2022年辗转相除法与更相减损术秦九韶算法教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 三维目标1学问与技能1懂得辗转相除法与更相减损术中包蕴的数学原理,并能依据这些原理进行算法分析2基本能依据算法语句与程序框图的学问设计完整的程序框图并写出算法程序3明白秦九韶算法的运算过程,并懂得利用秦九韶算法可以削减运算次数提高运算效率的实质2过程与方法1在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法, 比较它们在算法上的区分,并从程序的学习中体会数学的严谨,领悟数学算法计算机处理的结合方式,初步把握把数学算法转化成运算机语言的一般步骤2仿照秦九韶算法,体

2、会古人运算构思的奇妙3通过对秦九韶算法的学习,明白中国古代数学家对数学的奉献,充分熟悉到我国文化历史的悠久 通过对排序法的学习,领悟数学运算与运算机运算的区分,充分熟悉信息技术对数学的促进3情感、态度与价值观1通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学进展的奉献2在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培育严谨的规律思维才能,在利用算法解决数学问题的过程中培育理性的精神和动手实践的才能 重点难点重点：懂得辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法及秦九韶算法的特点难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言 教学建议在同学学习了算法的初步学问,懂得了表示算法的

3、算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后, 再结合典型算法案例,让同学经受设运算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高规律思维才能,进展有条理地摸索与数学表达才能建议充分发挥同学的主体作用和老师的主导作用,采纳启示式, 并遵循循序渐进的教学原就 这有利于同学把握从现象到本质,从已知到未知逐步形成概念的学习方法,有利于发展同学抽象思维才能和规律推理才能以问题为载体, 让同学经受学问的形成过程和进展过程,从而突出教学重点,通过各种教学媒体 运算机 调动同学参加课堂教学的主动性与积极性,增加课堂容量,有利于同学活动的充分绽开同学在课堂上要多观看、争论、摸索、分析

4、、动手操作、自主探究、合作学习多种形式相结合,老师要引导同学多角度、多层面熟悉事物,突破教学难点 教学流程创设情境引入问题：228与1 195的最大公约数如何求 .错误 . . 通过引导同学回答所提问题,引入用辗转相除及更相减损术最大公约数的方法 .通过例 1及变式训练使同学把握用辗转相除法求最大公约数的方法.通过例 2及变式训练使同学把握用更相减损术求最大公约数的方法. 通过例 3 及变式训练使同学对秦九韶算法有了肯定熟悉并学会其应用. 归纳整理, 进行课堂小结, 整体把握本节学问 . 完成当堂双基达标,巩固所把握的学问,并进行反馈矫正名师归纳总结 课标解读1.通过案例,进一步体会算法的思想

5、第 1 页,共 10 页2.懂得辗转相除法、更相减损术、 秦九韶算法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案的原理 重点 3.三种算法的框图及程序应用难点 辗转相除法【问题导思】136 与 60 的最大公约数是多少？你是如何得到的？【提示】先用两个数公有的质因数连续去除,始终除到所得的商是互质数为止,然后把全部的除数连乘起来即为最大公约数由于,故 36 与 60 的最大公约数为2 2 312. 2观看以下等式8 2516 105 12 146,那么 8 251 与 6 105 这两个数的公约数和6 105 8 251与 2 146 的公约数

6、有什么关系？【提示】8 251 的最大约数是2 146 的约数,同样6 105 与 2 146 的公约数也是的约数,故8 251 与 6 105 的最大公约数也是6 105 与 2 146 的最大公约数辗转相除法的算法步骤第一步,给定两个正整数m、n. 其次步,运算m 除以 n 所得的余数r. 第三步, mn,n r. 第四步,如r0,就 m、n 的最大公约数等于m,否就返回其次步. 更相减损术【问题导思】设两个正整数mnmn,如 mnk,就 m 与 n 的最大公约数和n 与 k 的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98 与 63 的最大公约数是多少？【提示】986335,63 3528

7、,35287,28721,21714,1477,98 与63 的最大公约数为 7. 更相减损术的算法步骤第一步,任意给定两个正整数,判定它们是否都是偶数如是,用 2 约简；如不是,执行其次步其次步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数连续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,就这个数 乘积就是所求的最大公约数 . 等数 或这个数与约简的数的秦九韶算法将 fx改写成如下形式：详细算法如下：fx anxan 1x an2x a1xa0. 1运算最内层括号内一次多项式的值,即 v1anxan1. 2由内向外逐层运算多项式的值,即v2v1xan2,v3v2xan3,v

8、n vn1xa0. 用辗转相除法求最大公约数名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案用辗转相除法求 228 与 1 995 的最大公约数【思路探究】使用辗转相除法可依据mnqr,反复相除直到r0 为止【自主解答】1 9958 228171,2281 17157,1713 57,228 与 1 995 的最大公约数为 57. 利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数,即利用带余除法, 用数对中较大的数除以较小的数,如余数不为零,就将余数和较小的数构成新的数对,再利用带余除法,直到大数被小数除尽,就这时的较

9、小数就是原先两个数的最大公约数用辗转相除法求 779 和 209 的最大公约数【解】779209 3152,209152 157,15257 2 38,5738 119,3819 2,779 与 209 的最大公约数为 19. 用更相减损术求最大公约数2022福州高一检测 用更相减损术求154,484 的最大公约数【思路探究】解答此题可先将两数约简然后按更相减损术的步骤反复相减直至得出结果【自主解答】154 277,4842242,下面用更相减损术,求77 与 242 的最大公约数24277 165,165 7788,887711,771166,66 11 55,55 11 44,441133

10、,331122,221111,故 77 与 242 的最大公约数为11,就 154 与 484 的最大公约数为11 2 22. 更相减损术的步骤：1判定两数是否为偶数,如是,就都除以2 直到所得的两数不全为偶数；2用较大的数减去较小的数,将差和较小的数构成一对新数连续用较大的数减去较小 数,重复执行；3当差和较小数相等时,终止执行,此时差 约数或较小数 为不全为偶数的两数的最大公留意：原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数与约简的因数的乘积用更相减损术求 576 与 246 的最大公约数【解】用 2 约简 576 和 246 得 288 与 123. 288123165,16512342,名

11、师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1234281,814239,42393,39336,363 33,333 30,30327,273 24,24321,213 18,18315,153 12,1239,936,6 33. 3 26. 576 与 246 的最大公约数为秦九韶算法的应用 用秦九韶算法求多项式 fx7x 76x 6 4x 43x 32x 2x5,当 x3 时的值【思路探究】解答此题第一要将原多项式化成fx7 x6x0x4x3x2x1x 5 的形式其次再弄清 v 0,v1,v2, ,v7

12、分别是多少,最终进行运算【自主解答】fx7 x6x0x4x3x2x1x5,v07,v1 7 3615；v215 3045；v3 45 3 4139；v4139 33420；v 5420 32 1 258；v 61 258 31 3 775；v 73 775 35 11 320. 当x3 时,多项式的值为 11 320. 秦九韶算法的步骤：用秦九韶算法运算多项式3 240x2192x 64,当 x2 时的值fxx612x 560x 4160x【解】将 fx改写为fx x12x60x160x240x192x 64,由内向外依次运算一次多项式当 x2 时的值,v01,v11 212 10,v2 10

13、 26040,v340 2160 80,v4 80 224080,v580 2192 32,v6 32 2640. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - f20,即x名师精编优秀教案原多项式的值为2时,0.见同学用书第 24 页 对秦九韶算法中的运算次数懂得错误已知 fxx52x 43x34x25x6,用秦九韶算法求这个多项式当x2 时的值时,做了几次乘法？几次加法？【错解】依据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式fxx2x3x 4x5x6. 依据从内到外的次序,依次运算一次多项式当x 2 时的值： v 122 4；v

14、22v 1311；v32v 2426；v 4 2v 3557；v 52v 46120. 明显,在 v 1 中未做乘法,只做了 1 次加法；在 v 2,v 3,v 4,v 5 中各做了 1 次加法, 1 次 乘法因此,共做了 4 次乘法, 5 次加法1 次乘法 “ v 12 1【错因分析】在 v 1 中虽然 “ v12 24” ,而运算机仍是做了24” 由于用秦九韶算法运算多项式fxanx nan1x n1 a1xa0 当 xx0时的值时,第一将多项式改写成 fx anxan1x a1xa0,然后再运算 v 1anxan1,v2v1xan 2,v3v2xan3, , vn vn1xa0.无论 a

15、n是不是 1,这次的乘法都是要进行的名师归纳总结 【防范措施】1.将多项式写成一次多项式的形式时,假如多项式中n 次项不存在,可第 5 页,共 10 页将 n 次项看作 0xn. 2直接法乘法运算的次数最多可达n1 n,加法最多 2n 次,秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数削减到最多n 次,加法最多n 次【正解】由以上分析,共做了5 次乘法, 5 次加法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1辗转相除法与更相减损术都是求两数最大公约数的方法辗转相除法运算次数少,步骤简捷, 更相减损术运算次数多,步骤复杂,但是更相减损术每一步的运算都是减法

16、,比做除法运算要简洁一些,一般当数较小时可以考虑用更相减损术,当数较大时可以考虑用辗转相除法2用秦九韶算法可大大降低乘法的运算次数,提高了运算速度用此方法求值,关键是正确地将所给多项式改写,然后由内向外运算, 由于后项运算需用到前项结果,故应仔细、细心,确保结果的精确性见同学用书第 24 页 1490 和 910 的最大公约数为 A2 B 10 C30 D 70 【解析】910490 1420,490 420 170,42070 6,故最大公约数为 70. 【答案】D 2用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数为 A21 B42 C32 D16 【解析】294 2 147,842 42,

17、147 42 105,105 4263,63 42 21,42 21 21,21 242,所以最大公约数为 42. 【答案】B 3用秦九韶算法求 fx2x 3x 3 当 x3 时的值 v 2_. 【解析】fx2x0x1x3,v02；v12 306；v26 3119. 名师归纳总结 【答案】19 288 与 153 的最大公约数第 6 页,共 10 页4用更相减损术求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案【解】288153135,15313518,13518 117,1171899,991881,81 1863,631845,4518 27

18、,27189,1899. 288与153的最大公约数为9.见同学用书第 93 页 一、挑选题1用“ 辗转相除法” 求得 360 和 504 的最大公约数是 A72 B36 C 24 D2 520 【解析】504360 1144,360144 272,14472 2,360 和 504 的最大公约数是 72,应选 A. 【答案】A 2设计程序框图,用秦九韶算法求多项式的值,主要用哪种结构实现 A次序结构 B条件结构C循环结构 D条件、次序结构v0an,【解析】该种算法主要是由内到外运算vkvk1x0ank k 1,2, n ,故在求值时用到循环结构【答案】C 32022 德州高一检测 用秦九韶算

19、法求多项式要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为 A4,2 B5,3 C 5,2 D6,2 fx4x 5x 22 当 x3 时的值时,需【解析】fx4x 5x 224 xxx1xx2,需 5 次乘法运算和 2 次加法运算【答案】C 4225 与 135 的最大公约数是 A5 B9 C15 D45 【解析】225135 190,135 90 1 45,9045 2,45 是 225 与 135 的最大公约数【答案】D x3 时的值时, v 3 的值为 5已知 fxx52x 33x 2x1,应用秦九韶算法运算A27 B11 C109 D36 【解析】fx x0x2x3x1x1 当 x3 时, v0

20、1,v13,v 2 3 3211,v 311 3336. 【答案】D 二、填空题名师归纳总结 6464 与 272 的最大公约数为_第 7 页,共 10 页【解析】464 16 29,2721617,291712,17 125,125 7,752,5 23,3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案21,211,最大公约数为 1 1616. 【答案】16 7用更相减损术求 152 与 92 的最大公约数时,需要做减法的次数是 _2 约简得 38 与 23,又 382315,【解析】152 与 92 都是偶数,先两次用 23158,158 7

21、,871,716,615,514,413,312,211,故要用 10 次减法【答案】10 v 02,8已知多项式函数fx2x 55x 44x33x 26x7,当 x5 时由秦九韶算法v12 555,就 v3_. 【解析】v 2v 1x45 54 21,v3v2x321 53108. 【答案】108 4x20.3x2,当 x 2 时的值三、解答题9用秦九韶算法求多项式fxx 65x56x【解】fx x 6 5x56x 4x 20.3x2 x5x6x 0x1x0.3x2. 当x 2 时 v01,v11 25 7,v2 7 2620,v320 20 40,v4 40 21 81,v581 20.3

22、 161.7,v6 161.7 22325.4,f2325.4. 10求三个数 324,243,135 的最大公约数【解】法一 324 243 181,24381 3. 324 与 243 的最大公约数为 81. 又 13581 154,8154 127,5427 2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 81 与 135 的最大公约数为名师精编优秀教案27. 三个数 324,243,135 的最大公约数为 27. 法二 32424381,24381162,16281 81. 324 与 243 的最大公约数为

23、81. 1358154,815427,54 2727. 81 与 135 的最大公约数为 27. 324,243,135 的最大公约数是 27. 11求 1 356 和 2 400 的最小公倍数【解】2 4001 1 3561 044,1 3561 1 044312,1 0443 312108,3122 10896,1081 96 12,9612 8,1 356 和 2 400 的最大公约数为12. 公倍数为2 400 1 356 12271 1 356和2 400的最小200.老师用书独具 1辗转相除法与更相减损术的区分和联系辗转相除法更相减损术名称区分 以除法为主两个整数差值较大时运算次数较 少相除余数为零时得结果.以减法为主两个整数的差值较大时,运算次数 较多相减,两数相等得结果相减前要做是否都是偶数的判定都是求两个正整数的最大公约数的 联系 方法二者的实质都是递推的过程名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二者都要用循环结构来实现. 名师精编优秀教案2.辗转相除法的程序框图及程序表示 程序框图：程序：INPUT m,n DO rm MOD n mn nr 名师归纳总结 LOOPUNTILr0 第 10 页,共 10 页PRINTm END - - - - - - -