3. 若 P为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 4. 设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5.

14、若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L， 则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是 P到对应准线距离 d 与PF2的比例中项 . 6. P为双曲线22221xyab（a0,b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论5/ 140）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2

15、,A F在 y轴同侧时，等号成立 . 7. 双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8. 已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba; （3）OPQS的最小值是2222a bba. 9. 过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知双曲线22221xyab（

16、a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12. 设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点， P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有1)22222| cos|s|abPAac co. 2)2tantan1e. 3)22222cotPABa b

17、Sba. 13. 已知双曲线22221xyab（a0,b0） 的右准线l与 x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、 B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点， 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16. 双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

18、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论6/ 14(注: 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ). 17.双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、 外点到双曲线中心的比例中项. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14

19、页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论7/ 14圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强， 因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3，2） ，F（2，0） ，双曲线xy2231，P为双曲线上一点。求|PAPF12的最小值。解析：如图所示，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。| | |PAPFPAPEAM1252二. 引入参数，简捷明快参数的引

20、入， 尤如化学中的催化剂， 能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、 共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系， 设点 F 到准线l的距离为 p（定值） ，椭圆中心坐标为 M（t，0）（t 为参数）pbc2，而 ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y） ，则xctybpt消去 t，得轨迹方程 ypx2三. 数形结合，直观显示将 “数”与 “形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知x yR,，且满足方程xyy22

21、30() ，又 myx33，求 m 范围。解析：myx33的几何意义为，曲线xyy2230() 上的点与点（ 3，3）连线的斜率，如图所示kmkPAPB332352m四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和 “平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆 ()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q，则|OP OQ的值为 _。解：OMPOQN| |OP OQOMON5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此， 平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5. 已知椭圆：x

22、y2224161，直线l：xy1281，P 是l上一点，射线 OP 交椭圆于一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论8/ 14点 R，点 Q 在 OP上且满足 | |OQ OPOR2，当点 P 在l上移动时，求点 Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OQOROP，共线，设OROQ，OPOQ，OQxy()，则

23、ORxy()，OPxy()，| |OQ OPOR2|OQOQ2222点 R 在椭圆上， P点在直线l上222224161xy，xy1281即xyxy222416128化简整理得点 Q 的轨迹方程为：()()xy152153122（直线yx23上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题， 往往简捷明快， 收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆 xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy则圆心为()31

24、31，在直线xy40上解得7故所求的方程为 xyxy227320七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程， 往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线xy2221相交于两点 P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方程。解：设 P xy111()， P xy222()，则xyxy12122222211212得()()()()xxxxyyyy211221122即yyxxxxyy212112122()设 P1P2的中点为 M xy()00，则kyyxxxyP P122121002又，而 P1、A、M、P2共线kkP PAM12，即yxxy000

25、0122P P12中点 M的轨迹方程是 24022xyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论9/ 14解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 30 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解

26、答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接 , 使知识形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识 ,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点， AB=2、OT=t (0t1) ，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于 AT，使BB垂直且等于 BT，BA交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系 . (1)写出直线BA的方程；（2）计算出点 P、Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图 , 看出,BA点的坐标 . (1 )

27、显然tA1 ,1, ，tB11于是 直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；（3）ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q. 需要注意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 例 2 已知直线 l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲

28、解：从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的方程, 由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)( 4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得 =0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令 y=0，x=0，求得)., 0(),0,(mSkmR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

29、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论10/ 14令顶点 P 的坐标为（ x，y） ，由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点 P 的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程 , 你能画出它的图形吗 ? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0 ,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆

30、上，求k的值. 讲解：（ 1）,332ac原点到直线 AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则012000220115515,.21313BEyxxkxykxkkkxk,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k=7.为了求出 k 的值, 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭

31、圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点， ABF2的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解： （1）设112212|,|,|2PFrPFrF Fc, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线 l 的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设 l 的方程为)(cxky椭圆方程为),(),(, 122112222yxByxAbya

32、x由.22e得2222,2cbca. 于是椭圆方程可转化为222220 xyc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论11/ 14将代入，消去y 得02)(22222ccxkx, 整理为x的一元二次方程，得0)1(24)21(22222kcxckxk. 则 x1、x2是上述方程的两根且221221122|kkcxx，2212221)1(22|1|kkcxxkAB，AB 边上的高,1|2sin|2212

33、1kkcFBFFFhckkkkcS21|)211(22212222242222224421|1222 22 22.1121444kkkkcccckkkkkii) 当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得221,|2 ,2222ycABc Scc由知 S 的最大值为22c由题意得22c=12 所以2226bc2122a故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得：,2

34、2222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根 . 222121221|()()1|ABxxyymyy2) 2(441222222mmccmm2)1(2222mmc, AB 边上的高212mch, 从而222222)2(122122)1 (2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当 m=0 取等号，即.22maxcS由题意知1222c, 于是212,26222acb. 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：. 12621222yx也可这样求解：|212121yyFFS|21

35、xxkc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论12/ 14例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线02:yxl上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程 . 讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(222

36、2222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa）. 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e . （2）由（ 1）知, cb从而椭圆的右焦点坐标为),0,(bF设)0,(bF关于直线02:yxl的对称点为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且由已知得4,4)54()53(,42222020bbbyx，故所求的椭圆方程为14822yx . 例 6 已知 M：xQyx是, 1)2(22轴上

37、的动点， QA，QB 分别切 M 于 A，B 两点，（1）如果324| AB，求直线 MQ 的方程； （2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 . 讲解:（1）由324| AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是;0525205252yxyx或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - -

38、- - - - 圆锥曲线二级推论13/ 14（2）连接 MB，MQ，设),0 ,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（*）及（*）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例 7 如图，在 RtABC 中，CBA=90 ，AB=2，AC=22。DOAB 于 O 点，OA=OB ，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持 | PA |+| PB | 的值不变 . （1）建立适当的坐

39、标系，求曲线E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点M、N 且 M 在 D、N 之间，设DNDM，试确定实数的取值范围讲解: （1）建立平面直角坐标系 , 如图所示 | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=22)22(22222动点 P 的轨迹是椭圆2,1,1abc曲线 E 的方程是1222yx . （2）设直线 L 的方程为2kxy, 代入曲线 E 的方程2222yx，得068)12(22kxxk设 M1（),(),221, 1yxNyx, 则.126,128,06) 12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L 与 y 轴重合时，3

40、1|DNDMii) L 与 y 轴不重合时，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD, ,012xx或,012xx01 , 212)(122121221xxxxxxxx)12(332)12(664)(2222122kkkxxxxA O B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 圆锥曲线二级推论14/ 14而,232k.8)12(362k,316)12( 33242k316214, 31012,.131,

41、3101,21, 10的取值范围是1 ,31 . 值得读者注意的是，直线L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例 8 直线 l 过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点. （1）求证：2214pxx;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线 . 讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 若 lx 轴，则 l 的方程为4,2221PxxPx显然.若 l 不垂直于 x轴，可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx. （2

42、）设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD 的垂直平分线 l 的方程为)4(2222pdcxpdcdcy假设 l 过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时 l 的方程为 y=0，从而 l 与抛物线pxy22只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l 与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线 . 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -